基于馬爾科夫模型的期貨市場收益率波動預測研究

白婷潔

（成都理工大學 商學院 四川成都 610059）

一、研究背景

隨著市場經濟全球化，風險因素愈發復雜，我國農產品期貨市場體系尚不健全、缺少風險監管制度，金融市場的細小波動極其容易加劇期貨市場價格的震蕩①。為避免農產品價格波動幅度過大導致投資者和金融機構付出高昂代價，我們需要準確預測農產品期貨市場的波動狀態和波動率，從而準確預測期貨價格。本文將同時引入兩種不同波動狀態且具有代表性的期貨作為對比分析樣本來探究模型的可行性與包容性，確保在實際應用中投資者或是機構能夠精準使用模型。我國農產品期貨種類繁多，其中大豆期貨出現較早，數據比較完善，因此本文選擇大豆2號期貨。在金屬期貨市場中，研究發現黃金期貨價格比其他金屬期貨價格波動更加穩定，因此本文引入黃金期貨②。

實際上，準確預測期貨市場波動率的前提是選取合適的模型且精確描述收益率的波動狀態；而波動狀態通常又因市場受供求關系、通脹和政策等因素制約而表現出多波動狀態③。研究市場波動狀態本文用一種比較特殊的隨機過程馬爾科夫鏈進行探討④。通常情況下一個金融序列存在多種波動狀態，單機制波動模型卻只能刻畫出序列的一種波動狀態，導致預測不準確。馬爾可夫機制轉換模型（MRS，馬爾可夫轉換模型Markov Switching Model）解決了單機制模型的缺陷，該模型通過條件方差均值和一個“差值”來刻畫波動狀態，缺點在于這個“差值”具有較強的主觀性，導致預測的波動率有誤差⑤。HMM在馬爾科夫鏈的基礎上發展而來，Rabiner等對HMM的基本理論和使用方法進行了詳細的闡述⑥。HMM優勢在于模型中涉及隱藏狀態和觀測狀態，從而消除了主觀因素對波動狀態造成的誤判。HMM模型被許多領域的學者運用，Xu Dong等用改進后的HMM模型準確識別出了轉錄因子的結合位點⑦；Alexander等用改進后的HMM識別語音詞匯⑧。趙庶旭等用馬爾可夫模型識別交通最優路徑，結果表明馬爾可夫模型求解的方法在道路平整度和識別率方面優于其他算法⑨。崔書岳等將其運用在預測縫洞型油藏產量領域，結果表明HMM在預測方面有效性更高⑩。這些研究都表明HMM能夠準確分析序列所處狀態，因此本文將引入MRS模型作為HMM的對比模型來探究HMM在狀態刻畫時的優勢，繼而確定大豆2號期貨和黃金期貨的波動狀態。

迄今為止，研究金融市場的學者有很多而且研究成果顯著。博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)在研究時間序列時，為量化當期數據與歷史數據的關系、求解隨機變動項，兩位學者建立了自回歸滑動平均模型(ARMA)。鄒柏賢等用該模型預測網絡流量超越閾值問題且結果表明ARMA模型能確定閾值?。隨后羅伯特·恩格爾(Engle)提出自回歸條件異方差模型(ARCH)?；唐齊鳴等運用該模型檢測中國股票市場的波動性并提出了有效的政策建議，足以證明ARCH模型的優勢是預測波動率。繼而以Bollerslev為代表，ARCH模型被拓展為多種不同的類型，其中專門為金融數據量身定做的GARCH類模型是本文研究期貨波動率的重要基礎?。GARCH模型最大的特點在于它建模的對象是誤差的方差，此方法比直接分析原始數據來預測未來價格能給投資者帶來更高的參考價值。林琦等運用GARCH模型闡述開放式基金收益率的風險，結果表明該模型能夠很好地描述基金收益率的波動性?。李紅云等使用GARCH模型對鋼材期貨市場波動率進行預測?；馬超群等同樣用GED分布的GARCH類模型對上海金屬期貨市場的非線性波動進行研究?。這些研究都表明GARCH類模型能夠很好地預測波動率，能夠有效刻畫金融收益率存在的“尖峰厚尾”特征，但是不能解釋收益率殘差對收益率所造成的非對稱性。因此，Nelson提出了EGARCH模型，該模型不但有刻畫收益率的聚集性和波動性的能力，還對模型參數進行了非負約束，讓模型能夠在金融序列分析中得到廣泛的運用?。因此，本文將使用GARCH和EGARCH模型刻畫大豆2號期貨市場與黃金期貨市場的波動率。

