基于元胞自動機的開裂混凝土氯離子擴散模擬與分析

馬俊軍 ，藺鵬臻 ，劉應龍 ，何志剛

（蘭州交通大學土木工程學院, 甘肅 蘭州 730070）

鋼筋腐蝕是導致鋼筋混凝土結構發生耐久性失效的主要原因之一，其不僅會減少鋼筋橫截面面積，而且還會生成膨脹性腐蝕產物，導致混凝土保護層剝落，從而降低結構的承載能力. 對于氯鹽等侵蝕環境中的鋼筋混凝土結構而言，氯離子侵蝕是導致鋼筋銹蝕的主要原因. 膨脹性腐蝕產物進入混凝土后容易導致混凝土發生開裂，進而為氯離子進入混凝土內部提供了便捷通道，加速氯離子在混凝土中的擴散[1]. 因此，研究氯離子在開裂混凝土中的擴散規律對氯鹽等侵蝕環境中鋼筋混凝土結構的耐久性設計和壽命預測具有重要意義[2].

目前，國內外學者對開裂混凝土中氯離子擴散系數方面做了大量的試驗研究和理論研究. 在試驗方面，已有學者通過劈裂拉伸[3]、彎曲試驗[4-5]、約束試驗[6]、人工切口[7]等誘導試驗，對開裂混凝土中氯離子侵蝕過程進行了試驗研究，研究結果表明，開裂混凝土中氯離子擴散速率不僅取決于裂縫寬度，也取決于裂縫深度. 在閾值裂縫寬度范圍內，氯離子擴散系數隨裂縫寬度的增加而增大；當裂縫寬度小于閾值裂縫寬度的最小值時，認為裂縫對混凝土氯離子擴散效應無影響；當裂縫寬度大于閾值裂縫寬度的最大值時，認為氯離子在裂縫中的擴散系數為常數，等于氯離子在溶液中的擴散系數[3,8-10]. 但由于裂縫產生方式、試驗方法等的不同，通過試驗給出的閾值裂縫寬度的范圍存在差異，彼此不符. 除試驗研究外，有學者利用理論模型來研究氯離子在開裂混凝土中的擴散. 如，張斌等[11]利用有限元法對開裂混凝土中氯離子侵蝕過程進行了數值模擬，模擬結果表明：在開裂區域，氯離子呈二維擴散，在未開裂區域，氯離子呈一維擴散. 根據裂縫的密度和裂縫深度，Jang等[9]提出了一種等效擴散系數法來模擬氯離子在開裂混凝土中的擴散過程，該方法雖能反映氯離子在開裂混凝土中的侵蝕過程，但無法考慮裂縫對裂縫周圍氯離子擴散區域的影響，不能準確計算截面中氯離子濃度的分布[12-14].

因此，為彌補上述等效方法的不足，本文根據氯離子在開裂混凝土中的擴散特點，利用元胞自動機和均勻化等效方法，提出了一種模擬氯離子在開裂混凝土中擴散的數值模型（元胞自動機模型，簡稱CA模型）；通過與既有試驗數據的對比，對模型的可靠性進行了驗證；最后，利用模型研究了裂縫參數，如裂縫形狀、裂縫分布形式、裂縫偏轉角度對開裂混凝土中氯離子擴散效應的影響.

1 開裂混凝土中氯離子擴散CA模型

1.1 模型建立

根據既有研究[15]，氯離子在混凝土中的擴散過程和變化規律可以用元胞自動機來描述，此時，氯離子在混凝土中的擴散方程為

式中：C(xj,t) 和C(xj,t+Δt) 分別為時刻t和時刻t+Δt元胞（xj）代表的氯離子濃度；xj為元胞j所處位置；Δt為時間步長；f(?)為狀態轉移函數.

對于平面模型，在選擇圖1所示的正方形元胞組合的情況下，式（1）可簡化為

圖1 元胞組合示意Fig. 1 diagram of Schematic of cellular assemblage

式中：x和y為元胞所處位置；Δx和 Δy分別為x和y方向兩元胞之間的距離；φ0和 φi分別為從時刻t到時刻t+Δt，元胞（x,y）和 元胞（x+giΔx,y+niΔy）對元胞（x,y）的影響系數，見式（3），根據既有研究結果[16]，當影響系數 φi=0.125時模型計算精度較高；gi和ni分別為沿x方向和y方向氯離子擴散方向系數，其隨i的變化見式（4）.

式中：Di為i方向氯離子擴散系數（m2/s）；δ為元胞尺寸（m）.

