以應用為導向的離散數學教學改革與實踐

曾 亮

(廣東理工學院 基礎課教學研究部，廣東 肇慶 526100)

離散數學是一門研究離散量的結構及其關系的學科，也是計算機科學與技術、網絡工程、軟件工程等計算機相關專業的重要專業基礎課程。該課程的目標是培養學生的邏輯思維能力、創新能力和應用知識解決實際問題的能力，為數據結構、數據庫原理、編譯原理、操作系統、系統結構、人工智能等后續核心課程提供了程序設計所需要的數學理論基礎。因此，離散數學教學在計算機相關專業的人才培養中具有重要作用[1]。廣東理工學院是一所應用型本科高校，自2015年新增計算機科學與技術專業以來，根據專業人才培養的需要開設了離散數學課程。近幾年，新增了軟件工程和網絡工程兩個專業，三個計算機相關專業都在第四學期開設離散數學課程。現階段，本校離散數學課程在教學內容、教學模式、教學方法和考核評價等方面還處于探索階段，當前教學中存在的一些問題亟待解決。另外，學校在以實踐應用為特點和出發點的應用型人才培養模式中，要求教育不僅要考慮到學科的發展，還要兼顧社會的需要。因此，以培養學生應用意識和實踐能力為目標的離散數學教學改革刻不容緩。通過借鑒國內外應用型本科院校的先進經驗，從教學內容、教學模式、教學手段和評價體系等方面提出離散數學教學改革的具體措施。

1 離散數學課程教學中存在的問題

1.1 教學課時量偏少

離散數學的基本內容包括數理邏輯、集合論、圖論、代數系統等四大部分，涵蓋了計算機領域可能涉及的大部分數學知識。例如，數理邏輯部分與人工智能課程密不可分，集合論部分與數據庫原理課程密切相關，圖論部分與數據結構課程密切相關[2]。教學時數從原有的64學時壓縮至48學時，與其他一般本科學校相比，課時總量偏少。由于該課程包含了較多的數學分支內容，概念和公式較多，導致一些重要的教學內容被放棄，授課過程中很難擠出時間將理論與實踐很好地結合，教學效果不理想。

1.2 教學方法和手段單一

部分教師在授課過程中片面追求數學的理論性和邏輯性，沒有體現其在計算機學科中的應用，導致學生在學習過程中感覺抽象難懂和枯燥乏味，甚至出現厭學的情況。部分教師教學手段單一，仍采取純板書的形式授課，不能充分利用多媒體技術、線上MOOC或SPOC、網絡平臺等資源。與其他應用性很強的專業課相比，這種教學方法和手段顯得過于枯燥，容易挫傷學生的學習興趣和積極性。

1.3 學生的數學基礎和數學素養普遍不高

本校為民辦本科類院校，創辦時間不長，在社會上的影響力有限，所招收的學生大部分在本科分數線附近。這部分學生的數學基礎普遍不夠扎實，自學能力偏差。由于離散數學中的很多內容與其他數學理論課類似，需要學生具備較好的邏輯思維能力，尤其是數理邏輯和代數系統部分，因此有很大部分學生在學習過程中容易產生厭學情緒。對計算機相關專業二年級學生的數學基礎和數學素養情況開展問卷調查，共有510名學生參與了調查。調查發現，認為自己的數學基礎一般的占49.8%，認為比較薄弱的占31.6%；在觀察力、記憶力、思維力、想象力、注意力、自學能力、表達能力等智力因素方面，認為自己學習容易分神的占60.2%，認為學過的知識記不住的占50.6%，認為自學效率很低的占49.4%；在學習需要、動機、興趣、毅力、情緒等非智力因素方面，認為自己學習情緒不穩定、興趣時有時無的占62.6%，毅力差、不能堅持學習的占40.4%，會主動學習的僅占29.8%。

2 離散數學教學改革與實踐

2.1 合理設置教學內容

離散數學涉及的內容較多，主要包括數理邏輯、集合論、二元關系、圖論和代數系統，本校的教學時數僅為48學時，教學時數偏少，所以在課堂教學中很多內容要有所取舍，既要考慮專業對課程內容的后續需求，也要考慮內容之間的合理銜接。根據本校實際情況做出了教學內容及相應學時安排，如表1所示。

2.2 改變教學模式，提升實踐應用能力

傳統的教學模式是“概念→定理→證明→例題”，這種純數學的教學方法忽視了其應用背景和實用性。許多學生認為學習這門課枯燥難懂且毫無用處，也體會不到對計算機編程的作用。為此，我們改變傳統教學模式，實施逆向案例教學模式，即“提出問題→分析問題→引入概念→抽象建?！O計分析→程序設計”模式[3]，其中問題來源于專業案例或者實際問題。通過精心選擇和設置一些有趣、實用的問題，不僅可以激發學生的學習熱情，而且可以引導他們解決更困難、更深層次的問題，使其在解決這些問題的過程中找到快樂和成就感，從而培養學生的探究性學習習慣，提升知識遷移的能力[4]。任課教師需要熟悉所要講授的內容并掌握學生的學習情況，精挑細選出適合的應用問題。例如，在講解數理邏輯中的邏輯演算法前，可以提出以下問題：

