凸顯數學思想方法的小學高年級數學實踐探究性問題及教學案例分析

詹繼濤

（白銀市靖遠縣三灘鎮教育管理中心，甘肅靖遠 730615）

數學思想方法是數學知識在更高層次的提煉、抽象、概括，它蘊含在數學知識的發生、發展和應用的過程中，是對數學規律更一般化認識的體現，是形成良好數學認知結構的紐帶，是數學知識轉化為數學能力的橋梁[1].在小學數學教學過程中，要有意凸顯教師的思維過程和運用的數學思想方法，凸顯學生的思維過程，要讓學生明晰解決問題時所運用的具體的思想方法.數學教育的真諦在于構建靈動的思想，由“法”而破“題”，從而培養學生良好的數學思維品質[2].小學高年級學生需要掌握的基本數學思想方法有：集合思想、對應思想、函數思想、分類思想、化歸思想、數形結合思想、極限的思想、優化思想、枚舉法、類比法、歸納法、分析綜合法、觀察與試驗法、逆推法、假設法（賦值法）等.

基礎知識和基本技能是搭建起學生數學知識體系的素材，基本的數學思想方法是數學知識體系的框架，基本活動經驗是將這些素材合理布局在知識體系框架的具體實踐.“四基”目標的提出，將以往教學中基本思想、基本活動經驗這兩個“軟任務”提升到了與基礎知識和基本技能同等重要的“硬指標”[3].小學數學內容中設計的“綜合與實踐”的內容模塊，是為學生提供通過綜合、實踐的過程去做數學、學數學、理解數學的機會.綜合與實踐包含了“數學探究”和“數學建模”兩個層面的內容，“數學探究”就是綜合運用數學思想、方法、知識、技能解決一些數學問題；“數學建模”就是綜合所學習的數學思想、方法、知識、技能解決一些實際生活生產中的問題.落實培養學生基本活動經驗的目標，“綜合與實踐”的內容為學生的體驗性學習提供了空間和機會.實踐探究性問題的創設對于教學活動設計是關鍵，使教師真正做到引導學生經歷和體驗知識的發生過程，了解知識技能背后所包含的數學思想方法和數學本質[4].

1 數學實踐探究性問題的認識

1.1 數學實踐探究性問題釋義

數學實踐探究性問題就是要通過學生的實際調查或動手操作來獲得經驗，應用數學知識和數學技能去探討問題并加以解決問題，獲得新的知識或技能[3].教學中教師經常發現很多學生對公式定理“背”的很熟悉，在解決一些符合公式結構的題目時得心應手，但遇到稍靈活或稍作變形的題目就無從下手，讓數學知識活起來，學得更好，理解得更透徹是實踐探究性教學的應有之義.教師在教學中應發揮學生在學習過程中的主體性，適時引導，讓學生動手操作、主動探究，在“做”中學數學、用數學，真正體驗數學的應用價值[5-6]，親身經歷知識的“再發現、再創造”的過程.

1.2 數學實踐探究性問題的功能

開展實踐探究性的學習，能夠引導學生學會認識數學與自然、數學與人類社會的密切聯系，在探究過程中學會參與、管理、協作、獨立思考和解決問題，體會到數學的應用價值，提高數學學習的興趣；有助于引導學生學會發現和探究新的問題，特別是提高動手操作能力；使學生在面對新的問題情境時，學會數學地思考，運用所學知識和數學思想方法尋求解決問題的策略，面對新的數學知識時，能夠主動地尋找其實際背景，并體會數學的應用價值[7].

