大單元視角下構建題組深度復習的教學實踐與反思
——以“立體幾何解答題專題復習教學”為例

廣東 潘敬貞 駱妃景

1.授課背景

本節課是筆者開展基于核心素養的高中數學深度教學模式研究，探究“大單元復習”課堂變革的一節復習型展示課，大單元視角下構建題組深度復習是把相關聯的知識和方法，通過題目精心設置和順序編排，變成一系列問題或題組，題組中的試題由易到難，由單一到綜合，呈現遞進關系，螺旋上升，突出一題多變，展示數學問題的可變性，將章節基礎知識、基本技能、基本方法和基本思想連成線，織成網，鋪成面，以題組驅動復習，提高學生的數學核心素養和課堂復習效率.本文將教學過程做一整理與各位同行交流探討.

2.教學構思

立體幾何是高中數學的核心內容，是培育學生直觀想象核心素養以及厚植學生理性精神的沃土，也是培養學生養成懂理講理良好習慣的絕佳素材.立體幾何是歷年高考考查的重點內容，利用空間向量解決立體幾何問題是高二第一學期重點學習的內容，也是高二第一學期期中考試重點考查內容，立體幾何解答題也是高考必不可少的試題.

因此，在二輪復習中對相關知識進行回顧復習是很有必要的,然而，時間緊迫，內容多，任務重，迫切需要一種復習模式來提升考前復習效率，大單元視角下構建題組深度復習則提供了一種有效思路.

立體幾何解答題主要以常見幾何體為載體，結合空間向量工具，考查立體圖形中的線線、線面和面面位置關系及數量關系.試題的第一問主要考查線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的求證為主；第二問主要考查線面夾角、點面距離、面面夾角、幾何體的體積等問題，主要考查學生邏輯推理、數學運算與數學建模等數學核心素養.因此本節課的教學設計重點是通過結合常見的幾何體，梳理常見的建立空間直角坐標系的策略，歸納總結求證線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直的思想方法，求解線面夾角、點面距離、面面夾角等問題的求解思路和解題思維痛點.以“問題解決”貫穿始終，設計層層遞進的題組，讓學生在教師的引導下分析問題、解決問題，使得章節知識方法系統化，發展直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

3.教學過程

3.1 以任務為驅動，促進回顧復習

【問題1】如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是PC，AB的中點，過AP作平面APGH交平面BDM于GH，求證：

(1)AP∥平面BDM；

(2)MN∥平面PAD；

(3)AP∥GH.

設計意圖:問題1試題難度較低，第(1)問只需通過連接AC即可構造三角形的中位線，從而證明線面平行；第(2)問是取PD中點通過構造平行四邊形來證明線面平行；第(3)問是在第(1)問的基礎上進一步利用線面平行的性質來證明線線平行.問題1的3個問難度都比較低，但低起點能夠很好地激發學生的學習興趣，在問題解決中提高學生自我效能感，回顧復習線面平行的判定定理和性質定理，回顧復習證明線面平行的一般方法(中位線法和構建平行四邊形法)，進一步深化知識的理解和方法的應用.

【問題2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四邊形BB1C1C是菱形，證明：AC1⊥B1C.

【變式1】在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，四邊形BB1C1C是菱形，求證：AC1⊥B1C.

變式1只將問題2已知條件中的AB⊥平面BB1C1C改為平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，利用面面垂直的性質定理轉化為直線垂直于平面，雖然只做微小的改變，但更有利于學生掌握證明有關垂直關系的解題套路和平面垂直平面的性質定理的內涵.

【變式2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BB1C1C是菱形，∠ABB1=∠ABC，求證：AC1⊥B1C.

變式2是將問題2已知條件中的AB⊥平面BB1C1C改為通過已知∠ABB1=∠ABC先證明△AB1C為等腰三角形，再利用等腰三角形三線合一性質得到AB⊥B1C，相對于問題2和變式1，題目條件更加隱蔽，更有利于制造思維的沖突，對調動學生學習積極性，創造合作學習、互動交流的氛圍和機會，提高學生分析問題和解題能力都有很好的幫助.

