股票質押貸款定價
——基于KoBoL過程的模型構建與模擬

范佩霞，謝明柱

(安徽新華學院 財會與金融學院，安徽 合肥 230088)

1 引 言

股票質押貸款已經成為國際金融市場中一種重要的金融衍生工具，自2000年中國人民銀行與證監會聯合頒布《證券公司股票質押貸款管理辦法》，股票質押貸款在我國已經有了20余年的發展歷史。然而其復雜的定價機制也給我國金融市場帶來了更多的不確定性，潛在風險不斷積累，其業務的開展受到國家政策的嚴格監管[1]。如何有效確定股票質押貸款價格成為社會各界密切關注的問題，這對于控制金融市場風險意義明顯。

目前學界對股票質押貸款的研究大多是在B-S模型框架下展開的，但B-S模型對真實金融市場的反映很有限，連續時間布朗運動也無法完全反映金融市場的隨機性[2]。為了改進定價模型，一些學者提出了更一般的列維指數過程作為風險資產定價的基本模型，其中KoBoL過程最為典型，該過程在穩態過程的基礎上將“阻尼”效應引入特征方程的密度函數中，以實現風險資產的所有條件矩是有限的。所以，在資產價格遵循KoBoL過程的假設下[3]，風險資產估值可以被設定為：

(1)

可解為：

(2)

KoBoL過程不僅可以解決風險資產價格的“不對稱分布”問題，而且還保留了B-S模型的最佳特征，一些學者在此框架下研究了風險資產的定價問題。比如，Cartea(2017)認為KoBoL過程在解決股票價格演變特征和數學處理難度之間取得了適當的平衡，使用KoBoL過程對歐式期權和障礙期權定價進行了研究，提出了分數階微分方程的數值分析法[4]。Marom(2009)的研究表明，列維過程可以描述不同類型和不同階段的市場，KoBoL過程表現出良好的邊界收斂性，使其在實際應用中表現更好[5]。基于KoBoL過程，Meng(2014)提出了使用波段預處理器為歐洲期權定價的快速預處理迭代方法[6]，Wang(2015)提出了使用循環預處理器為障礙的期權定價方法[7]。張靈溪(2020)基于KoBoL過程提出了求解分數階偏微分方程的數值離散格式，并理論分析了數值格式穩定的充分條件[8]。

在KoBoL過程下，股票質押貸款定價模型存在自由邊界問題，控制方程是一個分數式偏微分方程。對于自由邊界問題，學界已經提出一些解決方法，其中懲罰法在解決常規美式期權定價問題和無窮維非線性互補問題上效果很好，得到了學界的高度認可。坐標變換后的股票質押貸款定價可視為KoBoL過程下的美式期權定價。因此，本文在KoBoL過程下，利用懲罰函數對股票質押貸款定價模型進行改進和創新，設置了適合股票質押貸款定價的一階全隱式模型，并對分析結論進行了數值模擬，分析了各參數對股票質押價值和最優贖回價格的影響。

2 模型構建

2.1控制方程

股票質押貸款合約的支付函數可寫為：

Γ(xT,T)=max(ex-ΨeγT,0)

(3)

其中，γ(γ>y)是連續復利貸款利率，Ψ是本金。根據無套利定價原則，t時刻貸款合約價值Ω(x,t)需滿足：

Ω(x,t)=e-y(T-t)E?[Γ(xT,T)]

(4)

其中，EΛ是測度Λ下的條件期望算子。參考張靈溪(2020)[8]的研究結果，可以得到貸款合約價值Ω(x,t)滿足等式：

(5)

2.2邊界條件

根據股票質押貸款合約的特點可以得到數學模型的邊界條件[9-10]：

(6)

綜上，式(5)和式(6)為KoBoL過程下得到的股票質押貸款定價模型。由于貸款合約可以提前執行，合約價值須滿足條件：

Ω(xt,t)≥max(ext-Ψeγt,0)

(7)