表1 各單元教學內容與學時分配Tab.1 Teaching content and class time allocation of each unit

在某次學術會議的茶歇階段，三名參會人員根據張教授的口音對他是哪個省市的人進行了判斷：甲說張教授不是南京人，是上海人；乙說張教授不是上海人，是南京人；丙說張教授既不是上海人，也不是杭州人。聽完以上三人的判斷后，張教授笑著說，他們三人中有一人說的全對，有一人說對了一半，另一人說的全不對。

在講解集合論中的容斥原理前，可提出以下問題：10個小朋友愛吃香蕉或蘋果，其中有8個愛吃香蕉，5個愛吃蘋果，問幾個小朋友既愛吃香蕉又愛吃蘋果？

在講解圖論中圖的連通性前，可提出經典的渡河問題[5]：一個船夫要把一只狼、一只羊和一捆菜運過河對岸去。由于船很小，每次船夫至多只能帶一樣東西。另外，如果人不在旁邊時狼就要吃羊，羊就要吃菜，問這個船夫怎樣才能將它們運過河去。

講解完相應知識點后，提供解決問題的算法或程序，將學習離散數學與提升學生程序設計能力相結合，不僅可以增強學生的學習興趣和編寫程序的能力，而且可以使學生認識到離散數學對后續專業課程的重要性[6]。為此，設計了部分程序題供學生課后學習。每道程序題分難度等級，并設置相應的分數作為平時成績的一部分，部分程序題如下：(1)編寫一段程序，測試P和Q的兩個邏輯表達式是否邏輯等價；(2)已知集合A和B，編寫程序求A與B的笛卡爾積；(3)編寫一段程序，判定關系是否是自反的、反自反的、對稱的、反對稱的、傳遞的；(4)若R是A上的關系，編寫程序求R的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包；(5)給定n個權，通過編寫程序方式構造一棵最優二叉樹。

2.3 多種教學手段相結合

現階段，部分教師依然采用“粉筆+板書”的傳統教學手段。黑板板書能夠充分展示出數學思維的推導過程，也能讓學生有充分思考的時間，跟上教師節奏，但學習效率較低，在有限的時間內很難展示較多的內容。缺少圖形或動態展示會使課堂不夠生動，課堂氛圍較為枯燥，不利于提高學生的學習積極性。多媒體技術能夠彌補純板書的缺陷，“板書+多媒體”成為當前課堂教學的主流教學手段，利用多媒體展示定義、定理、圖形和程序運行，板書演示證明推導的過程。例如，在圖論的教學中，通過動畫演示路徑、回路、簡單路徑、基本路徑和圈之間的聯系與區別，通過程序演示最短路徑算法等。利用智慧教學軟件“雨課堂”同步發送課件、實時考勤和實時發布習題，方便了學生查看歷史PPT內容，減少考勤時間，提高課堂效率，實現師生的線上實時互動，使課堂氛圍更加活躍[7]。

在現代信息技術引領下的高等教育課堂中，線上線下混合教學模式受到許多教師的青睞。這種教學模式具有幾大特點：一是信息空間與真實物理空間的有效融合，二是體現出淺層學習與深度學習的融合，三是學習時間和地點被有效拓展。利用MOOC、SPOC網絡平臺等優質教學資源，設置課前自主完成的部分學習任務，課堂教學根據線上學習反饋情況，進一步鞏固所學內容，對知識做進一步的應用性拓展，提升數學素養。錄制重要知識點或習題的講解視頻，發布至網絡平臺上供學生課后學習鞏固。例如，不定期錄制講解視頻，發布在學生群體關注度較高的“嗶哩嗶哩”網站上，受到學生的一致好評。

2.4 改革評價體系，增加實踐能力考核

本校離散數學課程的原評價體系是按照平時成績(考勤和課后習題作業)占40%和期末閉卷考試成績占60%計算綜合成績的。課后習題作業和考試內容圍繞所學基礎知識進行設置和考核。這種方式只能檢測學生對基礎知識的掌握程度，不能反映學生的實踐應用能力。為增強學生的實踐能力，采用以下幾個方面的考核：考勤(利用雨課堂平臺簽到)占10%、課后習題作業占10%、實踐大作業(程序設計題)占10%、課堂表現(設置搶答環節)占10%、期末考試(增加應用題)占60%。這種考核方式不僅可以增強學生在課堂學習中的參與性，還能增強程序設計能力，改善學生“平時不重視學習，考前突擊應付”的陋習。

3 結語

在當前就業形勢下，如何培養具有一定理論基礎和熟練掌握計算機操作技能的應用型人才，是應用型本科高校制訂人才培養方案時需要深入思考的問題。離散數學作為一門計算機相關專業的核心基礎課程，由于其課時的有限性和理論的抽象性給課程教學帶來了很大挑戰，需進一步改革和創新教學體系。通過合理設置課程內容、創新教學模式、有效融合多種教學手段和改革評價體系，使學生在有限的課時內不僅能夠掌握離散數學的基礎知識，還能提高程序設計能力和應用實踐能力。隨著計算機科學技術的不斷發展，離散數學課程也需要不斷改革與探索，進一步提高教學水平和人才培養質量。