開展數學實踐探究性的學習，具有5 個功能：

（1）激趣功能.讓學生的學習過程更加生動活潑，激發學生探究知識的興趣，體會學習成果的實用價值；

（2）訓練功能.許多實踐探究題目具有一定的技能技巧，因而能訓練學生掌握一定的技能，積累“做中學”數學的經驗；

（3）發展功能.實踐探究的過程中產生的興趣、情感、意志等有利于學生非智力因素的發展；

（4）陶冶功能.開展豐富多彩的實踐探究活動，讓學生體會到活動成功的愉快，幫助學生樹立數學學習的自信心；

（5）養成功能.實踐探究的過程中帶有一定的活動規則，要求學生認真遵守，還要求學生之間相互合作，和諧配合，因此有利于學生養成良好的行為習慣[8].

數學實踐探究題目的設計，符合建構主義的教學觀，也符合學科素養發展的要求，有利于助推基本活動經驗目標的實現.

1.3 數學實踐探究性問題的類型

（1）探究新知型問題.讓學生帶著問題用數學手段收集數據（或信息），對數學（或信息）進行觀察、歸納、分析、猜想、獨立思考及群體討論，去獲取新的數學知識.比如在圓的認識中，設置實踐活動，讓學生用不同的工具和方法畫圓，去發現決定圓的大小和位置的要素，再如讓學生自主探究圓的周長與半徑的數量關系等問題.

（2）應用操作型問題.讓學生將所學知識運用到生活和社會活動中，解決一個或幾個實際問題，如學習完“量與測量”后，讓學生到操場或者校園中實際感受各度量單位的長度，培養學生的估測意識，還如教材中設計的包裝盒的問題，讓學生體會到合理使用材料，尋求最優化的問題.

（3）拓展延伸型問題.讓學生通過實踐探究，對教材上的有些問題適當拓展，學會運用所學的知識去探究問題、解決數學問題.

（4）社會調查型問題.讓學生通過調查訪問，了解數學知識在現實生活中的應用，如學習完統計知識后，讓學生到居民區調查家庭用電收費、垃圾袋的使用情況，調查了解班級同學喜歡的電視節目、喜歡的水果等等.

2 數學實踐探究性問題創設的基本要求

實踐探究問題的創設要有利于培養學生的問題意識，引導學生從生活實際中發現問題、提出問題[5]，要有利于培養學生的工具意識，幫助學生明白數學知識能解決哪些生活問題，體會數學思想的核心價值.要有利于培養學生的研究意識，讓學生的數學學習過程從接受知識變為創造知識的過程，使得數學學習過程更具有可視性，將抽象的數學具象化；要有利于形成學生自我學習的理念，能夠在知識的拓展應用中，將所學的新知識應用到新的情境中去，從而促進學生的自我發展.因此，數學實踐探究型問題的創設，要把握好四個基本要求.

2.1 適應性

實踐探究題目的創設，要根據學生已掌握的知識和具備的活動能力、經驗水平進行創設，要讓學生能做、會做，要符合學生的“最近發展區”，問題的素材背景應當是學生比較熟悉的，處在他們能力范圍內的，這樣的問題才具有吸引力，能促使學生主動探究.

例1利用圖1 中的兩個圖形，只剪兩次，剪開后拼成正方形，你知道怎么剪的嗎？

圖1

教學思路分析本題主要考察用圖形的剪拼等方法組成新圖形的技能，六年級學生對圓和正方形的性質都比較熟悉，所以符合學生的“最近發展區”.能夠拼成正方形必須有四條直線段作邊，可是給出的兩個圖中，邊都是曲線，所以就要考慮剪刀的直線段剪痕做正方形的邊.方法1 的剪法如圖2（1）；方法2 的剪法如圖2（2）.

圖2

思想方法分析題目是考察正方形性質的問題，關鍵是正方形四邊是相等的直線段，要用到變換的思想方法，通過調整圖形的位置，分割圖形，運用等量代換、化歸思想方法將圖形轉化為已經學習過的圖形，進而使得問題求解.學生解答這樣的問題有一定的數學經驗，而且題目和學生的學習生活有密切的聯系，在剪拼的過程中可培養學生的發散思維.