2.3坐標變換

為了消除邊界條件中時間變量對數值結果的影響，進行坐標變換。令：

θ=x-γt，θh=xh-γt，e-γtΩ(x,t)=Ψμ(θ,t)

(8)

通過變量變換，定價模型(5)和(6)可以轉換為：

(9)

其中θ∈(-∞，θh)，t∈[0,T]，1<α<2，α=y-π-λ-λα-1(q-p)，b=y-γ+σαλα/2。

(10)

Ψμ(θh,t)=eθh-Ψ

(11)

(12)

Ψμ(θ,T)=max(eθ-Ψ,0)

(13)

因此，方程(7)被轉換如下：

Ψμ(θ,t)≥max(eθ-Ψ,0)

(14)

從式(9)—(14)可知，Ψμ(θ,t)類似于KoBoL過程下的美式看漲期權，其中eθ為標的資產價格，Ψ為行權價格，eθh為最優執行邊界。此外，方程的右邊界θh未知，這給模型求解帶來困難，可以用懲罰法將自由邊界問題轉化為固定邊界問題，以便于求解。

2.4懲罰函數

在控制方程(9)中加入懲罰函數項可以解決自由邊界條件問題，本文的懲罰函數項為：

(15)

其中，q(θ)=eθ-L,0<μ≤1是一個無窮小常數，是待定參數。將懲罰函數項(15)代入分數階微分方程(9)中，原方程轉變為：

(16)

其中，θ∈(-∞，θmax)，t∈[0,T]，1<α<2，

(17)

Ψμ(θmax,t)=eθmax-Ψ

(18)

Ψμ(θ,t)=max(eθ-Ψ,0)

(19)

其中，eθmax是標的資產價格最大值。根據鄢麗(2018)[11]的研究結論，股價最大值一般是行權價的3到4倍，所以后文的數值分析也參考此范圍。

3 理論推導

假設正整數m和n分別使得空間步長△θ滿足m△θ=θmax，時間步長△t滿足n△t=T，則：

θj=(j-1)△θ,ti=(i-1)△t

其中j=...，-2，0,1,2,...,n+1。一階空間和時間導數分別使用前向和后向差分法。采用Grunwal-Letnikov公式逼近左右分數階導數：

(20)

(21)

綜上所述，可以得到式(16)的全隱式差分形式：

(22)

相應的邊界條件近似為：

(23)

(24)

(25)

引理一：

引理二：

在引理一基礎上可得到：

=γ1e△θλ[(1-e-△θλ)α+αe-△θλ-1] +γ2[(1-e-△θλ)α-1]+γ3e-△θλ(1-e-△θλ)α+γ1e△θλ-αγ1+γ2

=(γ1e△θλ+γ2+γ3e-△θλ)(1-e-△θλ)α

定理一：

(26)

(27)

將公式(26)和公式(27)代入方程中可以得到：

(28)

(29)

定義新函數：

(30)

(31)

(32)

(33)

在實際金融市場中，無風險利率γ和貸款利率通常滿足01。因此，限制前文證明過程的時間步長符合實際情況，在后文的數值模擬中也是可以滿足的。

4 數值模擬

4.1數值計算

(34)

式(34)通過牛頓迭代求解為：

φl=φl-1+ρ△φl

其中，l=1,2.3….，Jf(φl-1)是向量f(φl-1)的雅可比矩陣，ρ∈(0,1)是調整因子。數值迭代過程中，假設當前時間ti和前一時間ti+1的信息是已知的。因此，可以將Ψμi+1作為迭代序列φl的初始值，即φ0=Ψμi+1。設置誤差量μ，當||φl-φl-1||≤μ時，取Ψμi=φl。

下面對前文結論進行數值模擬，各參數值的設定參考國內外學者的研究及金融市場實際情況而適當設定(表1)，所有模擬過程均由Matlab實現。需要指出的是，本文旨在通過數值模擬舉證股票質押貸款定價的一般規律，即使各參數設定值可能與實際情況存在一定差異，但不影響本文研究的基本結論。

