借助數學知識解決物理難題

摘要：數學知識與物理知識之間聯系緊密，尤其在解答高中物理習題時運用數學知識能夠獲得事半功倍的良好效果.實踐中為提高學生運用數學知識解答高中物理習題的意識與能力，應展示運用數學知識解題的相關細節，進一步提高學生數學知識應用意識，促進高中物理解題能力的進一步提升.本文主要探討三角函數、基本不等式、二次函數、等比數列在高中物理解題中的應用，以供參考.

關鍵詞：數學知識;高中物理;解決;難題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0102-03

眾所周知，部分高中物理習題不僅考察物理知識，而且考查學生運用數學知識解決物理問題的靈活性，因此為提高學生解答高中物理習題的能力，使其在解題中少走彎路，迅速地找到解題的突破口，確保物理問題的順利解答，應注重與學生一起總結物理解題中常用的數學知識，并優選精講典型例題，給學生帶來良好的解題啟發.

1 三角函數在物理解題中的應用

三角函數在物理解題中的應用主要表現在尋找角度與線段之間的關系上.部分高中物理習題不僅需要構建相關的物理方程，而且還需運用三角函數的有界性.解題時應具體問題具體分析，積極聯系所學三角函數知識，以求解出正確結果.例如，如圖1是以O為轉軸水平放置圓筒的截面圖.現讓圓筒繞中心軸順時針高速旋轉.某時刻將一小物塊輕輕放在圓筒軸線正下方的A點.物塊在圓筒帶動下隨之運動，物塊運動到最高點C后又滑下來，最終停留在B點.若∠AOB=θ，∠BOC=α，在A、C兩點物塊的加速度之比是多少？

解析在不同位置對小物塊進行受力分析，運用牛頓第二定律計算出在A、C兩點的加速度，而后運用三角形函數進行作答.

設圓筒的半徑為R，小物塊的質量為m，和圓筒的動摩擦因數為μ，在A點時，fA=μmg.因小物塊最終停留在B點，因此，在B點時，fB=μmgcosθ=mgsinθ

由牛頓第二定律，小物塊在A點的加速度為aA，則μmg=maA，則aA=μg.小物塊在C點時的加速度為aC，由牛頓第二定律得到：mgsin（θ+α）-μmgcos（θ+α）=maC，則aC=

g1+μ2sinα，∴aA：aC=μg：g1+μ2sinα=sinθ∶sinα.

2 基本不等式在物理解題中的應用

部分高中物理習題需要求解某個參數的最值.解題時需要靈活運用所學物理的規律，構建相關物理方程，通過對求解參數的整理，運用基本不等式知識順序求解其最值.需要注意的是運用基本不等式時應注重等號成立的條件.

例如，如圖2，將一質量m=0.5kg的小物塊靜止放在粗糙水平臺階上，在臺階右側固定一個以O點為圓心，半徑R=214m的圓弧形擋板.給小物塊施加一個大小為F的力，使其向右運動，一段時間撤去F.小物塊最終水平拋出并擊中擋板，g取10m/s2.改變拉力F的作用距離，使小物塊擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時小物塊速度的最小值和此時物塊下落的高度h.

3 二次函數在物理解題中的應用

二次函數在高中物理解題中有著廣泛的應用.求解物理習題中相關參數時通過針對性的整理將其看成某個參數的二次函數，而后運用二次函數的性質求解相關參數的最值.為保證結果的正確性，運算時應謹慎、認真.

例如，如圖3，空間存在水平向右電場強度大小為E=1×106N/C的勻強電場，一質量為m=0.1kg，電荷量q=+1×10-6C的小球，從A點以初速度v0=10m/s豎直向上拋出，經過一段時間落回到和A點等高的位置B點，重力加速度g=10m/s2，求：

（1）小球運動到最高點時的速度大小;

（2）小球運動過程中最小動能;

解析

問題（2）：由動能定理可知Ek=12mv2=12m（vx+vy）2，設運動的時間為t時小球動能最小，則vy=v0-gt，vx=qEmt，代入得到：Ek=12m＼[（qEmt）2+（v0-gt）2＼]=12m＼[（q2E2m2+g2）t2-2v0gt+v02＼]，由二次函數知識可得當t=m2gv0q2E2+m2g2，小球的動能最小為mq2E2v202（q2E2+m2g2）=2.5J.

