類比法在數學教學中的應用研究

劉勤鳳

[摘 ?要] 類比作為思考之源、思維之火，在如今的初中數學教學中應用得較為廣泛. 它可將教授內容與學生原有的認知經驗建立有效的連接，使學生深層次地理解新知. 文章就類比法在新授課、復習以及解題教學中的應用談一些認識.

[關鍵詞] 類比;教學;復習;解題

亞里士多德提出：“類比表示的是平行者之間的關系，而非部分對整體或整體對部分的關系. ”可見，類比是一種平行式的思維方式，主要通過對事物某些相同或相似面的比較，來推理某事物也具有另一事物相同或相似的特性. 類比結論的可靠度與類比對象之間的共通點的數量有關，共通點數量越多，說明兩者之間的關聯度越大，結論的可靠性就越高.

數學是一門邏輯性較強的學科，可通過類比法使知識“由此及彼”，讓知識在歸納與演繹中更加深刻化、系統化.

類比法在新授課中的應用

古往今來，人們在遇到新的問題時，常會習慣性地將自身已有的認知經驗與現在遇到的問題進行對比，希望從已有的認知范疇中對新事物產生更多的認識. 對比后會出現兩種情況：一是通過粗淺的類比，將新事物完全歸納到原有認知范疇中，導致原有認知范疇發生一定的改變或擴大;二是在原有認知基礎上對新事物產生新的概念，獲得新的認知，這是思維發展的重要體現[1]. 教學新知時，我們的目標就是實現第二種情況，讓學生通過類比獲得新的定義或概念，實現思維的成長.

案例1 “立方根”的教學.

從字面上來看，“立方根”與我們學過的“平方根”有著一定的聯系. 教學時，教師可以引導學生從平方根的概念和性質著手，通過類比的運用，開發學生的潛能，讓學生在自主類比與分析中獲得新知.

平方根的概念：若一個數的平方為a，我們可稱此數為a的平方根，即±（a≥0）.

平方根的性質：①每個正數都有兩個互為相反數的平方根;②0的平方根有且只有一個，即0;③負數沒有平方根.

教師可以要求學生根據以上學習過的內容，通過合作學習的方式來自主探討立方根的概念與性質.

探討過程中，有學生根據平方根的概念推導出了立方根的概念：若一個數的立方為a，則稱該數為a的立方根，即，讀作三次根號a. 雖然這種說法不夠標準與完善，但從中可以看出學生類比方法的應用程度.

在教師的引導與學生的積極交流之后，立方根的概念與性質也悄然浮出了水面.

立方根的概念：若一個數的立方為a，則稱該數為a的立方根，寫作.

立方根的性質：①正數只有一個正數立方根;②0只有一個立方根，且為0;③負數只有一個負數立方根.

學生在上述類比中，深化了對立方根的認識，同時，類比思想也在類比法的應用中生根、發芽.

建立原有經驗與新信息的聯系是學習的本質，要讓數學學習內容豐富、學法靈活，避免出現“堆砌知識積木”的弊端，教師就該應用一些方法將學生的思維串聯起來，讓學生從中深刻體會知識的發生、發展動態. 而類比法就是聯系新知與舊知的重要紐帶[2]. 通過類比不僅能加強知識的聯系，還能幫助學生理清知識脈絡，將新知很好地內化到原有認知結構中.

類比法在復習教學中的應用

根據艾賓浩斯遺忘曲線，新知只有在一定的時間內及時溫習，才能達到記憶的恒久. 數學學習亦如此，每隔一段時間，我們都要對所學知識進行復習，從而達到鞏固與提高的目的，為更好地解題奠定基礎. 在復習教學中使用類比法，可讓知識在縱橫交融與拓展中達到以點串線、以點連線與點線成網的良好效果.

案例2 “中心對稱和中心對稱圖形”的復習教學.