變式3是想切換另外一個角度，將問題2已知條件中的AB⊥平面BB1C1C改為已知圖形元素的數量關系，通過運算和利用正弦定理得到線線垂直的結論，因此在證明有關垂直問題時可以考慮空間中直線與平面的位置關系和數量關系，由此拓寬學生思考問題的角度，提高學生的應變能力，審題提取信息的能力和解題能力.

通過問題2以及變式1，2，3的分析與證明，學生可以熟悉掌握以菱形、直線與平面垂直、等腰三角形、勾股定理的逆定理、平面與平面垂直等為素材證明直線垂直于直線乃至有關垂直問題的解題套路.

【變式4】在三棱柱中ABC-A1B1C1，AB⊥B1C，四邊形BB1C1C是菱形，求證：AC=AB1.

變式4是將問題2中的問題，求證：AC1⊥B1C改為求證AC=AB1，這樣題目的目標就相對更具隱蔽性，解決這個問題就需要將目標轉化為一系列相對較為復雜的過程，可以將學生的學習思維強度、課堂合作學習、互動交流的氣氛等推向高潮，有效地培養學生的應變能力與創新思維，提高學生的解題能力，提升學生的數學綜合能力等.

【變式5】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四邊形BB1C1C是菱形，求證：平面ABC1⊥平面AB1C.

變式5做了一個溫和的變式，將問題2中的問題，求證：AC1⊥B1C改為求證平面ABC1⊥平面AB1C，改變問題視角，強調空間轉化，解答過程又回到起點.這樣利于反思總結本節課學習的內容，促進教學目標的達成.

設計意圖：問題2的主要目的是讓學生在對問題的求解過程中回顧復習立體幾何中有關垂直證明問題，梳理有關垂直證明問題的構建要素和一般求解思路以及規范表達.激發學生通過問題與變式螺旋上升的分析與解決過程中復習內化已學知識和方法的熱情.

【問題3】如圖，已知四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，試建立適當的空間直角坐標系.

(1)求平面ABCD的一個法向量；

(2)求平面SAB的一個法向量；

(3)求平面SAD的一個法向量；

(4)求平面SBC的一個法向量；

(5)求平面SBD的一個法向量；

(6)求平面SCD的一個法向量；

(7)求BC與CD所成角的余弦值；

(8)求點B到平面SCD的距離；

(9)求直線SB與平面SCD所成角的正弦值；

(10)求平面SAD與平面SCD所成角的余弦值.

設計意圖：問題3是以直角梯形為底面，線面垂直為載體，要求學生建立合適的空間直角坐標系，求平面的法向量，利用向量解決異面直線夾角、線面夾角、二面角、點面距等常見問題.本道試題直接已知三條共點且兩兩互相垂直的直線使得空間直角坐標系容易建立，提出的問題也很基礎，問題呈現層層遞進，螺旋上升.學生通過簡單復習可以順利解答本道試題，同時回顧立體幾何解答題常考的問題，引導學生逐漸構建知識體系，使知識系統化、網絡化.

3.2 換問題情境，夯實四基，提升四能

(1)求證：平面EAC⊥平面FAC；

(2)求直線BC與平面AEF所成角的大小.

【解析】(1)設AC∩BD=O,利用面面垂直的性質、線面垂直的性質及等腰三角形中線性質得到AC⊥EO，再利用勾股定理及勾股定理的逆定理證明EO⊥OF，由線面垂直的判定定理得到EO⊥平面FAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面EAC⊥平面FAC；

(2)解法一：如圖，延長CB到點H，使得BH=BC，連接AH，FH，易知四邊形AEFH為平行四邊形，故A，E，F，H四點共面，所以直線BC與平面AEF所成的角.即直線HC與平面AEFH所成的角.