在不考慮裂縫的情況下，式（2）可改寫為

利用差分公式，在不考慮高階項的情況下，式（5）可進一步改寫為

由式（6）可知：在不考慮裂縫對氯離子擴散效應的影響時，本文建立的模型與Fick第二定律表達一致，從理論上佐證了上述氯離子擴散模型的正確性.

對于開裂混凝土而言，由于混凝土開裂區域與未開裂區域表現出不同的侵蝕特性，采用傳統解析方法將無法考慮裂縫對未開裂區域氯離子濃度的影響，不能準確計算氯離子濃度在截面中的分布. 因此，為便于分析開裂混凝土中氯離子的侵蝕規律，本文提出了一種均勻化等效方法來考慮不同區域對氯離子擴散效應的影響，其等效過程可分為： 1） 根據元胞尺寸 δ對研究對象進行網格劃分；2） 根據元胞中裂縫（寬度為wcr、深度為lcr）和混凝土面積，利用均勻化分析方法對元胞進行第一次等效，等效后氯離子擴散系數為Deff(x,y)，等效過程如圖2所示，圖中：Ac和Acr分別為元胞(x,y)內混凝土未開裂面積和裂縫面積（m2）；Dc、Dcr分別為混凝土未開裂區域和開裂區域氯離子擴散系數；3） 利用第一次等效后各元胞氯離子擴散系數Deff(x,y) 進行第二次等效，可得元胞 (x,y)在進化時沿上、下、左、右4個侵蝕方向（見圖1）的有效氯離子擴散系數

圖2 氯離子擴散系數等效示意Fig. 2 Diagram of equivalent chlorine ion diffusion coefficient

第一次等效時，根據元胞 (x,y)內裂縫和混凝土面積，氯離子擴散系數Dcff(x,y)可以表示為

在第二次等效時，將元胞 (x,y)沿各個方向的有效氯離子擴散系數簡化為兩相鄰元胞氯離子擴散系數的算術平均值，其表達式為

1.2 模型的求解

根據上述理論推導，利用MATLAB軟件編寫了模型的計算程序，流程圖見附加材料1圖S1.

2 混凝土開裂區域氯離子擴散系數

如上所述，裂縫會加速氯離子在混凝土中的擴散[1]. 因此，在利用CA模型對開裂混凝土中氯離子擴散效應進行模擬時，確定開裂區域氯離子擴散系數將顯得至關重要. 結合既有文獻研究成果[3,5,17]（詳細信息見附加材料2的描述），進一步考慮裂縫閾值對氯離子擴散效應的影響，建立了開裂部分氯離子擴散系數與裂縫寬度之間的分段式表達，如式（9）所示.

式中：Dcr與文獻中氯離子擴散系數的對比見附加材料2圖S2.

3 模型參數設置

從式（2）可知：利用元胞自動機對開裂混凝土中氯離子擴散過程進行分析時，影響系數 φ0和 φi除與氯離子擴散系數有關外，也與時間步長和元胞尺寸相關. 因此，為了在保證計算精度的條件下，提高模型計算效率，利用CA模型，通過數值試驗對不同元胞尺寸下裂縫中心截面氯離子濃度隨擴散深度的變化進行了對比，結果如圖3所示. 模擬時邊界條件和初始條件分別為：未開裂區域取氯離子擴散系數Dc=3.0 × 10?12m2/s，表面氯離子濃度Cs=2.000%，初始氯離子濃度C0=0，開裂區域氯離子擴散系數Dcr根據式（9）確定，時間步長根據式（3）確定.

從圖3可知：開裂區域氯離子濃度隨元胞尺寸的增加而減小，未開裂區域氯離子濃度隨元胞尺寸的增加而增加，不同元胞尺寸下裂縫中心截面氯離子濃度之間的偏差隨元胞尺寸的減小而減小. 說明原則上利用元胞自動機模擬氯離子在開裂混凝土中的擴散過程時，元胞尺寸越小精度越高，但當元胞尺寸小于0.5 mm時，各模擬值之間的最大偏差不超過1%. 故在不影響模型計算精度的情況下，為提高模型的計算效率，推薦采用的元胞尺寸為0.5mm.

