將案例教學融入離散數學課堂

何苗 吳小娥 張曉孿 李耀波

摘?要：針對計算機科學與技術專業的學生學習離散數學，為了激發學生學習的興趣和積極性，將案例教學融入課堂，以實際問題為主線，通過提出問題、分析問題和解決問題三個步驟完成教學，培養和提升學生將實際過程中學習通過建立數學模型和算法的設計，將實際問題轉化為數學問題，有效解決實際問題。最終達到培養學生思考問題、分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞：離散數學;案例教學;數學模型

Integrating?Case?Teaching?into?Discrete?Mathematics?Classroom

He?Miao?Wu?Xiaoe?Zhang?Xiaoluan?Li?Yaobo

School?of?Computer，Baoji?University?of?Arts?and?Sciences?ShaanxiBaoji?721013

Abstract：In?order?to?stimulate?students'?interest?and?enthusiasm?in?learning?discrete?mathematics，case?teaching?is?integrated?into?the?classroom?for?students?majoring?in?computer?science?and?technology.Taking?practical?problems?as?the?main?line，the?teaching?is?completed?through?three?steps?of?raising?problems，analyzing?problems?and?solving?problems.Train?and?improve?the?students?to?learn?in?the?actual?process?through?the?establishment?of?mathematical?model?and?algorithm?design，practical?problems?into?mathematical?problems，effectively?solve?practical?problems.Finally，students'?ability?to?think，analyze?and?solve?problems?can?be?cultivated.

Keywords：discrete?mathematics;case?teaching;mathematical?model

1?學情分析

離散數學是計算機科學與技術專業學生的專業基礎課程。學生的特點是數學知識扎實，邏輯思維能力和解決實際問題的能力一般，將生活中的實際問題轉化為數學模型，通過求解數學模型解決實際問題的能力較弱，課堂氣氛不活躍。針對上述問題，我們不僅需要給學生講解最基本的知識點，還需要給學生拓展相應知識點的算法和用這些知識點和算法如何求解實際問題，最終達到培養學生思考問題、分析問題和解決問題的能力。

2?以實際問題為主線進行教學活動

在離散數學的教學過程中，結合計算機學院專業的特點，以實際問題為主線，通過提出問題、分析問題、解決問題三個步驟完成主要教學如圖1所示。提出問題的主要目的是激發學生學習的興趣，讓學生的學習由被動變為主動，讓學生對問題產生興趣，愿意主動積極地去解決實際問題。分析問題主要通過新課的導入，針對具體的實際問題，給學生分析該如何去解決這個問題，為了解決這個問題，我們已經學習了哪些知識，哪些知識是我們沒有學習的，然后將新課進行導入。解決問題，通過導入的新課，然后講解新的知識點，從理論到算法，對學生進行深入的講解，通過新學習的知識點，來求解提出的問題，這樣既讓學生復習新學習的知識點，又讓學生學會如何通過已經學習的知識點來求解實際問題。以實際問題為主線的教學的優勢是培養學生解決實際問題能力的短板。培養學生思考問題、分析問題和解決問題的能力，實踐過程中學習通過建立數學模型和算法的設計，將實際問題轉化為數學問題，進一步通過所學習的知識點有效地解決實際問題。

下面我們通過最小生成樹[1]的教學活動給出提出問題、分析問題和解決問題的三個步驟。一個鄉有9個自然村如圖2所示，問假設架設通信線時，如何拉線才能使用線最短。通過這樣一個實際問題拋給學生，激發學生思考該如何求解該問題。首先我們將這樣一張實際的地圖轉化為一個無向連同圖，如圖3所示，引導學生回憶之前學習過的知識點生成樹的概念，給這樣一個具有實際背景的無向連同圖畫出它的生成樹，我們會發現不同的學生畫的生成樹是不一樣的，如果按照學生所畫的生成樹來拉線的話，我們會發現所使用線的長短不一樣，啟發學生該如何選擇才會使得線的距離最短，最后發現生成樹雖然可以解決這個實際問題，但是不能保證解決的方案是一個最優的方案，那應該如何保證尋找到的拉線路徑是最佳的，這就是本節課所需要學習的內容，最小生成樹。

下面給學生講解最小生成樹的概念，啟發學生思考，最小生成的概念也不能解決這個實際問題，然后提出求解最小生成樹的算法、Kruskal算法和Prim算法，講解算法的思想和算法的求解步驟。通過Kruskal算法和Prim算法解決給自然村架設通信線最短的問題。最后對所學習的知識點進行拓展。

下面我們通過最優樹的教學活動給出提出問題、分析問題和解決問題的三個步驟。通過案例用機器分辨一些紙幣，假設各種紙幣出現的概率不同。問題是如何設計一個分辨紙幣的方法，使得所需的時間最少？

下面通過和學生一起分析這個實際問題，發現二元樹可以解決這個問題，但是它不是最佳的方案，為了尋找最佳的方案，引出本節課學習的內容最優樹的概念。

下面給學生講解最優樹的概念以及求解最優樹的Huffman算法，和學生一起利用Huffman算法解決紙幣分辨的問題。

最后讓學生課后以小組的形式解決當字母出現的頻率不同，構造字母的前綴碼使得傳輸的二進制位最少。教師最后只需要負責點評，讓學生自己獨立思考問題、解決問題。

3?將實際案例融入離散數學課程的教學

將離散數學課程的教學分為課前、課中和課后，具體過程如圖4所示。

課前，教師通過教學分析、教學設計，將教學資源推送給學生，有些基礎知識可以通過MOOC資源或者教師錄課的小視頻推送給學生，讓學生自己學習，有些知識點需要學生自主預習。

