數據分析素養為本的教學實踐與反思

孫軍波

[摘 ?要] 針對如何在教學中培養數據分析素養的問題，研究者以“頻率與概率”單元教學為例，使學生經歷知識探索和發現過程，感悟如何獲取有用的數據、如何選擇有效的方法、如何得到有意義的結論，進而探討了培育數據分析素養的方法：實踐收集和整理數據的操作過程;課堂上突出數據分析處理過程，包括從分組試驗到匯總統計的各環節;提升使用信息技術輔助數據分析的能力;設計開放性作業，在解決問題中提升數據分析素養.

[關鍵詞] 數據分析;頻率與概率;教學實踐與反思

[?]問題提出

信息化社會的高速發展伴隨著大數據時代的到來，數據分析變得越來越重要. 新課標中把數據分析作為六大核心素養之一，期望培養學生能用數據來研究問題的習慣. 因此，教學中要求教師注重培養學生收集、整理、分析數據的能力，提升學生提取有用信息和形成結論的能力.

在傳統教學中，師生往往不重視統計和概率的教與學，壓縮了學習過程和時長，只學習與解題相關的幾個公式和結論. 隨著教學改革的推進，越來越多的教師開始意識到，“概率與統計”課程承擔的是培養學生理解和處理隨機現象的能力. 它的價值不僅在于概念與技能的學習，更在于對學生數據分析素養的提升. 所以在“統計和概率”的課堂教學中，如何提升學生數據分析的能力，成了一線教師關注的熱點.

[?]數據分析素養的內涵

數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養. 主要過程包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論. 為提升學生數據分析的能力，新課程大大提高了“概率與統計”的地位與比重. “概率與統計”不僅是必修課程的五大主題之一，也是選擇性必修課程的四大主題之一，而且在選修課程中做了進一步的深化與拓展.

[?]以新人教A版高中數學教材“頻率與概率”單元設計為例的理由

新課標指出：“概率的研究對象是隨機現象，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法. 統計的研究對象是數據，核心是數據分析. 概率為統計的發展提供理論基礎.”其中“頻率與概率”單元包括頻率的穩定性、頻率與概率的聯系與區別、用頻率估計概率、隨機模擬等知識，體現概率為統計的發展提供理論，統計為概率的發展提供工具.

在新人教A版高中數學教材中，“頻率與概率”位于第十章第三節，與原人教A版高中數學教材中的“隨機事件的概率”和“整數型隨機數”的內容有很大關聯.在該知識單元中，充分體現了學生的數據分析素養的培育過程：通過實例介紹用頻率估計概率的必要性和合理性，培養學生學習頻率與概率的聯系與區別;再介紹隨機模擬方法，高效實現大量重復試驗.教學過程圍繞核心問題尋找解決辦法，針對研究對象獲取有用的數據，借助圖表對數據進行整理和分析，然后學習隨機模擬方法提高試驗效率，最后通過分析數據獲得有意義的結論.

[?]案例：以數據分析素養為導向的“頻率與概率”單元教學設計

1. 學習內容分析

（1）知識產生的背景與固著點.

生活中有許多不確定性現象，人類需要去解決這些隨機問題. 最早將生活中的隨機問題提升到理論化高度，就是賭博中的點數問題：兩人玩游戲約定先贏六局者勝，但當甲贏5局乙贏3局時，中途因故停止，應如何分賭金？這一問題引起了很多數學家的興趣. 后來數學家帕斯卡和費馬成功地解決了這一問題，賭金問題的研究是現代概率知識產生的固著點.

（2）知識生長的過程與階段.

概率定義的產生和發展經歷了漫長的過程：①早期概率的描述性定義為“概率是隨機事件發生的可能性大小的度量”，但這對確定隨機事件的概率沒有任何幫助.②后來人們發現早期的概率問題以古典概型為主，所以把隨機事件A發生的可能結果數k與試驗的可能結果總數n的比值作為事件A的概率定義，數學家把它稱為概率的一般定義，但發現許多隨機現象不符合古典概型的特征. ③隨著經驗的積累，人們逐漸認識到“隨著試驗次數的增加，事件出現的頻率總在一個定數p的附近擺動”，頻率顯示出了一定的穩定性.數學家伯努利對這一規律給予了嚴格的描述和數學證明，數學家米澤斯把定數p稱為概率的頻率定義. “頻率與概率”單元揭示的正是這一含義. ④數學家布豐在前人基礎上，進行了著名的“投針問題”試驗，提出了幾何概率. 但上述定義都有其局限性和不完善之處. ⑤直到1933年，數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率的公理化定義，才使概率成為嚴謹的數學分支. 所以概率定義的產生和發展是“頻率與概率”單元知識的生長點.

（3）知識建構的策略與方法.

“頻率與概率”知識建構的策略：首先由特殊到一般的歸納方式，即采用硬幣試驗這一特例來說明隨機現象中存在的“頻率的穩定性”;其次注重結合實例和實踐，圍繞實際問題操作確認，掌握數據分析的一般步驟和方法，滲透數據分析思想;另外要考慮數形結合，即通過頻率折線圖等來觀察頻率的變化規律，感悟隨機性背后蘊含的穩定性.

