研究拉格朗日中值定理在高中的應用

帥亞軍

摘要：介紹拉氏定理的基本情況和數學形式，以及包含的主要內容。從而通過在不等式、函數單調性判斷中的具體運用作為中心展開討論。

關鍵詞：拉氏定理;中值定理;定理運用

引言：

拉格朗日是僅次于歐拉的大數學家，在18世紀，他在數學領域解決了很多較為復雜的問題。而拉格朗日中值定理在高中數學教育中具有開創性和探索性，是培養學生主動思考數學問題，提高邏輯能力的重要定理之一。

一、定理內容

羅爾中值定理的出現使得拉格朗日中值定理誕生，這一定理得別名為拉氏定理，其為微分學的基本定理之一。拉氏定理的出現，將可導函數在閉區間上的平均變化率明確化，并準確反映了在此閉區間內，函數的某一點存在的局部變化率的關系。與此同時，拉式定理也與柯西中值定理的某一特殊情形相符，它同樣也是泰勒公式的一階展開（弱形式）。1797年拉格朗日在法國提出了該定理后，拉格朗日中值定理這個名字才在學術界被確定了下來。[1]

拉格朗日中值定理的基本定義：如果某函數在閉區間上連續，且同時在這一制定的開區間上可導，那么該函數中一定存在某點ξ滿足等式f（b）-f（a）=f（ ξ）（b-a）。其中，（a，b）為符合條件的開區間，[a，b]為符合條件的閉區間。需要注意的是，點ξ必須處于（a，b）之中，該等式才成立。

二、不等式證明應用

對于不等式這類常見題型來說優先構造與題目要求相符的函數是解題的關鍵。在下一步驟中，做題者可以根據這一構造函數，判斷題目中函數的單調性或數學中較為常見的函數的單調性。[2]當然，這種較為直觀的構造法僅僅適用于難度較小的不等式題目。在高中數學中，出題人為了考查學生對數學定理的應用情況，會設計出無法直觀判斷出單調性的函數，或者一些較為復雜的復合型函數，此時如果繼續使用構造法，則可能“事倍功半”。

基于此，我們可以引導學生使用拉格朗日中值定理完成此類型題目，解題思路一般為：一，根據題目已有條件，仍然完成函數f（x）的構造;二，根據題目給出f（x）對應的區間[a，b]，確定其適用的范圍;三，在[a，b]區間上，驗證拉格朗日中值定理展開使用的條件是否與題目相符，確定完成后可以開始通過已確定的ξ求出f（ξ），完整羅列等式便于后續計算;最后一步，確定ξ的范圍后，可以推算出f（ξ）的范圍，此時不等式可以被得到。

我們用一個簡單的例子進行說明：

例1：已知a

證明：（思路：如果使用構造法，則題目中的函數單調性不易被確定，如果使用拉格朗日中值定理則可以避免求解函數單調性，快速完成不等式證明）。

設：f（x）=arctanx，且確定其區間[a，b]。函數f（x）在該閉區間上連續，在該開區間上可導，滿足拉式定理，則在該開區間上一定存在一點ξ，滿足f（b）-f（a）=f（ξ）（b-a），a<ξ

此類型例題中，學生可將等式左邊視為f（x）在某區間值上的兩個端點值相見，而將右邊視為f（x）在此區間長度上的倍數形式。除此之外，如果遇上一些較為隱晦的拉式定理不等式題型，可根據需要先對原式進行變形，再通過定理完成證明。

三、函數單調性證明

判斷某函數的單調性，可以有兩種方法：一是直接觀察該函數在某區間上遞增或遞減的充要條件，通過f（x）與0之間的關系直接判斷函數單調性;另一種則是使用拉格朗日中值定理進行判斷，此方法更為直觀，此處列出判斷依據：

四、結束語

除了上述兩種題型應用外，拉格朗日中值定理還可以證明方程根是否具有唯一性。眾所周知，零點定理可以證明方程根的存在，但無法確定其是否唯一。拉氏定理采用反證法，通過解開矛盾對方程根唯一性進行確定。

參考文獻：

[1]鄧京鳳. 高觀點下的拉格朗日中值定理在中學數學中的應用[J]. 新智慧， 2019（25）：2.

[2]魏文. 淺談拉格朗日中值定理在高中數學中的應用[J]. 課程教育研究：學法教法研究， 2019（2）：1.

[3]顏挺進. 拉格朗日中值定理在分析證明不等式中的應用[J]. 高考， 2019（6）：1.

[4]黃海松. 拉格朗日中值定理的證明及應用[J]. 2021（2018-3）：104-109.25A510A4-E565-4070-ABF8-0CE04216C250