近幾年來，單一的GARCH類模型已經不能滿足投資者和金融機構的需求?；艟暰V等提出AHMM-AD方法來提取時間序列中的非線性特征，提高時間序列異常檢測性能的顯著性?。劉波等將HMM與PSO-SVM模型相結合組成新的預測方法，結果表明組合模型的準確度更高?。HMM與其他模型的結合或者EGARCH模型與其他模型的組合不計其數，但對于HMM與EGARCH模型相結合的研究卻不多。景楠運用HMM和EGARCH研究中國期貨市場波動率得出較好的結果?。林宇等將EGARCH模型與HMM組合，用HMM-EGARCH模型預測銀行間同業拆放利率市場波動，實證結果表明HMM-EGARCH能夠準確地預測Shibor市場的波動狀態及波動率?；后來又運用HMM-EGARCH模型預測石油價格波動率?和結構突變下的原油價格波動率?，這些研究表明HMM-EGARCH模型未來在金融行業會得到廣泛應用。

目前學術界基于HMM-EGARCH模型對金融市場的研究尚且不夠，還需要更多的實證研究來做補充。因此，本文將引入HMM來預測期貨市場的波動狀態，引入GARCH類模型預測期貨市場的波動率。希望能夠提高對期貨市場預測的準確性，從而為投資者及金融機構提出有效的風險規避方案和相關建議。本文主要目的是通過對比分析，考察在預測波動率時HMM-EGARCH模型是否比GARCH類的其他模型更準確。本文的優勢在于考慮多種殘差分布，研究時間序列的波動狀態及其對HMM-EGARCH模型預測準確性的影響。選擇預測期貨市場的最佳模型，為金融市場新增預測方法。

二、研究方法

（一）基于HMM模型構建期貨市場波動狀態的預測方法

要預測大豆2號與黃金期貨市場的波動率，首先要精確地刻畫其波動狀態。由于大豆2號和黃金期貨市場的波動狀態不能被直接觀察到，只能用隨機過程呈現的觀測序列來預測。因此構建基于HMM的期貨市場波動狀態預測模型，具體方法如下：

首先，將大豆2號和黃金期貨市場的收益率作為可觀測序列，定義為：O={o1，o2，…，oi}；隱狀態序列定義為Q={q1，q2，…，qi}；隱狀態集合為S={s1，s2，…，sN}。t表示期數，N表示狀態數。要用HMM模型刻畫大豆2號和黃金期貨市場的波動狀態，首先需要計算HMM相應的參數λ=（A，B，π）。其中：

A表示隱含狀態轉移概率，表示為：

B表示觀測狀態轉移概率，表示為：

π表示初始狀態概率分布，表示為：

然后，將觀測序列等分，除最后一個觀測量外其他都作為HMM訓練序列，對每塊觀測量用EM算法求解HMM參數A、B、π。用最后一個觀測量計算對每個HMM的擬合程度，取擬合度最好的HMM模型，即尋找一個使似然值達到最大λ；再采用Viterbi算法和參數λ，確定最優隱狀態序列Q={q1，q2，…，qi}。

最后，根據以上求解的參數λ和估計出的最優狀態序列，可以構建出HMM預測模型。HMM構建大豆2號和黃金期貨市場波動狀態預測模型，方式如次：t時刻的隱狀態qt=si服從轉移概率為矩陣A的馬爾科夫過程，轉移到t+h時刻的轉移矩陣為Ah=那么從t時刻轉移到t+h時刻隱狀態qt+h=sj的概率為Ah（i，j），因此h步的預測值為：

由此預測大豆2號和黃金期貨市場的波動狀態。

（二）EGARCH模型

EGARCH模型兼具ARCH模型可以描述波動集群的特點和GARCH模型對誤差進一步建模優點；GARCH(1,1)模型的定義如下：

其中要求條件方差不能為負數，即：ω＞0，α≥0，β≥0；ht為條件方差，zt是服從自由度為v的正太分布。

設xt表示第t期期貨市場的收盤價，xt-1表示同期期貨市場的開盤價，當期的收益率定義為：

當金融市場受到負面因素沖擊時，價格將回跌、條件方差也將增大，這一系列連鎖效應將使價格和收益率波動幅度更大。反之，當市場狀態良好時，價格將上漲，波動也會得到緩解。在金融市場中，正向沖擊和負向沖擊對價格的影響相反，但結果是非完全對稱的。同樣，正負沖擊對條件方差的影響是非對稱的，GARCH模型的缺陷就在于它不能有效刻畫這種非對稱性。EGARCH模型剛好能夠更好地刻畫波動狀態的非對稱、波動集群和尖峰后尾特性。由于EGARCH(1,1)模型簡潔，易于研究，因此本文采用EGARCH(1,1)模型。EGARCH(1,1)的定義如下：