2.2 開放性

數學實踐探究問題應當具有開放性，問題的結論不一定是唯一的，解決策略也是多元的，要求學生進行多方面、多角度、多層次的探索，讓每個學生在探究中都能夠有所發現、有所發展，增強學習數學的信心.還要按照一定的邏輯層次，準確完整地組織答案，教學中要結合學生的實際水平，分層次的逐步推進.

例2教師拿來了長分別是2 分米、4 分米、6 分米、8 分米的四根細鐵絲，讓學生們用這些鐵絲制作長、寬都是整分米數的長方形鐵絲框（正方形除外）.制作時，可以幾根連在一起，你能制作出哪幾種長方形鐵絲框？

教學思路分析問題核心是要滿足長方形的長加寬是周長的一半，已知長方形的周長，求長方形的長和寬.先放開讓學生自主組合鐵絲制作長方形，由于學生的解題策略不同，答案會有許多，學生互相交流可以通過連接搭配的辦法做出更多長方形鐵絲框，教師再引導學生有序歸納總結，不重不漏，見表1.

表1 2 分米、4 分米、6 分米、8 分米的四根細鐵絲連接制作長方形

思想方法分析題目是考察長方形性質的問題，需要把長方形的知識綜合在一起，主要用觀察法、類比法尋找規律，運用分類思想、化歸思想、有序組合的思想方法總結，教學設計中要凸顯以上具體的數學思想方法，使學生能夠感受到解題的目的是掌握數學方法，不是就題解題.

2.3 層次性

實踐探究問題應盡可能地設計系列問題，且各問題之間的難度應該逐漸增加，使得每個學生都能夠在能力水平上有所提高.如在統計的學習中，學生經過統計后畫出統計圖，說一說從統計圖中可以獲得哪些信息.學生可以提出不同層次的問題，從問題的深度可以折射出學生的思維水平.

例3剪一剪，看一看，一個正方形可以分割為幾個小正方形（小正方形的大小可以不同）.

教學思路分析分成4 個是最容易的.能否分成5 個？通過學生的動手實踐：裁剪、折疊、畫圖，得出不能分成5 個正方形，在這個過程中學生會剪出6、7、8 個正方形，討論n=6，7，8，以此類推步長為3時都成立（圖3），歸納得n（n≥6）成立可推得n+3也成立.所以命題對于大于5 的整數都成立.不同層次的學生剪出不同的分割，教師都要給予肯定.

圖3 將一個大正方形分割成若干個小正方形

思想方法分析此題目用的數學方法是數形結合的方法、歸納法.讓學生畫圖說明一個正方形可以分割為4、6、7、8 個小正方形，再歸納得出結論.畫圖是一種數學表達方式，教學時要教給學生畫圖的方法，盡量讓學生用數學語言去描述問題.特別是對于如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等基本形體的畫圖，可以很好地培養學生的空間觀念，發展學生的數學交流能力.

2.4 綜合性

數學實踐探究問題的設計中要有意識地加強數學與其他學科、現實生活的聯系，培養學生跨學科學習的能力和綜合應用數學知識的能力.比如節省原材料能降低產品的成本，針對這一現象設計題目，讓學生計算總結怎樣更合理.

例4張亮家在裝修.木工師傅需要將一批每根長410 厘米的木龍骨，鋸成甲、乙兩種木件.甲件每根長70 厘米，乙件每根長110 厘米.為了節約，木工師傅應該怎樣下料呢？

教學思路分析本題與實際生活密切關聯，為了降低成本，木工師傅在制作木件的時候，要盡量把木龍骨鋸成有用的甲、乙兩種木件，使余料最少.這是解決此題的關鍵，鋸的各種方案設計，通過計算進行比較得出結論.

方案（1）每根木龍骨上截取甲件5 根、乙件不取，余料60 厘米；

方案（2）每根木龍骨上截取甲件4 根、乙件1根，余料20 厘米；

方案（3）每根木龍骨上截取甲件2 根、乙件2根，余料50 厘米；

方案（4）每根木龍骨上截取甲件1 根、乙件3根，余料10 厘米.

