“平行四邊形”單元整體設計及思考

扈學慧 于彬

摘要：從單元整體設計的視角，對“平行四邊形”一章從教材內容、學情等方面進行系統分析，在魯教版教材的基礎上融合人教版教材的優點對課時進行重新劃分，并給出初步實踐和簡單思考.

關鍵詞：平行四邊形;判定;性質;單元整體

1 引言

單元課堂教學整體設計是教師教學環節的關鍵一環，其直接體現教師的教學理念和這種理念轉化為具體教學實踐的能力.筆者

從單元整體設計的視角，對“平行四邊形”一章從教材內容、學情等方面進行系統分析，在魯教版教材的基礎上，融合人教版教材的優點對課時進行重新劃分，并給出初步實踐和簡單思考，不當之處，敬請指正.

2 教材內容分析

2.1 內容

在人教版教材中，“平行四邊形”是八年級下冊第十八章的教學內容，主要包含“平行四邊形”和“特殊的平行四邊形”兩大部分;在魯教版教材中，“平行四邊形”是八年級上冊第五章的教學內容，主要包含平行四邊形的性質、平行四邊形的判定、三角形的中位線、多邊形的內角和與外角和，而“特殊的平行四邊形”這一部分則單獨成章，位于八年級下冊的第六章.

2.2 內容解析

首先，平行四邊形是特殊的四邊形，教學中應該突出其區別于一般四邊形的特征，為定義平行四邊形奠定基礎.

其次，“平行四邊形”是在系統完成了三角形內容的學習之后，進行的一類全新的幾何圖形學習，應該將其置于“圖形與幾何”這一大系統內開展整體教學，為學生構建可遷移、可借鑒的幾何學習的基本套路（章建躍語）：定義→性質和判定→應用.

對于平行四邊形的定義，教材沿用了小學中定義平行四邊形的方式，以突出其名稱的典型特點，同時為學生明確定義是“判定”的一種方式.

對于平行四邊形的性質和判定，教材繼續沿用三角形中獲得性質和定義的基本方法，也就是從“邊、角、特殊的線段（對角線）”等角度歸納平行四邊形的性質，同時在嚴格幾何證明的基礎上，給出其三種語言;隨后繼續延用由性質獲得判定的方法，將性質的條件和結論互換，得出判定，在給出嚴格幾何證明的基礎上，同樣明確其三種語言.此外，在性質或判定的獲得過程中，教材中給學生提供了多樣的探究路徑或載體，引導學生親身經歷知識的發生和發展過程，為培養“四基”，提升“四能”，發展核心素養進行了積極大膽的嘗試和探索.

關于“猜一猜”：幾何教學中很多定理都是在“合情推理”的情況下獲得的.“合情推理”與“演繹推理”是數學學習中不可缺少的推理類型.

關于“量一量”：測量是驗證猜想的有效方式，但是測量是有誤差的，即使通過大量測量取其平均值也不能避免.

關于“驗一驗”：數學測量工具《幾何畫板》為精確測量提供了依托.

關于“證一證”：教材中滲透了一個命題在證明之后才能稱其為定理的編寫和學習思路，為學生嚴密推理奠定了堅實的基礎.

最后，平行四邊形的學習為后續學習特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）提供了方法和思路，兩版教材都注意到了這一點，人教版將其編排在一章之中，魯教版教材則結合學生的認知特點將其分置于八年級的上下兩冊，但仍然是緊密相連.同時，平行四邊形的學習也為后續“圓”的學習提供了方法和思路.

2.3 單元教學目標

通過上面的分析，確定本章教學目標如下：

（1）經歷探索平行四邊形性質的過程，豐富數學基本活動經驗和體驗，進一步發展合情推理與演繹推理能力，體會推理過程中的歸納、類比、轉化等數學思想.

（2）理解平行四邊形的概念，了解平行四邊形的不穩定性.

（3）了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.

（4）探索平行四邊形的中心對稱性質;探索并證明平行四邊形的性質定理和判定定理.

（5）探索并證明三角形的中位線定理.

（6）了解多邊形外角的概念;探索并掌握多邊形內角和與外角和公式.

3 學情分析

3.1 學生已有基礎分析

（1）學生初步具備研究幾何圖形的基本方法.通過平行線，特別是三角形內容的學習，學生已經初步具備了研究幾何圖形的基本方法：整體方法是定義→性質和判定→應用;觀察角度是邊、角、特殊線段（角平分線、高線、中線、對角線）;定理獲得方法是“猜一猜、量一量、驗一驗、證一證”.

（2）學生推理能力有了一定的進步和提升.通過前面相關內容的學習，特別是“三角形內角和定理”證明過程中“第一條輔助線”的獲得，學生初步了解了幾何論證的典型特點，為后續學習做好了鋪墊.此外，隨著年齡的增長，學生的抽象推理能力也有了提高，可以較好地獲得相關結論，并給出嚴格的幾何證明.

（3）學生的學習能力有了長足的進步.進入八年級，隨著學生年齡的增長，學生的自主學習、自主探究能力有了提升，為本章內容的學習奠定了基礎.

3.2 學生基礎與目標的差距

（1）輔助線的添加有困難.平行四邊形的學習是三角形學習的升級版，學生難于將二者的學習主動產生建構，特別是用研究三角形的思路和方法探究平行四邊形時會有難度，以及通過“連接對角線”的方式將平行四邊形分為兩個全等三角形來解決問題，存在很大的困難.