因為EF∩AG=G，EF，AG?平面AEFH，所以CG⊥平面AEFH.

連接HG，則∠CHG即直線BC與平面AEF所成角.在Rt△HGC中，CG=2，HC=4，

解法二：取EF的中點G，連接OG，易知OA，OB，OG兩兩垂直，故以O為坐標原點，OA，OB，OG所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以直線BC與平面AEF所成的角為30°.

設計意圖：問題4以正方形和面面垂直為問題情境，學生可以快速找到三條共點且兩兩互相垂直的直線即可建立空間直角坐標系，同時提出面面垂直和線面夾角問題，第(1)問學生利用立體幾何中相關定理、性質解決問題，第(2)問則用向量工具解決問題，學生進一步熟悉相關知識和問題的求解思路.

(1)求證：CE∥平面SAD；

(2)求證：BD⊥平面SAC；

(3)求直線CE與平面SAC所成角的余弦值.

設計意圖：問題5結合勾股定理的逆定理證明線線垂直，進而建立空間直角坐標系，并解決常規的立體幾何問題，通過問題5的求解進一步提升學生建立空間直角坐標系與解決問題的能力.

【問題6】如圖1，已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且滿足AD=CE=2，如圖2，將△ADE沿DE折成四棱錐A1-BCED，且有平面A1DE⊥平面BCED.

圖1

圖2

(1)求證：A1D丄平面BCED；

(2)記A1E的中點為M，求二面角M-DC-A1的余弦值.

設計意圖：問題6是以翻折問題為載體，結合面面垂直作為問題情境，設置線面垂直和二面角問題.問題情境和提出的問題都是學生熟悉的問題，學生在老師的引導和生生互動交流中很快就能找到解決問題的突破口.

(1)若M是AB的中點，N是棱PC上一點，且CN=2PN，求證：MN∥平面PAD；

【解析】(1)如圖，連接CM并延長，交DA的延長線于點E，連接PE.

所以△ADC≌△ABC，所以∠ACD=∠ACB，

所以△DOC≌△BOC，所以DO=BO，∠COD=∠COB=90°.

因為AB⊥AD，所以OA=OB=OD=1，易得OC=2，所以CM=2ME，又CN=2PN，所以MN∥PE，

因為PE?平面PAD,MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.

令x=1，則y=1，z=1，所以平面PAB的一個法向量為m=(1,1,1).

令x1=1，則y1=-2，z1=-2，

設計意圖：通過問題1,2,3的求解，學生回顧復習了立體幾何解答題中的相關知識和求解思路，經過對問題4,5,6的分析與交流，學生進一步熟悉立體幾何解答題的常規問題的求解思路，提升運算求解能力，此時給出問題情境相對復雜，試題難度有所提升的問題7，在老師的引導以及與同學們的交流中，學生受到啟發，完全能找到解決問題的突破口.

3.3 全面提升數學能力，發展數學核心素養

(1)求證：CM⊥平面PAB；

【解析】(1)先證明CM⊥AB，然后連接PM，利用題目所給的邊長關系，根據勾股定理證明CM⊥PM，然后根據線面垂直的判定定理即可得到CM⊥平面PAB；

平面PMD的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，直線PN與平面PMD所成角為θ.

【評析】本題考查線面垂直的證明及空間中的探索性問題，一般地，對于探索性問題的解答方法如下:

(1)可先假設所求的點存在，合理設元；(2)然后建立空間直角坐標系，標出各點的坐標，求出直線的方向向量、平面的法向量等；(3)結合已知條件列出有關線面夾角、面面夾角成立的含參方程；(4)解方程，得出參數的值即可.

【問題9】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，M為BC的中點.

