數學史視角下數列教學的實踐與研究

◎莊 嚴

(廣東省湛江市愛周高級中學,廣東 湛江 524000)

數學是自然的,但在學習過程中,學生認為數學是抽象的、僵化的、不自然的.這有兩個原因：第一，人們對數學史不夠重視.關于數學史的研究不能只說數學的重要性,應該更多強調數學對人類文明發展的重要貢獻.第二，把數學史融入課堂,并不是單純地開設有關數學史的校本研修課，為了學數學史而學,而是在平時的課堂教學中給學生營造一種文化氛圍,在贊嘆古人偉大成就的同時抒發自己的敬仰之情,給自己學習的動力,在課堂上體現數學的人文關懷和文化價值.

一、數列在高中數學課程中的地位

數列這一板塊在高中教材中只占了一章,在新高考中卻是必考知識點,所占的分值不少,是高考中的重點和熱點內容.數列就像一條紐帶聯系著高中數學中函數、不等式、解析幾何等知識,有著靈活多變的解題技巧,這也使數列成為高中數學的一個難點.它在日常生活中的應用廣泛,比如銀行的分期付款、新冠病毒的傳播、氣象、退耕還林和堆放物品的總數等,都可以轉化成數學問題來解決.

二、數學史對數列教學的價值與意義

1.激發學生的學習興趣

對于很多高中生來說,他們對于“為什么學習數學”這一問題的答案是模糊的,甚至對一部分學生來說,更是功利的,他們認為學習數學當然是為了取得好成績,是為了在高考中能夠脫穎而出,還有些學生學習數學的目的是茫然的.在這樣的學習動機的影響下,學生的學習質量和學習效果可想而知.因此,擺在許多教師面前的難題就是培養學生對于數學這門學科的學習興趣與動力.而將數學史融入日常教學過程中,是培養學生數學學習興趣行之有效的方法.比如,在數列的教學中,最經典的案例就是數學家高斯小時候計算“1+2+3+4+…+99+100”的小故事,并且這一案例在數列教學中被廣泛應用.在數列概念的教學過程中,教師可以高斯求和這一故事的講解為引子,讓學生先嘗試相關的解答方法,最后給出高斯的解答方法,這既能夠順利引出數列的概念,又有利于真正增強學生對于數列知識學習的興趣,激活學生的求知欲望,從而讓他們以積極主動的姿態投入數列知識的學習之中.

2.加深對知識點的理解

3.幫助學生全面認識數學

在高中階段有分科的過程,數學則是理科的龍頭代表.在高考的背景下,很多人會將文理科割裂開來.在數學學習中表現得只重視解題方法,而忽略了這一學科知識背后的文化價值及意義.比如,在學習數列時,很多學生只知道數列表現為a1，a2，a3，a4，…，an,但是對于數列的概念是模糊的,更不用說數列的歷史和由來.在這樣的學習狀態下,學生只將數學學習作為解決問題的必經道路.在機械的解題訓練中,學生對數學開始厭惡和排斥.但是新的數學課程標準明確指出,數學教學應該適當反映數學歷史,培養學生的數學文化觀.在數列教學中融入數學史,能夠讓學生真正走出數學認識的誤區,感受數列這一數學知識背后的文化背景,全面認識數學的價值.

4.促使德育滲透

立德樹人是我國教育的根本任務,高中數學教學更應該以立德樹人為教學任務指導,在數列教學中融入更多豐富的數學史資料,更好地滲透思想品德教育.比如,教師為學生介紹《九章算術》,可讓學生了解我國的數學專著,既有助于增強學生的民族自信心,也能夠激勵學生拼搏向上,讓他們以古人為榜樣,學著攀登數學高峰,即使遇到難題也會鍥而不舍.