課中，教師通過課程導入、新課講解、求解問題和歸納總結四個步驟完成課堂的教學工作，學生在課堂中需要積極參與進來，需要進行小組討論，最后歸納總結，課堂反饋。

課后，教師需要評估教學，鼓勵學生在課后以小組的形式相互設計問題，進行描述模型并且通過所學習的知識點進行實際問題的求解，教師此時只需要負責引導和點評，讓學生自己獨立的思考問題、分析問題和解決問題。培養和提升學生在實際過程中解決實際問題的能力。讓學生的學習由被動變為主動，調動學生的積極性。

下面我們通過最小生成樹的教學活動給出課前、課中和課后的教學活動。課前利用雨課堂給學生布置自主預習的內容，復習之前學習過的樹、生成樹的概念以及相關的定理。課中，通過提出實際問題，給自然村架設通信線的例子，激發學生的學習興趣，調動學習的積極性和主動性，從而獲得較好的教學效果。探究新知，啟發學生發現生成樹的概念可以解決實際問題，但是不能達到最優，達到最優需要找到生成樹中權值最小的那一棵生成樹，這就是本節課需要學習的內容。知識回顧，通過回顧樹和生成樹的概念，加深之前所學習的知識，并且為新知識的學習起到鋪墊的作用。講授新知，講授最小生成樹的概念和Kruskal算法，并提出一個不需要每次檢驗邊的權值最小的一個Prim算法，Prim算法作為本節課拓展的一個算法，并激發學生尋找復雜度更低的算法，最后給出MATLAB軟件的代碼[23]，促進學生學習的積極性和激發他們的興趣。求解實際問題，通過實際問題的求解，來鞏固本節課的教學重點和教學難點。最后進行課堂小結，回顧本節課的教學內容，和學生一起總結教學重點和教學難點。進行知識拓展，開拓學生的視野、激發學生學習的興趣。課后，讓學生以小組的形式解決信息中心通信系統的問題，如何建立數學模型，如何分析問題，最后解決問題，培養和提升學生解決實際問題的能力。

4?離散數學線上線下相結合的教學模式

基于互聯網+的大環境，在數字化、智能化和網絡化信息下，結合計算機學院的專業特點，將線上教學和線下教學相結合，做到全方位的實現教學模式。在一般的情況下，將線上教學用于線下教學的輔助，有效地幫助學生學習到更多的知識點和對未來工作和科研有幫助的內容。線上教學主要用于課前和課后，在課前，利用微信群、QQ群或者雨課堂發布學生需要預習的內容和需要提前學習的知識點。教師可以給學生錄制小視頻或者發布MOOC資源上的學習視頻。課后，我們可以利用微信群、QQ群或者雨課堂給學生布置課后作業，解答學生的疑問，在案例教學的過程中，可以讓學生分組來完成一些實際的案例，培養學生團隊協作能力和解決實際問題的能力，通過協作完成任務，可以讓學生之間相互學習相互幫助，既可以增加同學情誼又能更好地完成任務。提倡學生之間分享任務完成的結果和方法，教師此時只需要做到監督和講評。

例如，在進行最小生成樹的教學過程中，可以利用微信群、QQ群和雨課堂發布需要復習的知識點、樹和生成樹的基本概念以及相關的定理和推論。在課堂的教學過程中，可以利用雨課堂進行隨堂小測和讓學生完成自然村之間架線的問題，通過講解學生的答案，得出生成樹可以解決自然村之間的架線最短問題，但不是最佳的方案，然后引出本節課的教學重點，最小生成樹的概念以及求解最小生成的算法Kruskal算法和Prim算法。課后，利用線上給學生發布課后的習題作業以及實際問題：構建一個包含A、B、C、D、E的5個信息中心通信系統的問題，如圖5所示，使得總體費用最小。

結語

針對教學重點和難點，把應用型思維嵌入離散數學課堂。實踐教學以教師的引導為基礎，把研究性學習方法應用到實踐過程中，以某個實際問題為主線，通過問題的提出、分析和解決三個步驟完成求解。具體通過案例引入問題，啟發學生思考，從而化解教學重點和難點。學生在實踐過程中學習通過建立數學模型和算法的設計，將實際問題轉化為數學問題，有效解決實際問題。結合學生自身掌握計算機操作水平及自身對知識的理解能力來設計相應的實踐內容。對涉及應用的知識點，具體內容可以是問題導向型的，主要利用相關知識來解決某個學科問題或實際問題，但具體是什么問題是開放的。在應用型思維為主的教學過程中安排實踐教學，通過實踐教學，有效引導學生自主學習，從而有效提高教學效果。

參考文獻：

[1]耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數學[M].北京：清華大學出版社，2013.

[2]張巖，吳水.MATLAB優化算法[M].北京：清華大學出版社，2017.

[3]劉浩.MATLAB?R2020a完全自學一本通[M].北京：電子工業出版社，2020.

基金項目：寶雞文理學院第十六批校級教改資助項目研究成果，項目編號：21JGYB50，21JGYB24

作者簡介：何苗（1987—?），女，漢族，陜西寶雞人，理學博士，講師，研究方向：隨機非線性系統的控制。