比較以上鋸木龍骨的4 種方案，可知方案4 最合理，因為余料最少，木料的利用率高，所以木工師傅應該在每根木料上截取甲件1 根、乙件3 根.

思想方法分析這一問題與租車、租船方案一樣，要運用枚舉的方法，逐一進行計算比較后，獲得結論.

3 數學實踐探究性問題的解題策略

實踐探究題目所包含的信息比較多，應用數學知識與技能的要求比較高，需要學生具備扎實的數學基礎知識和基本技能，還要具有良好的審題習慣和處理各類信息的能力[3].因此，在教學設計中要培養學生的問題意識，學會從生活實際或者數學問題中發現問題、提出問題；要強化學生心目中的數學工具意識，進一步了解數學思想方法在各個領域的應用，能夠整合運用所學的知識進行創新性學習，克服以往的數學很抽象的印象，變被動的接受式學習為主動的體驗式、建構式的學習.

3.1 明確解決問題的方向

實踐探究題目往往會用一個情境甚至實驗來說明問題，而題目中的文字、圖畫、表格都與生活有一定的聯系，在閱讀時啟發學生不妨把它與生活中的原型聯系起來，用自己的生活經驗去思考，要源于生活又高于生活.比如人教版數學教材數學廣角中設計到的實踐活動，盡管與現實生活有密切聯系，但絕不能將思維停留在解決這些生活化的問題，要上升到數學思想方法和策略的高度.

例5如圖4，現有9 個分別是1 千克、2 千克、3千克、……、9 千克的砝碼，把它們如圖4 那樣掛起來，完全平衡.請在圖中填入數字（注：圖4 中刻度的間隔相等，橫桿和吊繩的重量不計）.

圖4

教學思路分析培養學生有序地思考問題，有序的語言表達.為了敘述方便，將吊鉤簡稱為g，做如圖5 的排序.杠桿的刻度到杠桿中點的距離叫力臂.如g1 的力臂為3 個單位長度，簡稱3，g2 的力臂為1，g3 的力臂為2，g4 的力臂為3；g2-1 的力臂為3、g2-2 的力臂為2；g4-1 的力臂為1、g4-2 的力臂為1、g4-3 的力臂為2.要使杠桿完全平衡，就要使杠桿兩端的千克數乘力臂數的積相等，即

圖5

g1 上的千克數× 3=g4 上的千克數× 3；

g2 上的千克數× 1=g3 上的千克數× 2.

試驗結果如圖6：g4-1 上的千克數是9、g4-2上是3、g4-3 上是1 和2；推得：g1 上的千克數是7和8；再推得g2 上是4 和6，g3 上是5.

圖6

思想方法分析題目用的是試驗法解決問題.數學不是實驗科學，觀察和試驗不是數學的主導方法，但對數學有著重要的作用，可幫助人們發現問題、說明研究對象的某一數學性質.許多問題，可以通過試驗觀察來找到答案.

3.2 尋找解決問題的依據

審清題目的基礎上，根據題目的條件和問題，聯系所學的概念、性質、法則等基礎知識和基本技能，針對數學知識的綜合應用，找到解題的“關鍵點”，尋找到解題的依據之后，要學會運用數學的思維方式，多角度思考、分析問題，大膽猜想，探求盡可能多的方法和結論，并加以整理和論證，從而將題目中的實際問題轉化成數學問題.

例6五個猴子相約到海灘上去分香蕉，一個猴子早到，它將香蕉分成相等的五份，多出一個扔進了海里，留下一份，拿著其他的四份找同伴去了.第二個猴子到了海灘，又將香蕉分成相等的五份，多出一個扔進了海里，留下一份，拿著其他的四份去找同伴.第三、第四個猴子都如此辦理，最后第五個猴子來到海灘，同樣將香蕉分成相等的五份，多出一個扔進了海里，留下一份，拿走了四份，海灘上只留下1個香蕉.問最初海灘上有多少個香蕉？

教學思路分析經過分析此題用逆推法比較方便.引導學生反向逆推并用表格表示所剩香蕉數（表2），可得出最初海灘上香蕉數有3906 個.