（2）探究路徑的選擇有疑惑.在本章教學中，為突出自主、合作、探究等學習方法，為學生提供了多路徑、多載體的性質和判定的發現方式，旨在引領學生親身經歷知識的發生和發展過程.但學生對此存在較大的疑惑，不能靈活選擇探究路徑.

（3）符號語言的表達有差距.通過前面章節的學習，學生雖然初步掌握了文字、圖形和符號三種幾何語言，但部分學生對符號語言的表達和書寫存在很大的困難，不能用準確的符號語言表達完整的幾何證明過程.

（4）三種語言的轉換不準確.學生對三種語言之間的轉化不準確，特別是不能將文字語言轉換為圖形語言，進而給出符號語言，給性質定理的證明帶來很大挑戰.

根據上述分析，確定本單元的教學重點和教學難點分別如下.

教學重點：

（1）經歷探索平行四邊形性質的過程，豐富數學基本活動經驗和體驗，進一步發展合情推理與演繹推理能力，體會推理過程中的歸納、類比、轉化等數學思想.

（2）探索平行四邊形的中心對稱性質;探索并證明平行四邊形的性質定理和判定定理.

教學難點：

（1）靈活添加輔助線，獲得相關猜想的證明思路.

（2）通過實驗探究，獲得性質定理的文字表達，并給出嚴格的幾何證明.

4 課時劃分

本單元新授課需要10個課時，魯教版具體課時分配如下：

（1）平行四邊形的性質（3課時）：第一課時涉及平行四邊形的定義、性質1和2，以及例1;第二課時，平行四邊形的性質3;第三課時，兩平行線之間的距離.

（2）平行四邊形的判定（3課時）：三個判定，每個判定一個課時，共三個課時.

（3）三角形的中位線（2課時）：第一課時主要是三角形的中位線定理，第二課時是將三角形中位線定理的條件和結論互換，得到逆定理.

（4）多邊形的內角和與外角和（2課時）：內角和一個課時，外角和一個課時.

通過上面的分析可以看出，魯教版教材與人教版教材相比，具有以下明顯區別：第一，特殊的平行四邊形單獨成章（前面已有論述）;第二，將多邊形的內角和和外角和在本章進行介紹，實現數學思想的前后一致和邏輯連貫;第三，將兩平行線之間的距離單列為一個課時，作為第三課時，而在第一課時中增加了一個典型的例題.

鑒于以上分析，結合學生實際，在實際授課過程中，以魯教版教材為藍本，借鑒人教版教材的優點，將“平行四邊形的性質”一節重新整合，整合后課時不變，但是系統性和邏輯性更強，有利于學生更好地學習.重新整合如下.

第一課時：定義、性質1和性質2、人教版教材例1（通過此題鞏固性質1和性質2，同時自然引出“兩平行線之間的距離”，不增加學生的認知負擔，詳見文[1]）.

第二課時：通過度量、中心對稱等多種方式得出性質3，通過教材例題鞏固性質3，思路如下.

參考人教版的設計思路，第一課時以“量一量”的方式引導學生獲得“邊和角”的性質猜想，并進行證明;第二課時在介紹中心對稱性后讓學生思考如何從“中心對稱”的角度說明平行四邊形“邊和角”的性質猜想，接著給出追問：你能獲得平行四邊形的對角線有哪些性質（詳見文[2]）嗎？

第三課時：通過魯教版教材例1，對平行四邊形的三個性質進行相應鞏固和提升，思路如下.

例題 如圖1，已知在ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且AE=CF.求證：BE=DF.

變式 如圖2，已知在ABCD中，F，E分別在對角線AC的延長線和反向延長線上，并且AE=CF.求證：BE=DF.

（1）上述變式還有其他證明方法嗎？（預設：上述教學中教師和學生只給出了通過證明△ABE≌△CDF得到結論的一種方法，其實還可以通過證明△CEB≌△AFD得到結論，從而在體現“一題多變”的基礎上再體現“一題多解”.）

（2）將問題改為：判斷BE和DF的關系.（預設：除了已經解決的數量關系，還有位置關系.）

（3）將條件“AE=CF”與結論“BE=DF”交換得到的新命題，是真命題還是假命題？為什么？

此處整合，為學生完整呈現了如何對一道題目進行“一題多解”和“一題多變”的全過程，為學生指出了一條全新的例題學習之路.“一題多解”遵循數學課程標準中提出的“經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性”，使學生了解問題的本質，促使學生“勤于反思”;“一題多變”則為學生呈現另外一種常見的變式方法：交換條件和結論.引導學生在上述“勤于反思”的基礎上真正地“學會學習”，在解決問題和處理問題的基礎上，可以提出問題和發現問題，實現“兩能”到“四能”的突破.

5 結論

上文從單元整體的視角對“平行四邊形”進行了系統分析和課時劃分，為發展學生核心素養，構建整體的知識觀和育人的課程觀進行了初步嘗試，取得了預期效果.歡迎更多的一線教師積極參與探索和實踐.

參考文獻：

[1]孫慶民，于彬. 基于“導學＼5反思”教學法的教學案例及思考——以“平行四邊形的性質（第1課時）”為例[J].中國數學教育，2016（11）： 46-49.

[2]尚凡青，于彬. 一道中考填空壓軸題的“源”與“流”[J].中學數學，2018（14）： 74-75.