圖3 氯離子濃度隨擴散深度的變化規律Fig. 3 Variation law of chloride ion concentration with diffusion depth

4 模型驗證

4.1 預制裂縫混凝土

為對模型的可靠性進行驗證，利用CA模型對文獻[18]中預制裂縫混凝土(等寬度裂縫混凝土)氯離子擴散過程進行了模擬. 人工裂縫最大裂縫寬度wcr=0.5 mm，最大裂縫深度lcr=10 mm. 根據試驗結果，CA模型模擬時開裂混凝土邊界條件和初始條件分別為：Cs=2.110%，C0=0，Dc=3.3 × 10?12m2/s，元胞尺寸采用第3節推薦的尺寸 δ=0.5 mm，Δt根據元胞尺寸 δ和式（3）確定，等效氯離子擴散系數根據式（7）～（9）確定. 圖4顯示了利用CA模型模擬的56 d后開裂混凝土中氯離子濃度的分布.

圖4 利用CA模型獲得的截面氯離子濃度分布結果Fig. 4 Chloride concentration distribution in section simulated by CA model

為便于比較，本文還利用有限元法對上述氯離子擴散過程進行了模擬. 有限元模擬時，邊界條件和初始條件與CA模型一致，采用四節點平面熱單元(plane55)對開裂混凝土進行網格劃分，劃分后開裂混凝土網格見附加材料3圖S3. 圖5顯示了利用有限元法模擬的56 d后開裂混凝土中氯離子濃度的分布.

圖5 利用有限元法模擬的截面氯離子濃度分布結果Fig. 5 Chloride concentration distribution in the cross section simulated by finite element method

結合圖4和圖5可知：CA模型模擬的截面氯離子濃度分布結果與有限元分析結果一致；氯離子在開裂混凝土中的分布受裂縫的影響，截面氯離子濃度的分布呈鐘形，且關于裂縫對稱分布；在同一深度，混凝土開裂區域氯離子濃度遠大于其他未開裂區域氯離子濃度；除開裂區域外，裂縫對裂縫周圍一定范圍內氯離子濃度的分布也有顯著的影響.

圖6為模型模擬的截面氯離子濃度為0.759%時的等值線結果與有限元分析結果和試驗結果的比較. 從圖6可知：CA模型的模擬結果與試驗結果和有限元分析結果一致.

圖6 模型模擬結果與有限元解和試驗值的比較Fig. 6 Comparison of model simulation results with element solutions and experimental values

4.2 加載裂縫混凝土

為驗證本文提出的模型在對加載裂縫混凝土中氯離子擴散效應分析的有效性，利用模型對文獻[5]中開裂混凝土氯離子擴散效應進行了模擬. 棱柱體尺寸為355.6 mm × 50.8 mm × 76.2 mm. 根據試驗結果，在CA模擬時，模型邊界條件和初始條件設為：Cs= 0.450%，C0= 0，t= 30 d，Dc= 3.8 × 10 ?12 m2/s，δ = 0.5 mm，元胞等效氯離子擴散系數根據裂縫寬度wcr和式（7）～（9）共同確定，Δt根據元胞尺寸 δ 和式（3）確定. 圖7顯示了不同裂縫寬度下CA模型模擬結果與試驗結果和有限元計算結果的對比.

圖7 模型模擬值與有限元解和試驗值的比較Fig. 7 Comparison of model simulation values with finite element solutions and experimental values

從圖7可知：除裂縫寬度wcr= 102.9 μm時的個別試驗數據外，CA模型模擬的截面氯離子濃度模擬值與有限元分析結果和試驗值在變化規律和數值上保持一致. 造成上述結果產生偏差的主要原因是由于加卸載時裂縫周圍混凝土損傷造成的，損傷后混凝土中氯離子擴散系數將大于其余未開裂混凝土中氯離子擴散系數，而在文中沒有考慮混凝土卸載后混凝土損傷對氯離子擴散系數的影響，統一采用了未損傷區域氯離子擴散系數.

5 參數分析

為對比不同裂縫參數對開裂混凝土中氯離子擴散效應的影響，在數值模擬時將模型計算參數統一設為：wcr= 0.2 mm，lcr= 10 mm，Cs= 2.000%，C0= 0，Dc=3 × 10 ?12 m2/s，Dcr= 1.4 × 10 ?9 m2/s，δ= 0.5 mm，t= 60 d，時間步長 Δt根據元胞尺寸 δ和式（3）確定.

5.1 裂縫形狀

為討論不同裂縫形狀下開裂混凝土中氯離子擴散規律，利用CA模型對2種不同裂縫形狀（見附加材料4圖S4）混凝土中氯離子擴散過程進行了模擬，結果如圖8所示.