4 等比數列在物理解題中的應用

解答高中物理有關物體碰撞類的問題時不僅運用動量守恒定律、機械能守恒定律，而且需要總結與歸納，分析碰撞前后相關參數之間的關系，而后運用所學的數列知識進行相關計算.

例如，如圖4，將質量分別為m1=2kg，m2=1kg平板車M、N放在光滑水平面上.兩者之間用一根不可伸長的輕繩相連，輕繩處于緊繃狀態，中間夾著的彈簧處于壓縮狀態（彈簧和兩小車不栓接），彈性勢能為Ep=27J.某時刻輕繩斷裂，兩車被彈開，彈簧恢復原長后在M車的左端和以M車相同的速度放上一塊質量m0=3kg的鐵塊，M車和鐵塊運動一段時間后，第一次和墻壁發生碰撞.已知鐵塊和M車之間的動摩擦因數μ=0.5，M車足夠長，使得鐵塊始終不能和墻壁相碰.M車和墻發生正碰，碰撞時間極短，碰撞過程無機械能損失.求：

（1）彈簧恢復原長時兩車的速度大小;

（2）從M車第一次和墻體相碰到向左運動到最遠距離的過程中，鐵塊相對M車滑行的距離;

（3） M車和墻相碰后所走的總路程;

解析

問題（1）：設M、N兩車速度分別為v1，v2，則由動量守恒定律可得：m1v1=m2v2，由能量守恒可知Ep=12m1v12+12m2v22，聯立解得v1=3m/s，v2=6m/s;

問題（2）：取向右為正方向，則M和墻壁碰撞后由動量守恒定律可得m0v1-m1v1=m0v，由能量守恒可得：μm0gL=12（m0+m1）v12-12m0v2，聯立解得L=1.4m;

問題（3）：平板車M第一次和墻相碰后向左走的位移為s1，則由動能定理得：-μm0gs1=0-12m1v12，解得s1=m1v212μm0g，代入數據得到s1=0.6m;平板車和鐵塊以共同速度v2和墻發生第二次相碰，動量守恒定律得到：m0v1-m1v1=（m0+m1）v2，解得v2=15v1，第二次相碰后平板車M向左走的路程為s2，易得s2=m1v222μm0g;則s2=125s1，以后每次相碰平板車向左的路程以125的比例減少.其構成一個以公比q=125的等比數列，由等比數列前n項和求和公式可得M車和墻相碰后所走的總路程s=2s1·1-qn1-q≈2s1·11-q=1.25m.

為使學生能夠靈活運用數學知識，解決高中物理難題，提高學生解題的自信心，應注重為學生總結相關題型，展示如何運用數學知識求解的物理問題.同時要求學生做好解題的總結，掌握適用數學知識解題的題型以及相關的問題情境，把握解題的相關細節以及注意事項.

參考文獻：[1] 葉誠理，林品玲.例談高中數學教學中物理知識的有效融合＼[J＼].名師在線，2021，174（29）：19-20.

＼[2＼] 張成文.數學知識在高中物理研究中的具體應用＼[J＼].數理化解題研究，2021，517（24）：61-62.

＼[3＼] 吳冬梅，陶建春.高中物理數學知識應用淺談＼[J＼].高中數理化，2021，358（16）：42-43.

＼[4＼] 許林民.高中物理解題中數學知識的運用＼[J＼].數理化解題研究，2021，512（19）：83-84.

＼[5＼] 周霞.巧用數學知識解答物理問題＼[J＼].數理化解題研究，2020，475（18）：62-63.

＼[6＼] 李錚.數學知識在高中物理教學中正遷移的策略＼[J＼].福建基礎教育研究，2020，136（04）：110-112.

＼[7＼] 王永慶.淺談高考物理怎樣使用數學知識解決物理問題＼[J＼].高考，2020，381（21）：1+36.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：慕偉（1984.12-），男，安徽省亳州人，本科，中學一級教師，從事高中物理教學研究.[FQ）]