經歷探究過程 滲透轉化思想
——以“平行四邊形的面積”教學為例

江西省贛州市南康區第一小學 劉升寧 鄧馬麗

【教學目標】

1.熟練掌握平行四邊形的面積計算公式，會正確運用計算公式解決實際問題。

2.通過觀察、合作、思考、歸納整理，自主探索并推導平行四邊形的面積計算公式，感受轉化的數學思想方法。

3.通過一系列數學活動，提升解決實際問題的能力，并在這一過程中感受數學的魅力。

【教學重點】

熟練掌握并能正確運用平行四邊形的面積計算公式。

【教學難點】

平行四邊形的面積計算公式的推導。

【學情分析】

小學高年級的學生已具備一定獨立思考的能力，并且他們非常樂意交流分享自己獨特的見解，可以和同學一起合作，有較好的數學學習能力。在此之前，學生已經知道長方形的面積計算公式及它的推導過程，并能正確地計算長方形的面積，對平行四邊形的相關內容也有所掌握，這些都是本節課的學習基礎。學生在生活中接觸過關于平行四邊形的感性例子，但不會注意到怎樣計算平行四邊形的面積，新授時完全接受起來有一定的難度。

【教學過程】

一、遷移類推，初識轉化

1.課件出示：每個小正方形代表1平方厘米，圖1的面積是多少平方厘米？

圖1

（1）學生想法一：數一數，一共有12個正方形,所以是12平方厘米。

（2）學生想法二：把左邊凸出的小正方形剪下來，再拼到右邊空的那個地方。(此時，教師課件演示動態剪拼的過程，揭示并板書：剪拼）

（3）教師提出問題：我們為什么要剪拼？

（學生回答后，教師板書：轉化 長方形）同時，教師引導學生將剪拼的方法和數方格的方法互相印證。

（4）讓學生說出自己的解決方法。（略）

2.課件出示：圖2的面積是多少平方厘米？

圖2

3.通過求上面兩個圖形的面積，我們發現可以用剪拼的方法來做什么？

（學生回答后，教師多媒體動態展示：將沒有學習過的圖形剪拼“轉化”成學過的圖形）

教師進行方法的強調：用剪拼的方法把我們沒有學過的圖形“轉化”成學習過的圖形，是我們研究平面圖形面積的最常用，也是最實用的一種方法。

學生通過將上圖中兩個不規則的圖形進行剪拼，使其變成規則的已知圖形，進而求出它們的面積。在自己動手操作的過程中，學生對轉化有了初步的感知，并隨之產生將未知轉化成已知的解決問題意識，為后面學習平行四邊形的面積推導公式做好了充分的鋪墊。

二、操作探究，感悟轉化

（一）創設情境，出示問題

學校組織美化校園活動，給每個班分配了一塊花卉種植地。五（1）班分到一塊長方形種植地，而一塊平行四邊形種植地則分給了五（2）班，兩個班的同學都覺得分得不平均。瞧，他們都覺得自己的種植地更小而爭吵了起來，同學們可以幫助他們解決這個難題嗎？

師：你會算長方形種植地的面積嗎？（長×寬=長方形的面積）那五（2）班的種植地面積，你也能計算出來嗎？這節課，我們就一起進入平行四邊形面積計算公式的探究世界吧。

學生們都非常樂意幫助別人，通過創設學生熟悉又感興趣的分配種植地的情境，學生的學習興趣一下得到了激發，同時，其求知欲也被激發出來。教師引導學生回想并復習長方形面積的計算公式，為接下來的遷移轉化以及新知的學習做好充分的鋪墊，與此同時，把問題拋向學生，讓學生順其自然地進入新課學習。