三、利用數學史創設情境

中華民族光輝燦爛的數學史是對學生進行愛國主義教育的豐富資源.用數學史創設情境富有新意,能激發學生的學習興趣,活躍課堂氣氛,使其在高漲的熱情中繼續探索新知識,利用他們的好奇心持續研究,從而起到事半功倍的效果.對于教材“數列”這一章，我們可以找到很多有關數學史的內容,下面舉幾個用數學史進行情境導入的例子.

1.數列概念的授課過程

老師:我們來做一個游戲，一人一句話數字接龍:“一只青蛙一張嘴,兩只眼睛四條腿；兩只青蛙兩張嘴,四只眼睛八條腿；三只青蛙三張嘴,六只眼睛十二條腿……”以此類推,看看大家誰說得又快又對.

學生:一只青蛙一張嘴,兩只眼睛四條腿；

學生:兩只青蛙兩張嘴,四只眼睛八條腿；

學生:三只青蛙三張嘴,六只眼睛十二條腿；

學生:四只青蛙四張嘴,八只眼睛十六條腿；

學生:五只青蛙五張嘴,十只眼睛二十條腿；

……

老師:同學們說得很好,那我們把青蛙的數目、青蛙的嘴、眼睛、腿的數目分別記錄下來,可以得到怎樣的一列數呢?

學生:青蛙的個數為1,2,3,4,5.

學生:嘴的張數為1,2,3,4,5.

學生:眼睛的只數為2,4,6,8,10.

學生:腿的條數為4,8,12,16,20.

老師:通過以上每組數的例子,同學們自己理解一下數列的概念,并與課本做比較,看有什么不同.其實數列從古就有,我們再來看古代關于數列的有趣的例子.傳說古希臘畢達哥拉斯學派數學家在海灘上研究的數學問題有“三角形數”和“正方形數”,如圖所示,我們數一下,每個圖形中分別有多少個圓點?

學生:三角形數為1,3,6,10,15.

學生:正方形數為1,4,9,16,25.

這是數列的第一節課,較為簡單,內容不多,教師引入數學史，自然而然地舉出例子,形象生動,通俗易懂,能滿足學生的獵奇心理,課后主動查資料,為后面的課程做好鋪墊.

2.等差數列的授課過程

3.等比數列的授課過程

“等比數列”這一節涉及生物學科中的細胞分裂,我國古代還給出了一個無窮遞縮等比數列,記載在《莊子·天下》中,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”，這都可引入等比數列的概念.我們還可以借機科普一下數學史上有關等比數列的文字記載,出于《易·系辭上》:“河出圖,洛出書,圣人則之;兩儀生四象,四象生八卦.”我們的祖先是何等的聰慧,敬佩之心油然而生,身為華夏兒女也倍感驕傲.

4.無窮遞縮等比數列的授課過程

說到無窮遞縮等比數列,那就不得不提數學史上非常著名的“芝諾悖論”，講述的是古希臘的英雄阿喀琉斯是一位跑步健將,有一次他要與烏龜賽跑,但是這個大英雄永遠也追不上烏龜.聽完這個故事,學生對于跑步健將追不上烏龜這個結論紛紛表示不可能.這時，教師可以借助多媒體動畫解釋芝諾的理由是:阿喀琉斯每趕到烏龜之前的落腳點,烏龜就已經往前走了一段,雖然它們之間的距離一直在縮小,但他永遠追不上烏龜，這個悖論中的所謂“無限”,就是阿喀琉斯在追上烏龜之前的這段空間距離,可以無限分割成無限小的距離段.阿喀琉斯并不是在努力跑向終點,趕上烏龜,而是在完成烏龜留下的一個又一個越來越短但又無限多的距離段.如果說有一段無限長的、只有起點沒有終點的距離,那么阿喀琉斯就是跑得再快,也是無法窮盡的.這樣就激發了學生學習的興趣,下課后他們仍然回味無窮,課后會自主查資料進行研究探討,滿足自己的求知欲.借助這個故事,此知識點已在學生腦中留下了深刻的印象,估計很難忘記了.

