一類變號系數矩陣的代數方程組正解存在唯一性

侯青青，劉喜蘭

（寶雞文理學院數學與信息科學學院，陜西寶雞 721013）

1 引言

本文主要研究形如式（1）非線性代數方程組在系數矩陣變號的情況下解的存在唯一性及正解的存在性.

式（1）中λ∈R 上的參數，G=（gij）n×n是n×n 階系數矩陣，

f，h 是R→R 上的連續函數.系數矩陣為正滿足.若gij＞0，則G＞0（或若gij≥0 則G≥0），?（i，j）∈[1，n]×[1，n]，且

代數方程以及方程組求解是較為復雜的問題，對于非線性代數方程組的求解，在復雜系統、網絡、優化和一些其他領域有很廣泛的研究和應用[1，2].許多數學問題，如微分方程的數值解、離散邊值問題和復雜動力系統的穩態問題都與代數方程組正解的存在性密切相關[3，4]，事實上已經有很多文獻研究了非線性代數方程組解與正解的存在性和唯一性.如，在系數矩陣為正的條件下，當時，文獻[5，6]利用Guo-Krasnoselskii 不動點定理或構造Rn上的一個特殊錐，討論了方程組（1）解的存在性與正解的存在唯一性.當參數λ=1，H（x）≡0 時，文獻[7-9]利用單調迭代法和錐上的不動點定理，討論了方程組（1）解的存在性與正解的存在性.特別地，文獻[10]利用不動點定理討論了在H（x）≡0 時，方程組（1）正解的存在性.本文討論了在系數矩陣變號時，方程組（1）解的存在唯一性，及正解的存在性.

2 主要結論

首先給出證明定理的2 個引理.

引理1[11]（Brouwer 不動點定理）設X 是Rn的一個非空凸緊子集，T：X→X 是一個連續映射，則T 有一個不動點.

引理2[11]（Banach 不動點定理）設（X，ρ）是一個完備的距離空間，T 是（X，ρ）到其自身的一個壓縮映射，則T 在X 上存在唯一的不動點.

為了方便起見，以下列出6 個所需條件：

（H1）f,h:R→R 為有界連續函數，即存在正數a，b＞0 滿足

（H2）f,h 在R 上滿足Lipschitz 條件，即存在正常數L1和L2，使得

且0＜L2＜1；

則方程組（1）的解是算子T 在Rn中的不動點，由此得到定理1、定理2、定理3.

定理1假設條件（H1）成立，則對?λ∈R，方程組（1）有一個解xλ.

證明對?λ∈R，定義

則由以上不等式知T：X→X 是一個連續映射，根據引理1 知T 存在一個不動點，即方程組（1）有一個解.

定理2假設條件（H1）和（H2）成立，則當|λ|＜λ*時，方程組（1）有唯一的解xλ.

證明令X=[-δ，δ]n?Rn，則X 是完備的度量空間.

因此，T：X→X 是壓縮映射，由引理2 知T 存在唯一不動點，即方程組（1）存在唯一解.

根據以上證明得到了方程組（1）解的存在唯一性，下面討論系數矩陣G 與函數H（x）在變號情況下，方程組（1）正解的存在性.

定理3假設條件（H1）和（H3）成立，則當λ＜0時，方程組（1）有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H3）成立，所以存在N＞0，當u∈[0，N]時，f（u）＞0，h（u）＞0，此時

即證得，當λ＜0 時，方程組（1）有正解xλ.

類似定理3 可以得到定理4、定理5、定理6.

定理4假設條件（H1）和（H4）成立，則當λ＞0時，方程組（1）有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H4）成立，此時

其中γ 與定理3 中保持一致.

所以存在λ＞0，當‖xλ‖∞＜δ 時，

即得證，當λ＞0 時，方程組（1）有正解xλ.

定理5假設條件（H1）和（H5）成立，則存在μ＞0，當λ∈（μ，+∞）時，方程組（1）有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H5）成立，所以存在N＞0，當u∈[0，N]時f（u）＞0，h（u）＜0，此時

其中γ 與定理3 中保持一致.

即證得，當λ∈（μ，＋∞）時，方程組（1）有正解xλ.

定理6假設條件（H1）和（H6）成立，則存在η＜0，當λ∈（－∞，η）時，方程組有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H6）成立，所以存在N＞0，當u∈[0，N]時，f（u）＞0，h（u）＜0，其中γ 與定理3 中保持一致，此時取

即證得，當λ∈（-∞，η）時，方程組（1）有正解xλ.