圖8 不同裂縫形狀下截面氯離子濃度模擬結果Fig. 8 Simulation results of chloride ion concentration in section under different crack shapes

由圖8可知：兩種不同裂縫形狀下混凝土中氯離子擴散深度基本相等，只在氯離子濃度等值線分布上存在差異；與矩形裂縫相比，“V”形裂縫混凝土中氯離子濃度等值線分布曲線更尖，說明“V”形裂縫對裂縫端部周圍混凝土氯離子擴散效應的影響較小.

為便于分析，將不同裂縫形狀下，距離混凝土表面10 mm處氯離子濃度沿截面寬度的變化和裂縫中心截面氯離子濃度隨擴散深度的變化分別繪于圖9和圖10中. 綜合圖9和圖10可知：矩形開裂混凝土中裂縫對裂縫周圍氯離子擴散的影響區域lr與“V”形裂縫基本相同，只在裂縫端部存在較小差異；沿裂縫深度方向，在同一深度，“V”形裂縫混凝土氯離子濃度小于矩形裂縫；在開裂區域，兩種裂縫中心氯離子濃度之間的偏差隨擴散深度的增加而增大，在未開裂區域，兩者之間的偏差隨擴散深度的增加而減小，在裂縫端部，兩者之間的偏差達到最大，“V”形裂縫中氯離子濃度約為矩形裂縫的0.52倍. 上述表明，模擬時采用“V”形裂縫將低估氯離子在混凝土中的擴散能力. 裂縫形狀對開裂混凝土中氯離子濃度沿裂縫寬度方向的變化不敏感，沿裂縫深度方向的變化比較敏感.

圖9 截面氯離子濃度沿截面寬度的變化規律Fig. 9 Variation law of chloride ion concentration in cross section with cross section width

圖10 裂縫中心截面氯離子濃度隨擴散深度的變化Fig. 10 Variation law of chloride ion concentration in central section of crack with diffusion depth

5.2 裂縫分布形式

為討論不同裂縫分布形式下開裂混凝土中氯離子的擴散規律，利用CA模型對不同裂縫分布形式（見附加材料5圖S5）混凝土中氯離子擴散過程進行了模擬. 結果如圖11所示.

圖11 不同裂縫分布形式下截面氯離子濃度模擬結果Fig. 11 Simulation results of chloride ion concentration in cross section under different crack distribution forms

從圖11可知：混凝土截面氯離子濃度等值線分布結果隨裂縫分布形式的不同而不同，在直線形裂縫混凝土中，氯離子濃度關于裂縫中心對稱分布；對于折線形和曲線形開裂混凝土而言，在開裂區域，氯離子濃度關于裂縫中心不對稱，遠離裂縫中心一定范圍氯離子濃度關于裂縫對稱分布. 同時，為定量描述不同裂縫分布形式下開裂混凝土中氯離子濃度的分布規律，圖12和圖13分別給出了不同裂縫分布形式下，距離混凝土表面10 mm處氯離子濃度沿截面寬度的變化和裂縫中心截面氯離子濃度隨擴散深度的變化.

圖12 截面氯離子濃度沿截面寬度的變化Fig. 12 Variation law of chloride ion concentration in cross section with cross section width

圖13 裂縫中心截面氯離子濃度隨擴散深度的變化Fig. 13 Variation law of chloride ion concentration in central section of crack with diffusion depth

從圖12可知：不同裂縫分布形式下裂縫對裂縫周圍氯離子擴散的影響區域基本保持不變，均集中在裂縫左右18 mm （lr/2）的范圍內，氯離子濃度分布曲線基本關于裂縫中心對稱分布，只在折線形裂縫和曲線形裂縫中心位置產生少量的偏移.

從圖13可知：氯離子濃度沿裂縫深度方向的變化存在明顯差異；在未開裂區域，不同裂縫分布形式混凝土中氯離子濃度分布基本相同；在開裂區域，由于曲線形裂縫和折線形裂縫在分布上的相似性，曲線形裂縫中氯離子濃度在數值和變化規律上與折線形裂縫基本保持一致，但均與直線形裂縫中氯離子濃度之間存在較大偏差，且隨著擴散深度的增加，偏差越大，在裂縫端部達到最大，分別約為直線形裂縫氯離子濃度的0.87倍和0.89倍，這主要是因為在裂縫寬度和深度相同的情況下，氯離子在裂縫中的擴散速率取決于傳輸路徑的長短，而3種裂縫分布形式中，直線裂縫傳輸路徑最短，氯離子擴散速率最大，折線裂縫傳輸路徑最長，氯離子擴散速率最小，曲線裂縫介于兩者之間.