為了保證了ht的非負性，該模型的條件方差采用取自然對數的形式。

（三）基于HMM-EGARCH模型構建期貨市場波動率的預測方法

EGARCH模型作為單機制模型不能刻畫多波動狀態下的金融時間序列，因此本文將把HMM與EGARCH模型結合組成HMM-EGARCH模型來研究大豆2號期貨和黃金期貨。即：

（四）預測模型擬合度的評估方法

要盡量準確地預測期貨市場波動率，就需要盡可能地減小在預測波動狀態時出現的偏差。第一步檢驗模型是否能夠預測波動性及其預測的準確性，進而對大豆2號和黃金期貨波動率預測的準確性進行檢驗。

MSE為均方誤差，是殘差的估計值與其實際值之差平方的期望值，通過評價數據的變化程度來檢驗模型性能；MSE1、MSE2之間的不同之處在于是否對殘差做平方處理；MAE為平均絕對誤差，是殘差的估計值與其實際值之差絕對值，相當于絕對誤差的平均值，能夠更好的評估預測值的誤差；檢驗值越小說明模型擬合度越高。HMSE、HMAE分別表示異方差性修正后的均方誤差和修正誤差；QLIKE表示Gaussian似然下的缺失函數。

三、實證研究

（一）樣本選擇和數據初步描述性統計

本文選擇兩種波動類型（即波動狀態活躍型和波動狀態穩定型）的期貨數據進行研究。波動狀態活躍型樣本來自大豆2號期貨，抽取了從2010年9月29日至2020年2月20日共2313個數據。波動狀態穩定型樣本來自黃金期貨，抽取了從2010年3月8日至2020年4月6日共2625個數據。本文用來計算收益率。

從表1對數據的初步性描述可以知道，大豆2號期貨收益序列與黃金期貨收益序列均值分別為0.013和-0.014。大豆2號期貨收益率的偏度為0.669，黃金期貨收益率的偏度為0.484，顯然兩個序列不服從正態分布，而是呈現右偏的情況。峰度檢驗的結果表明，大豆2號與黃金期貨序列的峰度分別為32.2和9.59超過正態分布峰值3，因此兩序列都有尖峰現象。從J-B統計結果可知兩序列的P值均為0，拒絕大豆2號和黃金期貨兩個收益率序列服從正太分布。ADF檢驗顯示大豆2號和黃金期貨的收益序列都拒絕原假設，顯然兩個期貨樣本都是平穩序列。最后檢驗兩個序列的自相關性，研究結果表明，大豆2號期貨收益率序列自相關系數與偏相關系數部分均落在標準差外，即大豆2號期貨收益率序列在5%的顯著水平上存在相關性；而黃金期貨收益率序列Q-統計量對應的P值大于置信度0.05，因此黃金期貨收益率序列在5%的顯著水平上相關性不大。

表1 大豆2號和黃金期貨收益率描述性統計量

因此，對黃金期貨收益率序列進行如下處理，為增大數據分布范圍，加快數據收斂速度，首先將其序列去均值歸一化?：

相當多的文獻用rt2來表示實際波動，本文用rt2表示大豆2號期貨的實際波動序列，用wt2表示黃金期貨的實際波動序列。經過同樣的數據分析，序列被處理后仍然不是正態分布的、存在“尖峰厚尾”現象，是有偏的；兩個處理后的收益率序列同樣為平穩序列。實際波動存在“集群”性和周期性，進而引入數理統計模型來分析波動數據中存在的時間序列信號。基于以上兩種序列都具有尖峰后尾和自相關性等非典型事實特征，因此用GARCH類模型來處理最為恰當。

（二）不同殘差分布形式下的GARCH類模型

殘差是實際觀測值與方程擬合值之間的差值，一般有正太分布、t分布、廣義誤差分布三種形式?。本文所用模型會對殘差進行再分析，因此首先確定殘差服從分布類型能夠為以后預測波動率降低模型難度。研究時間序列時我們通常用的GARCH類模 型 有GARCH（1,1）、GARCH（1,2）、GARCH（2,1）三種?，先確定GARCH模型的階數，從而簡化模型的復雜性。

