工科線性代數課堂導入的探索

白晨明 郭秀英 張素娟 胡俊美

(石家莊鐵道大學,石家莊 050043)

一、引言

線性代數是在理工類和經濟管理類為主的高等院校中一門關鍵的公共必修數學基礎課程，是學生學習后繼課程的重要工具，同時在培養學生的抽象思維能力以及后續工程或管理計算能力等方面有顯著的作用[1]。這門課程圍繞如何解決高維線性方程組進行展開的相關內容的研究，其中主要教學內容是行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型、空間解析幾何等[2]。但是由于這門課程知識概念龐多、內容具有抽象性，證明邏輯性強、計算較為繁瑣等特點[3]。造成大多數學生難以適應，普遍感到晦澀難懂，尤其是在遇到n階行列式的定義、高維向量組線性相關性的概念、非齊次線性方程組的解的結構等問題時，學生均感到比微積分的學習要困難得多。此外，眾多學校開設線性代數的學時相對偏少，為了完成教學內容，教師往往需要趕進度采用填鴨式教學，以致學生在課堂聽課過程中收效甚微。

線性代數教學內容的高度抽象性，使學生對知識只能一知半解，尤其對重要的概念也未能完全理解。在此情況下，學生聽課的積極性與興趣會受到影響。學生的學習興趣會減少，也間接影響他們對后繼課程的學習。因此，作為教學過程的關鍵步驟之一——課堂導入。教師應該結合當下大學生心理特點創設合理且有效的情境，增加學生對新知識學習興趣與學習熱情，引發學生參與課堂學習的主動性[4]。課堂導入良好的手段不僅能提高學生的學習興趣與聽課質量，還能改善教學效率。然而實際教學過程中，不少教師的課堂導入過于直接簡單、隨意，無法發揮導入環節的實質性作用，未能達到預期的課堂效果，從而使學生感覺線性代數知識更加枯燥[5]。因此，一種良好課堂導入，幫助學生適應線性代數與幾何課載體的課堂導入模式，使學生更能將枯燥乏味與抽象的線性代數知識具體化、形象化，最終達到對知識的真正理解與掌握。因此，本文以向量組線性相關性的為例，探討以游戲為背景的課堂導入模式。

二、向量組線性相關性的課堂導入模式

向量組的線性相關性是線性代數課程中較為抽象的知識點之一，同時還是教學重點與難點內容。它有著承上啟下的關鍵作用，向上緊密聯系著矩陣的相關知識，向下又是研究向量空間、線性方程組解的結構、二次型和特征值與特征向量的基礎。這部分知識在高維向量中討論，因而抽象程度極高。此外，既有相對獨立的理論研究價值，又有較為實際的應用價值。這部分基本概念與基本定理數量多，還與前面所學的矩陣知識相互交叉。因此，學生在學習過程中不易理解且極易疲憊，致使學生產生迷惑，失去學習興趣與動力。

向量組的線性相關性的基本定義，可以表示為：設α1,α2,…，αm為n維向量組，若存在不都為零的實數λ1,λ2,…,λm，使得λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0，則稱向量組α1,α2,…，αm線性相關；否則，稱α1,α2,…，αm線性無關。

(一)傳統導入模式

對于向量組的線性相關性的基本概念，在傳統的課堂導入模式中，不少教師采用直接導入的方法，或者采用缺少背景的純數學的案例進行導入。

通過學習MOOC視頻中向量組線性相關性的有關內容，不難發現北京科技大學MOOC視頻中，向量組的線性相關是在已有向量空間概念的基礎之上，采用幾何向量空間中的幾何向量為基礎進行課程導入；哈爾濱工業大學的MOOC視頻中，首先給出線性組合的概念，直接給出了向量組線性相關的定義；天津大學的MOOC視頻也是以簡單的幾何向量共線共面導入推廣到n維向量組的線性相關性。下面給出這種導入模式。

圖1 向量的分解

上述的導入方式，對于教師授課帶來了很大的方便，可以在規定的時間內完成相應的教學內容。導入二是純數學的形式，因而對于新從高中進入大學還未適應的學生來說，內容過于抽象與形式過于枯燥，使學生對向量相關性的理解變得模糊。對于借助幾何向量這種導入一，可以體現出數形結合的思想，較為直觀，借助幾何圖像的形式來解釋線性代數中的概念和性質，從而化解線代數抽象、難學難教的狀況。