5.3 裂縫偏轉角

實際混凝土結構在彎曲荷載作用下，除會產生豎向裂縫外，還會生成寬度為wcr、深度為lcr、偏轉角為θc的斜裂縫. 因此為研究不同裂縫偏轉角下開裂混凝土中氯離子擴散規律，利用CA模型分別對裂縫偏轉角θc= 0°，10°，20°，30° 的混凝土中氯離子擴散過程進行了模擬，模擬結果如圖14所示. 裂縫偏轉角分布見附加材料6圖S6.

圖14 不同裂縫偏轉角下截面氯離子濃度模擬結果Fig. 14 Simulation results of chloride ion concentration in cross section under different fracture deflection angles

從圖14可知：不同裂縫偏轉角下截面氯離子濃度分布存在較大差異，隨裂縫偏轉角度的增加，截面氯離子濃度分布曲線發生了相應的偏轉. 為描述偏轉后裂縫對周圍氯離子擴散效應的影響，圖15給出了不同裂縫偏轉角下，距離混凝土表面10 mm處氯離子濃度沿截面寬度的變化. 圖16顯示了不同裂縫偏轉角對應的裂縫端部截面氯離子濃度隨擴散深度的變化.

圖16 裂縫端部截面氯離子濃度隨擴散深度的變化Fig. 16 Variation law of chloride ion concentration in section of fracture end with diffusion depth

從圖15可知：隨著裂縫偏轉角的增加，氯離子濃度分布曲線的峰值逐漸減小，與裂縫偏轉角θc=0° 時的結果相比，當裂縫偏轉角分別增大至10°、20°、30° 時，裂縫處氯離子濃度分別減小了約2.5%、9.4%、25.8%；由于裂縫偏轉角的不同導致裂縫中心位置發生變化，進而使得氯離子濃度分布曲線發生偏移，但曲線均關于裂縫對稱分布，且不同偏轉角下裂縫對裂縫周圍氯離子擴散的影響區域基本保持不變，均集中在裂縫左右18 mm （lr/2）的范圍內.

圖15 截面氯離子濃度沿截面寬度的變化Fig. 15 Variation law of chloride ion concentration in cross section with cross section width

從圖16可知：不同裂縫偏轉角下氯離子沿擴散方向的變化與其他裂縫參數相同；在開裂區域，氯離子濃度隨裂縫偏轉角的增加而減小，與裂縫偏轉角θc= 0° 時氯離子濃度相比，當裂縫偏轉角度分別增大至10°、20°、30° 時，裂縫端部氯離子濃度分別減小約3.3%、21.9%、29.8%，分別是裂縫偏轉角 θc=0°時氯離子濃度的0.97倍、0.78倍、0.70倍. 這主要是由于在裂縫寬度和深度相同的情況下，隨著裂縫偏轉角的增加，氯離子沿裂縫從表面傳輸到裂縫端部的路徑逐漸增大造成的，表明在相同侵蝕時間內，隨著裂縫偏轉角的增加，距離表面同一深度氯離子濃度值逐漸減小.

6 結 論

本文根據氯離子在開裂混凝土中的擴散機理，利用元胞自動機和均勻化等效分析方法，建立了用于模擬開裂混凝土中氯離子擴散過程的元胞自動機模型，并利用模型分別對開裂混凝土中氯離子濃度分布規律和傳輸過程進行了研究. 通過研究可得出如下結論：

1） 元胞尺寸的大小是求解CA模型的關鍵，通過不同尺寸下的數值實驗，表明當元胞尺寸 δ =0.5 mm時，模型的模擬結果可以滿足精度要求，且元胞尺寸越小，精度越高.

2） 與開裂混凝土氯離子濃度實測結果和有限元模擬結果的對比表明，元胞自動機可以用來模擬氯離子在開裂混凝土中的擴散問題.

3） 參數化分析結果表明，裂縫形狀對開裂混凝土各區域氯離子濃度的影響最大，裂縫偏轉角次之、裂縫分布形式最小；裂縫形狀和裂縫偏轉角不僅對開裂區域氯離子擴散效應有影響，也對未開裂區域氯離子擴散效應存在影響.

4） 裂縫對裂縫周圍氯離子擴散區域的影響范圍與裂縫形狀、分布形式和偏轉角度無關，裂縫只對裂縫左右18 mm范圍內的氯離子濃度存在影響，對超過18 mm以外氯離子濃度基本無影響.

備注：附加材料在中國知網本文的詳情頁中獲取.