通過上述研究發現，當殘差為t分布時，黃金期貨相應的參數大部分沒有通過檢驗；當殘差為GED分布時，參數相比正太分布更加顯著；因此本文將選取正太分布來進行研究。在殘差為正太分布的條件下，當序列為波動狀態穩定的黃金期貨數據時，三個GARCH模型相應的參數全部都通過t檢驗；而對于波動狀態活躍的大豆2號期貨數據，只有GARCH（1,1）模型的所有參數都通過了t檢驗。在實際金融市場不僅存在好消息的正向沖擊還存在壞消息對市場的負向沖擊，而高輝等對銅和鋁期貨市場的研究表明，市場利好消息的影響不會比利空消息的影響大?，所以引入EGARCH（1,1）模型對大豆2號期貨和黃金期貨進行研究分析以期能夠得到更準確的結果。

（三）參數估計和模型評估

1.參數估計結果。在確立GARCH（1,1）為最優GARCH類模型的前提下，建立大豆2號與黃金期貨收益率關于EGARCH（1,1）的相關波動性模型，其中包括三類模型EGARCH模型、MRS-EGARCH模型HMM-EGARCH模型。本文將兩個期貨序列都分為兩組，分別為樣本內數據和樣本外數據，樣本內數據用于估計模型的相關參數；樣本外數據作為對比樣本，用于和預測值作對比來檢驗模型的擬合能力，以此判斷模型優劣。Du Mouchel選取了10%的數據作為預測數據并且研究效果比較好?；因此，本文中大豆2號期貨選取313個數據作為樣本外數據（約占樣本數據的13%），黃金期貨選取325個數據作為樣本外數據（約占樣本數據的12%）。300多個預測數據基本包含一個完整的波動周期，充分涵蓋市場一個周期的所有信息，能說明模型的有效性。

表2 不同分布下的GARCH類模型

分析表3模型的相關參數結果，發現不管是大豆2號期貨還是黃金期貨的相關參數β均顯著且偏大，說明期貨市場的波動率有持續性的特點。而且因為投資者經常用歷史數據分析市場價格變化，所以期貨市場的波動狀態還受歷史波動狀態的影響，因而HMM-EGARCH模型可以對大豆2號和黃金期貨市場進行有效預測。EGARCH模型在兩個期貨市場中的γ參數值存在負值，說明通常在期貨市場中反向沖擊引起的波動大于等量正向沖擊引起的波動。低波動狀態下，正向沖擊引起的波動大于等量負向沖擊引起的波動，高波動狀態下沖擊剛好相反?，表3結果表明HMM-EGARCH模型同樣可以有效預測期貨市場。

表3 三種模型的參數估計結果

2.基于HMM-EGARCH模型期貨市場波動率的預測。本文采用七個不同的損失函數來檢驗三個模型的預測能力，誤差值越大說明模型的預測能力越小，從而做出對比分析。

表4結果顯示，對于大豆2號期貨和黃金期貨，EGARCH模型的損失函數值都普遍偏大。顯然，EGARCH模型不管是預測波動狀態活躍還是預測波動狀態穩定的時間序列，預測的準確性都不高。從表4中可以看出，MRS和HMM兩個模型預測結果都比EGARCH模型好。雖然MRS-EGARCH模型比EGARCH模型對波動率的預測能力好；HMMEGARCH卻只有三個損失函數稍大，其余損失函數都比MRS-EGARCH更小，顯然HMM-EGARCH能夠更加有效地預測波動率。此外，從表4還發現HMM-EGARCH的相關損失函數中，黃金期貨市場的損失函數比大豆期貨市場的損失函數小，說明波動穩定性的市場用HMM-EGARCH模型更有效。

表4 波動率預測性能比較

四、結論

由于金融市場的波動狀態不同，因此本文引入波動穩定和波動活躍以代表性兩種不同波動狀態的市場。首先確定兩個樣本序列的殘差分布類型，然后運用帶有HMM和MRS的EGARCH模型分別對兩種期貨的波動狀態和波動率進行預測，最后用七個不同的損失函數指標來對三個模型的預測準確性進行評估。

在對波動狀態進行劃分和預測時，HMM比MRS模型更為精確，投資者在剖析波動狀態時可優先考慮利用HMM。從評估結果來看，對收益率進行狀態劃分后再進行收益率預測，比直接對收益率進行分析預測的準確性更高。因此HMM-EGARCH模型為金融市場提供了更好的預測方式，投資者和金融機構可以根據金融模型的分析結果和金融市場的實際情況制定出相應的風險預警方案并提出相關建議。

注釋：

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