這幾種傳統的課堂導入模式主要以教師的講授為中心主體，不能突出學生的主體地位。開展研究式課堂導入教學要充分發揮教師的主導作用和學生的主體能動性，積極吸取當代學生的興趣與關注點作為課堂導入的切入點。教師針對課堂導入的內容精心設計，引出主講內容的關鍵問題，引導學生發現與思考，營造和諧、輕松的課堂問題，以促進師生交流，啟發學生的學習興趣和主動探索知識的意識。

(二)以游戲背景為載體的導入模式

以游戲背景為載體探究向量組的線性相關性的基本概念的課題導入。

現在大學生基本上都喜歡打游戲，尤其以男生居多的工科院校，因而將學生感興趣的游戲引入線性代數教學中，可以減少師生間的距離感，增進同學間的友誼，改善枯燥數學課堂教學活躍度。因此，在課堂導入環節運用學生喜歡的游戲，推動教學方法的發展與創新，有效激增學生學習線性代數的興趣與熱情，為學生營建良好的學習氛圍，提高課堂授課的質量和效率。

通過前期問卷調研，根據問卷情況將學生分組，每組可選擇自己感興趣的游戲的英雄人物為引例，課下搜集相關資料與數據；然后讓其深入思考游戲背后深層的數學知識，尤其是線性代數的基本知識，可以多組間進行討論；再進一步探究其中關于向量組的線性相關性的案例。

課堂中以大學生中較為流行的英雄聯盟中英雄技能為例，將所有技能進行歸類劃分，引導學生采用數學建模的形式，將具體事物轉化為抽象數學符號，給出關于英雄技能的向量表示。不妨設，向量模式表示：α=(a1,a2,a3,a4),其中a1表示英雄的生命值，a2表示攻擊后英雄回血的時間，a3表示攻擊中的傷害程度，a4表示技能使用后的冷卻時間。因此，這些游戲不同英雄角色背后的技能值可以構成一組向量組。

把英雄A，B，C，D的戰斗技能值都看成一個四維行向量，并記為αi(i=1,2,3,4)，由表 1 可知，α1=(100,10,50,10),α2=(50,20,100,20),α3=(70,20,60,20),α4=(220,35,285,65)。在結合前期的數形結合等思想，分析最后一個向量是否可以由其他三個線性表示。若能表示，則英雄A，B，C三者的綜合技能值與英雄D的技能值相當；否則，無法匹配。

表1 英雄戰斗技能信息

因此，可以類似的表示為這幾個英雄的整體技能構成的向量組是線性相關的。在素質教育全面發展的時代背景下，通過學生喜歡的方式可以提高學生思考問題與數學建模的能力；鍛煉學生從具體事物轉化為抽象模型的思想；培養學生透過現象看本質的能力，撥開游戲的外表，使學生在玩游戲的過程中體悟其背后的數學原理，以及數學在游戲中的應用，從而拓展學生的解決問題的思維，激發學生的學習積極性。

這種課堂導入的模式優點，通過學生喜歡的游戲為引例背景，將抽象的線性代數中向量組線性相關性的課堂導入變得具體化、形象化，可以引起學生的共鳴，具有趣味性；在研究式課堂導入教學過程中，通過分組形式與課下討論，使學生能夠主動積極地參與課堂活動之中，同時可以能夠調動學生的學習積極性，使學生深入地去思索具體事物背后的原理，為后期工程中的實用性提供幫助。此外，該導入模式與傳統導入模式在課堂講授過程中所占時間相當，不會因此延誤教學內容。但是也存在些許的缺點，可能使學生過于活躍，導致課堂聽課效率下降，因此也需要教師掌控整個課堂的授課節奏和課堂導入的時間與把握程度。

三、結語

對于工科線性代數與幾何教學來說，教師要把握課堂導入的新穎性，符合當代大學生的興趣特點，以游戲背景等為載體進行概念的內涵與外延講解，突出線性代數的實用性；以學生的興趣點為導向，設計教學課堂導入，將抽象化知識轉化為日常中形象的事物，才能更好地提高學生的對線性代數的理解與掌握。此外，還要注意知識點所包含的確定性因素，加強思維方式訓練，才能更完善地掌握與理解工科線性代數的全部內容。