表2 解題思路分析

思想方法分析如果一個題目給出了未知量經過某些運算而得到的最后結果，解題時，從正向去分析解題過程比較困難，或者出現一些復雜的運算，這時可從反向逆推，從最后結果出發，運用加與減、乘與除之間的互逆關系，從后往前一步一步地推算.這種思想方法叫逆推法，在處理一些問題時經常要用到逆推法.

例78 個小球分別編號①②③④⑤⑥⑦⑧，其中有6 個球重1 克，1 個球重2 克，1 個球重3克.用天平稱3 次，如圖7，問：2 克重和3 克重的各是幾號球？

圖7 天平稱小球

教學思路分析：

答：2 克的球是②，3 克的球是⑥.

思想方法分析在學生的探求過程中教師可引導學生運用集合思想方法解決問題，充分運用演繹推理得到結論.用集合代表天平盤中的小球，用元素與集合的關系判斷小球的所屬，層次分明、直觀清晰，學生很容易解決問題.在解決數學問題時，離不開演繹推理.小學數學教材中，在運用運算法則、運算定律、運算性質進行計算時，主要運用演繹推理.

3.3 設計解決問題的合理方案

實踐探究問題解決中，要在理解題意、找到解決問題所有的關系基礎上，設計出解決問題的合理方案或者數學模型，然后按順序進行解答，問題解決后還要回到題目中去檢驗，是否符合題目的要求和實際生活.

例8劉偉要買輛獨輪車，價錢是290 元，他現有225 元，每月還有30 元的零花錢.下面有三種購車辦法，可以根據具體情況做選擇：

A：存款到夠290 元再買；

B：首付90 元，然后每月付19 元，付一年；

C：零首付，每月付28 元，付一年.

要求算出每種選擇所需付款的總數，然后作出比較.（1）哪種選擇付款最少？（2）如果是你，會選擇哪一種？為什么？

教學思路分析本題將旨在通過練習讓學生體會到解決問題的多種策略，通過各種不同的付款方式，讓學生學會理財，學會用數學的思想方法來解決實際問題，培養解決問題的能力.

（1）三種購車方法的付款數量如下：

方案A：290 元；方案B：318 元；方案C：336 元.

所以方案A 付款最少.

（2）選擇哪一種付款方式，要根據個人每月能夠支付的錢數和對商品的需要程度來判斷，為此，需要做利弊分析：

方案A 的付款數量最少，但是需要等到自己存款到290 元時再購買，根據現有225 元和每月的收入30 元計算，至少在3 個月之后才能買到獨輪車，而且會在前兩個月沒有零用錢；方案B 付款總額較多，且要花去一部分儲蓄，但是能夠立刻買到獨輪車，且每個月還能留11 元的零用錢；方案C 付款總額最多，但不用花費儲蓄，并且能夠立刻得到自行車，但每月只剩2 元零用錢.

思想方法分析 題目的問題中涉及到支付方案的優化問題，要求運用自己學到的數學知識去選擇一個最優方案，為自己的生活帶來便利.在社會實踐中，經常會遇到如何使費用最小或效益最高等最佳策略制定的問題，數學上把這類問題叫做最大最小問題，這正是“優化思想方法”的價值所在.

4 結束語

數學思想方法是科學方法中的理性方法最重要的一種，大凡在比較成熟的科學中，都廣泛運用數學方法.如果教師在數學教學過程中善于合理運用發現新知識和新規律的數學思想方法進行教學，注重培養學生的數學思維能力[9]，讓學生掌握數學思想方法，不僅使學生對數學知識能夠加深理解，而且對培養學生的數學思維品質有重要的作用.