（二）初步驗證，感悟方法

師：請同學們回憶一下，長方形的面積公式是怎樣推導出來的？一開始，我們采取的是什么方法？你認為這個方法也可以應用于平行四邊形的面積計算嗎？

（教師課件出示方格圖，請學生用同樣的數方格的方法計算平行四邊形的面積，不滿一格就都按半格計算）

生1：我數的是21平方米，我是先數整格的，再把不是整格的拼成整格的。

生2：我數的也是21平方米，我是把左邊的三角形平移到右邊，拼成長方形之后再數的，所以，根據長方形的面積計算公式，得出3×7=21。

生3：只有沿著高的直角三角形，才可以拼成長方形。

師：為什么要拼成長方形？

生：拼成長方形好數。

師：把難數的圖形轉化成容易數的，把平行四邊形轉化成長方形，再計算長方形的面積，那我們得到的這個長方形的面積和原來平行四邊形的面積有什么關系呢？

生：它們的面積相等。雖然平行四邊形被切下來一部分移到另一個位置，但是面積沒有缺掉，根本沒有變化。

師：哇，同學們太厲害啦！老師明白了，只要將平行四邊形“轉化”成長方形，就可以計算出面積了。所有的平行四邊形能否都轉化成長方形呢？這個圖形可以用底×高來計算面積，那所有的平行四邊形面積都可以用底×高來計算嗎？我們如果只用數格子這一種方法來驗證，還不具有說服力。大家想不想自己動手剪一剪、拼一拼？

通過具體操作體驗如觀察、數、算再進行比較，學生對平行四邊形和長方形之間的關系就有了初步的感知，在將平行四邊形轉化成長方形方面也有了初步的體驗。接著，教師引發思維碰撞：所有的平行四邊形都可以轉化成長方形嗎？僅靠數格子這種單一的途徑驗證缺乏說服力，再次引發學生的數學思考。最后，放手讓學生去探索、研究、比較，驗證自己的猜想。

（三）自主探究，推導公式

1.小組合作，動手操作。

師：任何一個平行四邊形是否都可以轉化成長方形呢？

（每個組運用手中不盡相同的平行四邊形進行動手操作，教師巡視）

2.剪拼轉化，發現規律。

生1：我們小組是沿著平行四邊形的一條高剪下一個直角三角形，然后將剪下來的這個直角三角形放到右邊，就拼成了一個長方形。（如圖3）

圖3

生2：我們小組也是沿著高剪開，剪下一個三角形，再拼。（如圖4）

圖4

生3：我們小組也是沿著高剪開，剪下ー個直角梯形。（如圖5）

圖5

師：同學們為什么都說要沿著高剪呢？

生：因為只有沿著平行四邊形的高剪開，才可以得到一個直角，才能拼成我們想要的長方形。

師：哦，原來沿著高剪開，才是剪拼成長方形的關鍵。

師：看來，再特殊的平行四邊形也可以通過剪、拼轉化成長方形。但老師有點不明白，為什么一定得剪拼成長方形呢？其他圖形可以嗎？

生：因為我們學過長方形的面積計算公式。

十個隨性、自由、零散的行動不如一個理性、正確、系統的思想，學生能在教師的引導下說出解決問題的方法，這足以說明教學成功了一半。教師將問題“任意一個平行四邊形是否都可以轉化成長方形”直接拋向學生，給予學生充分的思考空間，這就體現了數學的嚴謹性。要回答這個完全未知的問題，學生只有先將頭腦中儲存的與平行四邊形相關的所有知識及經驗儲備喚醒，才能進一步找到可能的方法來解決問題。要把平行四邊形轉化成學生熟悉的長方形，關鍵是要利用轉化思想，運用好剪、拼的方法。學生完成后，與全班一起交流剪、拼的方法，可以進一步理解剪、拼的本質，同時，促進思維的靈活發展，通過語言描述，提升邏輯思維能力。整個操作和交流的過程，加強了學生對轉化思想的認識、理解，讓學生初步感知底×高就可以得出平行四邊形的面積，為后面的面積計算公式的推導起到了鋪墊作用。

（四）觀察比較，推導公式

師：原來是用舊知識去解決新問題，同學們是把平行四邊形轉化成之前學過的長方形，那通過剪、拼轉化得到的長方形和原來的平行四邊形有什么關系？

生1：我發現它們的面積一樣。

生2：轉化后的長方形的長就是原來平行四邊形的底。

生3：轉化后的長方形的寬就是原來平行四邊形的高。

生4：因為長方形的面積=長×寬，所以，平行四邊形的面積就等于底×高。

師：如果平行四邊形的面積用字母S表示，底用字母a表示，a底邊上的高用h表示，由此得出S=ah。

（五）學生嘗試運用計算公式

師：我們推導出來的這個平行四邊形面積的計算公式，可以應用到任何一個平行四邊形的面積計算中嗎？看來，我們可以幫助五（1）班和五（2）班的同學解決難題了，請你用面積公式幫五（2）班同學計算出他們所分到的平行四邊形種植地的面積，再比較這樣計算面積的計算結果是否和數方格的結果一樣，比較計算結果與數方格求得的面積結果是否一樣。