5.等差數列求和的授課過程

對于等差數列求和，課本上講述了一個大家耳熟能詳的故事,德國王子高斯小時候就用首尾相加的方法解決了1到100的求和問題,令老師和同學贊嘆不已.很多學生都知道這個故事,但是學生不一定注意到這種等差數列求和的方法有局限性,n只適合偶數,不適合奇數.同學們可以效仿高斯開動自己的創新思維,動手動腦探究等差數列的求和公式.這樣，這節課的內容瞬間與學生拉近了距離,學生不僅理解了知識點,而且很有成就感,對知識印象深刻.

我國北宋政治家、科學家沈括早已解決了這個問題,他的方法叫作“隙積術”.教師投影出《夢溪筆談》中有關“隙積術”的原文,這是等差數列常用的數列求和方法——倒序相加法，這種方法常用于解決堆放物品的總數問題.比如，印度泰姬陵是世界文化遺產,被譽為“完美建筑”,又有“印度明珠”的美譽.有這樣一個傳說,當時陵寢中有一個特殊三角形圖案(等邊三角形),由100層的寶石堆砌而成,那么問題來了,這一共有多少顆寶石呢?

6.等比數列求和的授課過程

教師可使用多媒體向學生展示國王在國際棋盤放麥粒這個故事,并仿照這個故事,組織學生小組探究,在課前準備好的棋盤上放大米.學生躍躍欲試,在實際操作中體會國王當時的想法和現實的差距，從而使學生明白,凡事都要有理論依據做支撐,不可以憑感覺想當然,要進行實踐才能下結論,培養了他們思維的嚴謹性.

四、利用數學史激活思維,鞏固強化

很多學生學習數學都會有這種體會,課堂上老師講的內容明明聽懂了,寫作業時卻一頭霧水,要么無從下筆,要么寫著寫著就斷了思路,十分苦惱.其實,這種現象就跟走迷宮是一樣的,上課時跟上老師的思路,就如走迷宮時前方有個領路人,不管什么岔路口只要跟上就行了,就算是不認識路,機械地跟著也可以完全走出去,但是路不熟,所以在課后自己獨立走的時候結果可想而知.如果課堂上老師能引入一點數學史的知識,既有趣又能加深學生的印象,這就像在迷宮的岔路口點亮一盞指路的明燈,學生課后復習顯然增效很多.在以后的階段性復習當中,由于印象深刻,也很容易喚醒記憶,讓人眼前一亮,還可以類比其他知識點,激活思維,全面提升.

五、利用數學史提升能力,歸納拓展思維

課堂小結能總結一節課的綱要,是一節課的靈魂.在一節課中,通過教師的引導,大部分學生學會了新的概念,掌握了一些簡單的應用,而這節課還沒完,數學文化博大精深,課堂上掌握的內容只是管中窺豹,學生知識儲備有限,他們中還有些“知其然，不知其所以然”，這時教師就需要在課后拓展補充一些內容,開闊學生視野,使其鑒往知來.教師可在課堂小結時拋出一個問題,使學生有意猶未盡之感,此時,數學史資料就可以閃亮登場了.

如教師在課堂最后肯定學生的課堂表現,送詩一首,以表鼓勵：

遠看巍巍塔七層,

紅光點點倍加增.

共燈三百八十一,

請問尖頭幾盞燈.

學生感嘆詩中描繪的美景之時,會發現它里面竟藏著數學問題.

作為一名數學老師,用一首詩結束一節課,才華外露,自身的形象在學生眼中瞬間高大了幾分.學科的融合再一次表明數學并不是枯燥乏味的,數學中也孕育著美,我們要挖掘、發現、欣賞、體會數學之美.

我們在教學難度不大、課堂容量要求不高的課程時,可以多融入一些相關的數學史內容.有趣的材料可以讓冰冷的數學知識變得有血有肉,使學生在課堂上變得活潑,吸引學生的注意力,并使他們對數學知識產生濃厚的興趣.這樣不僅不會影響教學目標的完成,而且會幫助學生更好地理解數學公式，并為下一堂課做準備.