本章節的內容相對抽象，學生在初學時就感到困難重重. 在復習階段，教師最大的任務就是幫助學生縷清其中的關系，并讓學生對相關概念產生深刻、形象的認識. 筆者教學本章節復習課時，將它與“軸對稱和軸對稱圖形”進行類比，具體過程如下.

師：哪位同學能簡單地描述一下軸對稱與軸對稱圖形之間的關系？

生1：如圖1所示，軸對稱主要是指兩幅圖之間的位置關系. 軸對稱圖形則是一個具備一條軸線的兩邊完全對稱的圖形（如圖2所示）.

師：生1講得很清楚. 那么中心對稱和中心對稱圖形又各自具備怎樣的特點呢？請分組討論.

組1：將中心對稱與軸對稱進行類比，可得出表1所示的結論.

組2：中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系如表2所示.

學生通過縱橫交錯的對比，不僅起到了溫故而知新的復習效果，還通過列表的方式將點狀的知識串聯成線、編織成網，在大腦中建構了一個完整的知識體系. 這樣的方式不僅能讓學生深化理解知識，還能有效地促進學生數學思維的發展. 并在知識的遷移中通過不斷的補充、改造與完善，使認知實現質的飛躍.

心理學研究發現，學習者容易遺忘孤立的知識點，但系統化的知識在認知中則呈現出穩固的狀態. 從上述教學案例不難看出，類比法的應用能有效地將知識進行融會貫通，形成知識網絡，能幫助學生更好地建構認知體系.

類比法在解題教學中的應用

知識水平的評價大多是采用考試來進行，所以從某種程度上來說，解題能力能反映一個人的實際認知水平. 那么類比法的應用對提高學生的解題能力具有顯著的促進作用，學生通過一般例題的學習，根據其解題思想類比推導出新的解題思路，獲得舉一反三的解題能力.

案例3 用類比法解題.

問題：求代數式+的最小值.

不少學生看到這道題時不知從何處下手. 為此，教師可引導學生從數形結合的角度進行思考，將本題巧妙地轉化成圖形題：

如圖3所示，C為BD上一個動點，現分別過B，D兩點作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC. 已知AB=1，DE=5，BD=8. 假設BC=x，那么CD=8-x，AC=，CE=. 此時問題轉化為求AC+CE的最小值.

顯然，當A，C，E三點在一條直線上時，AC+CE的值最小. 由此，我們就可以順利地求得+的最小值.

解完本題后，教師又提出問題：請大家參照上述解題方法，通過構圖獲得代數式+的最小值.

數形結合思想在數學中的應用頻率相當高. 本題將“數”與“形”的關系進行類比與分析：從“數”的角度來看，我們看到的是代數式，但從“形”的角度來分析，我們看到的是點與點之間的距離. 因此，數形結合的構造方法會讓問題變得簡單、形象、直接，更符合學生的思維模式與認知發展特征. 本題若只從代數的角度分析，不借助圖形，很難求出答案. 但從圖形的角度去思考，則很容易想到“兩點之間，線段最短”.

教師在學生順利解題的基礎上，又提出一道類似的問題供學生思考，這其實是讓學生鞏固新知. 學生通過例題的解決過程，掌握了一定的解題技巧，但那是在教師引導的基礎上進行的. 此時，新問題的提出就是為了檢驗學生的掌握程度，讓學生在自主應用中熟練解題流程，并將這種解題思路內化為自己的認知架構，下次再遇到類似的問題，便可以融會貫通，自主解題.

將類比法應用到解題教學中，不僅能有效地提高學生的解題能力，還能幫助學生實現知識的正遷移，對學生創新能力的形成與發展有深遠的影響[3].

總之，在數學教學中，突破教學重點與難點的方法有很多，究竟要選擇哪種方法，可根據學生的實際情況和待解決問題的性質來決定. 用類比法將知識進行歸納、比較與分析，不僅能提高學生的探究熱情，還能優化學生的認知結構，發展學生的數學核心素養.