概念教學：在深根厚植中自然生長
——例談“分數的初步認識”

江蘇省常州市新北區九里小學 陳 莉

數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學概念是抽象化的數量關系和空間形式，是反映數學對象本質屬性的思維方式。學習數學，學生首先需要基于抽象的過程理解抽象的數學概念。“分數”這個概念的產生，在整個“數的認識”這一體系中，對于學生來說，是一次巨大的飛躍。同時，對于小學數學學段內“數的認識”，分數的認識又起到了一個承上啟下的作用。如何理解好“分數”這個概念？結合多次磨課的經歷，對于“分數的初步認識”這一課的教學，筆者通過聚焦問題打開思維，借助直觀豐富表象，從而促使學生對概念形成深度的理解。

一、問題引領，產生概念

師（播放課件）：小紅和小明要去郊游，把4個蘋果、2瓶水、1個蛋糕，平均分成兩份，每種食物每人分得多少？

生：每人分得2個蘋果，每人分得1瓶水。

師：像這樣，把每份分得同樣多，我們給它一個名稱叫“平均分”，我們在二年級的時候就已經認識了平均分。

師：如果把1個蛋糕平均分成兩份，每份是多少呢？

生：半個。

師：“半個”怎么用數來表示？它還能像剛才分蘋果那樣用2或者1來表示嗎？

在學習分數之前，學生的已有經驗是知道什么是“平均分”，并且會用“1”“2”……這樣的整數來表示“平均分”的結果。因為“平均分”這一概念是學生認識分數的重要基石，教師首先要喚醒學生對“平均分”這一概念的已有認識，接著用“半個怎么用數來表示呢”這一問題，讓學生進入了思維盲區，正是這一問，激發了學生認識新知的動力，同時也闡明了分數產生的價值所在，為后續的學習打開了局面。

二、直觀表征，形成概念

師：把1個蛋糕平均分成兩份，該怎么分呢？請你試著用圓片分一分。

（學生試著把圓片對折）

師：請一位同學上來演示平均分蛋糕的過程。

（學生上講臺把蛋糕圖片平均分成兩份）

師：像這樣把1個蛋糕平均分成兩份，這一份就是這個蛋糕的二分之一。（在其中的一份蛋糕上面寫上）

師：那么另一份呢？誰能試著說一說？

生：另一份也是這個蛋糕的二分之一。

師：像這樣，把1個蛋糕平均分成兩份，每份就是這個蛋糕的二分之一。這個每份既指左邊一份，又指右邊一份。

（師指導書寫）

……

師：想一想，除了蛋糕平均分成兩份，每份是這個蛋糕的二分之一外，還有哪些地方也需要用到二分之一？請在小組里交流。

（小組交流）

生1：把1個西瓜平均分成兩份，每份是這個西瓜的二分之一。

生2：把1塊巧克力平均分成兩份，每份也是這個巧克力的二分之一。

……

分數的產生既有現實需要的推力，也有數學內部發展需要的推力。由此出發，分數的定義主要有份數定義和商定義（由此還可以延伸出分數的其他定義）。其中，分數的份數定義（把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數）具有核心作用。我們由分數的定義可知，分數本質上是一種數。由于數又是抽象的，學生在已有的學習經驗中從未接觸過分數，在生活經驗中，對分數也接觸不多。如何揭開這位“新朋友”的面紗？教師借助直觀形象的切蛋糕過程，讓“二分之一”這個分數的出現有了著力點，并且通過左邊一份是這個蛋糕的二分之一，右邊一份也是這個蛋糕的二分之一的反復強化，讓學生理解了“只要把1個蛋糕平均分成兩份，每一份都是這個蛋糕的二分之一”這樣一個比較豐富的內涵意義。同時，教師通過讓學生自己去說一說“哪些地方還可以用到二分之一”，進一步豐富了學生對“二分之一”這一概念的理解。但是，由于受到蛋糕的影響，學生的舉例僅僅局限在食品。因此，教師還需要進一步抽象、提煉“二分之一”這一概念的本質內涵，讓學生真正理解什么是“二分之一”。