【評析】利用空間向量計算二面角的常用方法：1.法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小；

2.方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

設計意圖：問題8的第二問和問題9的第一問都采用探究性設置問題，有很濃的探究味道，有很好的開放性，對學生辯證思維和邏輯推理以及運算求解能力都提出了更高的要求，對培育學生的理性精神和創新意識有重要意義.問題9的第二問通過已知二面角得到點的位置，進而求幾何體的體積和異面直線夾角問題，問題有一定的靈活性，但歸根結底還是二面角問題，必經過建立空間直角坐標系利用空間向量解決問題，通過對這兩道題的求解進一步提升學生分析問題和解決問題的能力.

【問題10】如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，BF⊥A1B1.

(1)證明：BF⊥DE；

(2)當B1D為何值時，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

設計意圖：問題10是通過設參數，并利用二次函數或基本不等式解決最值問題，試題具有較高的綜合性，問題的求解對學生的數學綜合能力要求也比較高，對訓練學生數學思維和提升學生的分析問題和解決問題的能力具有重要意義.

4.幾點思考

大單元視角下構建題組深度復習避開常規復習課講題做題的套路，用題組串聯已學知識，形成更完整的知識脈絡，讓復習課更有新意.深度復習過程的核心是設置層層遞進，螺旋上升的題組，指向大單元深度復習的高效題組設計有哪些顯著的特征呢？

4.1 以問題驅動復習為構建題組的邏輯起點

問題是數學的心臟，思維從問題開始，創設合適的問題情境，以問題引領學習，啟發學生思考，翻閱教材、筆記本等，自主梳理基本知識、基本思想方法.本課例題組一為問題1至問題3突出一題多變，一題多問，主要設置常規且簡單的問題情境，提出常規且簡單的數學問題.問題指向清晰明了，學生可以直接讀懂題意.因此筆者將題組一作為課前任務單讓學生在課前自主完成解答，然后收取課前任務單并檢查學生完成情況，同時與部分學生當面交流，聽取學生感想和意見.筆者發現，在此之前絕大部分學生對立體幾何解答題的一些常見問題和求解思路已經遺忘，但通過題組一的任務驅動，學生能夠自主翻閱教材和筆記，能夠很快回憶起相關知識以及常見問題的求解思路.由于題組一試題難度不大，起點較低，問題較為直接、單一，學生能夠順利解答問題，通過題組一的求解學生基本能夠實現回顧復習立體幾何的基本概念、基本知識，平面法向量的求解，歸納梳理求證線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直的基本思想方法，求線線夾角、線面夾角、點面距離、面面夾角的思路與步驟等已學內容.學生在完成課前任務單過程中沒有較大心理壓力，而且感到較為輕松、愉快.課堂上讓學生上臺展示，學生相互交流，教師點評，課堂氣氛活躍，取得很好的教學效果，達到預期的目的，為下一環節(題組二)的學習奠定了堅實的基礎.

4.2 構建不同的問題情境促進學生自主構建

題組二為問題4至問題6，提供了思維生長點，構建了認知結構的固著點，設置了不同情境的問題來驅動學生加深對基本知識、基本思想方法的理解，著重培養學生在不同問題情境(幾何體)中快速尋找到(或作)三條共點并兩兩互相垂直的直線，然后建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標和所需的向量，歸納常見幾何體的建系策略，厘清常見問題的求解思路，訓練學生的規范表達.經歷了題組一的展示與交流之后，很多學生信心滿滿、胸有成竹，課堂氣氛活躍.此時筆者先讓學生分析題組二的建系思路，尋找最優的建系方法(盡可能地使得更多點落在坐標軸上或在軸面上)，并說出自己的想法，學生發言踴躍，然后將學生分組進行動手解決問題，并派代表展示本組的學習成果.在整個過程中學生動作迅速，得到充分表達，師生和生生間充分交流，取得很好的教學效果.整個課堂以環環相扣的問題串來推進復習，在求解問題過程中生生交流、師生交流中相互促進，進一步激發學生獨立思考，自主構建，發展數學核心素養.

4.3 構建題組應注重學生的思維能力的發展