表1 參數值設定及設定依據

圖1 坐標變換后的貸款特征

從圖2可以看出，Ψμ(θ,0)的值隨著股票資產的增加而增加，并且始終大于價值支付函數。從圖3曲線可以發現，最優執行邊界隨著到期時間的增加而增加。

圖2 坐標變換后的合約價值

圖3 坐標變換后的最優執行邊界

4.2敏感性分析

利用式(8)的逆變換得到股票質押貸款價值和最優贖回價格。如圖4所示，最優贖回價格會隨著到期日先上升后下降，出現這種現象的原因之一是貸款合約可以提前執行，由于合約離到期日還很遠，股票質押貸款的時間價值會提升，使得其贖回價格逐漸上漲，比如曲線的前半段。另一個重要原因在于貸款定價模型中的最終價格會隨時間變化而變化，隨著合約離到期日越來越遠，合約持有人需要支付更多的本金和利息才能在到期日贖回股票，這導致最優贖回價格下降。

圖4 不同γ下的最優贖回價格

圖5中的(a)圖和(b)圖顯示了不同σ對股票質押貸款價值的影響，可以看出，股票質押貸款價值相對于σ單調增加。從股價驅動方程可知，在其他參數不變的情況下，隨著σ的增加π(σ)dt會相應增加，導致隨機變量x的波動增大。而且，由于支付函數max(ex-Ψeγt,0)隨著隨機變量x的統計偏差增大，合約持有人有機會獲得更大的收益。因此，股票質押貸款價值相對于σ單調增加。

圖6展示了不同σ對最優贖回價格的影響。可以從兩個角度分析。一是在最優贖回邊界上，貸款價值等于執行價格，因此，隨著σ的增加貸款價值也會增加，從而提高了最優贖回價格。二是隨著參數σ變大，股票可能獲得更高的價格，這使得投資者認為合約可能具有更高的價值，不會選擇終止合約，從而導致更高的贖回價格。綜上所述，最優贖回價格相對于參數σ單調遞增。

圖5 不同σ下的合約價值

圖6 不同σ下的最優贖回價格

圖7展示了不同α對股票質押貸款價值的影響。從圖7(a)和圖7(b)可以看出，貸款價值相對于α單調增加。根據非標準穩態隨機變量可以知道，當股票價格沒有異常偏差時，隨著α的增加股票可能取更大值。由于貸款價值與股票價格的變化方向相同，因此，貸款價值相對于參數α單調增加。

圖7 不同α下的合約價值

圖8 不同α下的最優贖回價格

圖8顯示了不同α對最優贖回價格的影響。在執行域內，股票質押貸款價值等于執行價格。從前文可知，最優贖回價格相對于α單調增加。從財務角度可以認為，α增加使得股價上漲的可能性更大，這使得投資者認為該合約可能具有更高價值，從而導致更高的贖回價格。

5 結束語

股票質押貸款合理定價對于金融市場風險控制意義明顯，本文在KoBoL過程下研究了股票質押貸款定價模型。在KoBoL過程下，使用坐標變換和懲罰法將自由邊界問題轉化為固定邊界問題，構建了股票質押貸款定價模型的一階全隱式形式，并證明了利用懲罰函數差分法對于求解原控制方程仍然有效，最后進行了數值模擬。研究發現，股票質押價值不小于行權價值，隨著γ增加最優贖回價格趨于下降。同時，由于γ存在，最優執行邊界不再是關于到期日的單調函數。對于參數σ和α，隨著合約價值的增加，借款人對股票價格獲得更大價值的期望增加，導致合約價值和最優贖回價格增加。

股票質押貸款為金融市場中重要的衍生金融工具，其價格確定不僅涉及借款人利益，同時也會給股票市場帶來重要影響，是金融市場系統性風險的一種重要誘發因素，跟隨金融市場尤其是股票市場的變化而更加精確地確定價格將會是未來實務界和理論界的重要訴求。如何在固定邊界的基礎上進一步提升控制方程有效性、股票質押價值是否存在一個不小于行權價值的更具體的范圍？這將會是筆者未來繼續探索股票質押貸款定價問題的重要方向。