三、變式融通，深化概念

師：除了物體中隱藏著分數，實際上，平面圖形中也隱藏著分數。

師：請你拿出課前準備的正方形紙，折一折，寫一寫，按照活動要求完成探索活動一。

（大屏幕出示活動一要求）

活動一要求：

1.折一折：自己想辦法折出正方形紙的二分之一。

2.寫一寫：在正方形紙對應的位置寫出相應的分數。

3.說一說：在小組里說一說，你是怎么折出二分之一的？

4.比一比：和小組里的同學比一比，折法一樣嗎？

（小組互動，教師巡視）

（生匯報交流，結果如圖1）

圖1

師：為什么折法不同，卻都能折出這張紙的二分之一呢？

生：折法雖然不同，但是，都是把一張紙平均分成兩份，所以，每份都是它的二分之一。

師：是的，不管怎么折，只要是把它平均分成兩份，每份就是它的二分之一。

師：在這張正方形紙上，你還能折出不同的分數嗎？請你完成探索活動二。

（大屏幕出示活動二要求）

活動二要求：

1.折一折：自己想辦法在正方形紙上折出不同的分數。

2.說一說：在小組里說一說，你是怎么折的？折出的分數是什么？

3.比一比：和小組里的同學比一比，折出的分數一樣嗎？

4.想一想：為什么同樣的正方形紙，折出的分數卻不一樣？

（小組活動，展示研究成果，如圖2）

圖2

師：為什么同一張紙，折出的分數卻不相同呢？

生：因為有的是把正方形平均分成4份，所以，每份就是這張紙的四分之一。有的是把正方形紙平均分成8份，每份就是這張紙的八分之一……

師：雖然是同一張紙，但是，平均分的份數不一樣，每份表示的分數也不一樣。

理解一個概念，既要認識它的內涵，也要重視它的外延。概念的定義用來揭示概念的內涵，概念的外延主要指概念所涉及的不同對象。學生通過直觀表征初步認識分數以后，其實對分數的認識還僅僅停留在具體的物體上。教師通過“除了物體中隱藏著分數，實際上，平面圖形中也隱藏著分數”這樣的一句過渡語，讓學生明確分數內涵的豐富性。教師通過兩次折正方形紙的活動，使學生認識到：盡管對象不同，但是，只要是平均分，都可以用分數來表示。其中，在兩次折正方形的活動中，“為什么折法不同，卻都能折出這樣紙的二分之一呢”“為什么同樣的正方形紙，折出的分數卻不一樣”兩個指向概念本質的問題引領學生對分數概念進行了深度思考，即不管什么對象，不管怎么折，只要符合分數的概念，就可以用分數來表示。

四、想象推理，拓展概念

師：如果把這張正方形紙繼續對折下去，還能得到哪些分數呢？請同學們充分發揮自己的想象，想一想，然后和同桌交流。

（小組交流討論）

生：我覺得還可以折出十六分之一。

師：你是怎么想的呢？

生（上臺演示）：對折一次，就是平均分成兩份，再對折，打開就是平均分成4份，再對折，打開，就是平均分成8份，如果繼續對折，我覺得應該是8×2=16份，所以，我說是十六分之一。

師：是不是十六分之一呢，我們可以繼續折一折，看一看。

師（演示對折）：雖然折起來有點困難，但是，還是可以折的，我們一起數一數是不是16份。

（驗證，果然是16份）

師：按照這樣的方法繼續推理，再往下折，會折出怎樣的分數呢？

生1：應該是16×2=32份，應該是三十二分之一。

生2：再往下折，就是32×2=64份，就是六十四分之一。

……

師：在這張正方形紙上，能不能表示出五分之一呢？也就是說這張紙能不能平均分成5份呢？

生（異口同聲）：不能。

師：再想想呢？

生：應該可以吧，不過有點難的。

師：是的，這張正方形是可以平均分成5份的，也可以平均分成6份、7份，只不過靠我們手工操作比較困難，但實際上是可以的，我們可以在電腦上演示一下怎么把這樣的正方形紙平均分成5份、6份、7份。（見圖3）

圖3

在上一個環節，學生借助折紙的過程，對分數的概念有了一個初步的認識。但是，這種概念的建立還只是建立在幾何直觀上，而建立在幾何直觀上的認識的分數是有限的。教師提出“如果把這張正方形紙繼續對折下去，還能得到哪些分數呢？請同學們充分發揮自己的想象，想一想，然后和同桌交流”這個問題，給了學生很大的想象空間，極大地培養了學生的想象力和推理能力，同時給學生提供了一個進一步拓展分數概念的平臺，極大地豐富了分數的內涵。教師接著又提出“在這張正方形紙上，能不能表示出五分之一呢？也就是說這張紙能不能平均分成5份呢”這個問題，讓學生的思維處于“欲罷不能”的狀態。通過教師引領、深度思考，學生的思維更加趨于理性，邏輯性更強，同時，學生對分數的認識更加豐富。

五、溝通聯系，統整概念

師：今天這節課，我們主要學習了分數，想一想，什么時候需要用到分數？

生：當我們平均分的時候，得到的不是正好是1個、2個、3個這樣的數時，我們就要用到分數。

師：那它和我們之前學的整數有聯系嗎？有怎樣的聯系？

生：我覺得分數和整數有聯系，首先，一個叫整數，一個叫分數，它們都是數。

師：說得真好，分數、整數都是數，它們都屬于數的范疇，但是，它們又有區別，整數只能表示一個物體的個數，當不滿一個時，我們可以用分數來表示。

建構主義認為，只有系統化、結構化的知識才便于學生真正理解、掌握和提取。分數對于學生來說是一個全新的概念，它不是獨立于已有知識的全新概念，而是與整數息息相關的。它和整數都是數，都是用來表示物體的個數，只是整數是表示完整物體的個數，當不能用整數來表示時，我們就可以用分數來作為補充。教師通過這樣的融通整合，有效地促進了學生對分數的理解以及存在的價值的認同。

概念教學是數學教學的重要組成部分，數學概念是數學知識的基礎，是進行數學思維的基本單位。因此，教師一定要重視概念的形成過程，通過豐富形式，使學生逐步認識概念的內涵和外延，讓概念在深根厚植中自然生長。