學生獨立完成(說明格式要求)。

新授知識的教學由學生猜測、驗證、應用三個步驟組成，符合學生的心智發展和學習的一般認知規律。學生經歷一系列的操作活動，如數一數、猜一猜、剪一剪、拼一拼等，這些過程，就是學生經歷新知形成的過程，學生在掌握所學新知識的同時，又能體會到數學學習的樂趣。學生在親歷操作和沉浸式體驗中，充分展現了自主學習和探究性學習的精神。

通過教師引導和學生的思考，學生能探索用轉化的方法將未知的平行四邊形面積轉化成學過的長方形的面積來計算。但在學生轉化之前，教師首先應讓學生充分理解一些問題。第一，將平行四邊形轉化成長方形的這一過程，只是將平行四邊形通過剪、拼轉化成了長方形，其面積不變，即轉化后的長方形和轉化前的平行四邊形面積大小是一樣的。在這一基礎上，學生通過觀察、對比平行四邊形和長方形，得出轉化后得到的長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高，因此推導出平行四邊形的面積就等于底×高。第二，在學生操作、活動等過程中，教師應將轉化的數學思想滲透到學生的心中。在學生成功完成轉化之后，教師應適時引導學生思考：為什么要將平行四邊形轉化成長方形？思考這一問題的目的是讓學生理解：因為求長方形的面積是我們已經能解決的問題，將未知的平行四邊形的面積轉化成長方形的面積，就是將未知問題轉化成已知問題，從而解決新問題。教學中，我們應特別注意的是，轉化不應該是教師提出的要求，而應該成為學生在解決問題過程中迫切的內在需要。否則，整堂課中，學生的動手操作、思考都將處于被教師牽著鼻子走的被動狀態，學生對轉化的理解也就只能停留于表面。

三、學以致用，解決問題

師：經過計算，我們發現五（1）班和五（2）班分到的種植地面積相等。下面請同學們運用這節課所學知識計算下列平行四邊形的面積。（如圖6）

圖6

師：老師為大家的進步感到高興，再出道題考考你們吧，可以怎樣計算下面平行四邊形（如圖7）的面積？(強調：平行四邊形的面積=底×底邊對應的高)

圖7

師：比較下面a、b、c三個平行四邊形（如圖8）面積的大小。你發現了什么？（等底等高的兩個平行四邊形面積相等)

圖8

學生在層次鮮明、形式多樣化的練習中，有效地鞏固了本節課所學的知識，并在一定程度上提高了應用技能。教師通過讓學生解決實際問題，增強了學生的應用意識，培養了學生發現規律、表達想法、闡明道理的能力，讓學生感受到數學來源于生活、運用于生活。

四、總結全課，拓展提升

師：這節課，我們將未知的平行四邊形，通過剪、拼等方法，轉化成我們已知的長方形，成功推導出平行四邊形的面積計算公式，用字母表示是S=ah。像這樣把未知的知識轉化成學過的與之關系密切的舊知識來進行研究，就是數學上常用的轉化思想。希望大家在今后的學習中能夠舉一反三，運用遷移類推、轉化等思想解決更多的數學問題和生活問題。

在此前的數學教學中，教師能將轉化思想隨教學內容滲透給學生，使學生對轉化有了簡單的認識，只是還停留在初識階段。所以，在本節課的教學中，教師應讓學生深刻體會運用轉化思想解決問題的優勢，進而加深其對轉化思想的認識，并會加以運用，讓轉化的思想在學生學習中綻放美麗的數學之花。

最重要的是，在相關的知識教學中，如平行四邊形轉化成長方形的教學，在操作探究后，教師要讓學生自主探討、思考，從而得出正確的結論。教師在教學中，首先，應引導學生重點關注平行四邊形和長方形的面積計算公式以及圖形之間的變換等，即新舊知識之間的聯系，什么不變，如何轉化等。其次，教師應讓學生在解決問題的過程中體會轉化思想，掌握轉化思想的方法。比如，教師可以在知識的鞏固和運用階段，巧妙地設計一些與新知相關的練習，讓學生在實際問題的解決中進一步體會轉化思想。