（4）知識間的聯系與結構.

統計與概率既有聯系又有區別.統計的研究對象是數據，核心是數據分析;概率為統計的發展提供理論，統計為概率的發展提供數據支持. 例如，通過古典概型推導硬幣“一正一反”的概率，從而可以觀察頻率和概率之間的關系，為歸納大數定律提供支持. 另一方面，通過統計可以解決古典概型解決不了的一些概率問題. 所以統計的發展離不開概率，概率的發展離不開統計.

（5）知識的要點與本質.

“頻率與概率”知識單元的要點與本質就是大數定律，它揭示了大量偶然事件發生背后隱藏著的必然性. 針對一些古典概型無法計算的概率問題，提供了用頻率穩定性來估計概率的方法;而數據是估計概率的基礎，所以通過數據分析揭示了知識的要點與本質.

（6）知識的學科意義與教學價值.

數學家把頻率估計概率的方法作為解決問題的重要工具，人口統計、養老金、保險等方面廣泛地應用了這一理論. ?通過頻率與概率之間的關系，人們發現即使在難以計算的事件中，概率仍能給予人們最可靠的判斷依據. 例如，幾何概型的研究就是建立在此基礎上. 后續研究概率與統計時引入函數等工具，促進了現代概率論的飛躍發展.

2. 學生認知分析

（1）學生認知基礎分析.

在初中階段，學生已經學習過概率和統計的一些知識，對隨機事件的概率等相關知識有了一定的認識. 在高中階段，學生進一步學習了統計和概率的一些知識，為本節課數據分析提供了認知基礎.

（2）學生認知障礙分析.

雖然通過硬幣這一實例，學生直觀感受到頻率與概率之間的關系，但很難回答為什么其他隨機事件也遵循這一規律. 另一方面，偽隨機數的生成原理也比較復雜，學生對偽隨機數的理解也是一個難點. 對于這些深層次問題在課堂上不宜過度強調，學生能夠有一些感性認識即可，以免影響他們對后續探究的理解和接受.

（3）學生認知風格分析.

多數學生喜歡動手實踐，但不習慣主動提出問題，而是習慣被動接受教師布置的學習任務. 所以教師需要設計好問題，帶著學生一起經歷數學分析的整個過程.

（4）學生認知差異分析.

由于認知存在基礎、潛能等多方面的差異，因此能力不同的學生應以不同的方式學習，即允許部分學生以接受式的方式學習，學到的知識停留于表面化.

3. 素養為本的教學目標

（1）通過具體實例了解古典概型在解決實際問題中的局限性，體會引入“頻率估計概率”的意義和作用，培養學生用數學的眼光看待生活問題.

（2）圍繞核心問題經歷搜集整理數據和運用統計工具分析數據的過程，理解頻率的穩定性，培養學生的數據分析素養.

（3）結合實例學習使用偽隨機數實現大量重復試驗，進一步理解頻率的穩定性，提升學生使用信息技術輔助數據分析的能力.

[?]以數據分析為主線的教學過程（2個課時）

1. 呈現背景，提出研究問題

呈現背景：在足球比賽開球拋硬幣時，裁判會指定硬幣兩面分別代表兩隊，然后拋擲硬幣，正面朝上的球隊可以選擇場地或選擇開球.

子問題①：請問裁判的做法是否公平？

子問題②：真的公平嗎？有沒有質地完全均勻的硬幣？

子問題③：一枚質地不均勻的硬幣，如何研究它正面向上的概率？

師生活動：師生通過問答，發現可以通過拋擲試驗觀察硬幣質地是否均勻. 同時發現現實生活中大多數隨機事件，人們往往不能掌握足夠的信息，所以僅僅研究等可能事件的古典概型是遠遠不夠的. 對無法通過古典概型公式計算的隨機事件的概率，需要尋找新的求概率的方法.

單元核心問題：對于一些無法通過古典概型計算概率的隨機事件，如何估計它的概率？

設計意圖：通過呈現背景提出問題，指出在硬幣質地均勻的前提下，拋硬幣是古典概型問題.但如果質地不均勻就無法直接通過古典概型公式計算事件的概率，體會尋找新的求概率方法的必要性.

2. 尋找方法，收集整理數據

引導語：如何估計未知的隨機事件的概率？我們回憶一下初中是如何說明硬幣正面向上的概率是的，這種用頻率來估計概率的方法可靠嗎？

師生活動：師生共同探討，提出再研究兩枚質地均勻硬幣的概率問題，觀察頻率與概率之間的關系. 設事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”，統計A出現的次數并計算頻率，再與理論推導的概率進行比較，觀察現象推測規律.首先，師生把硬幣“正面朝上”記為1，“反面朝上”記為0，得出試驗的樣本空間為Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}，事件A={（1，0），（0，1）}，根據古典概型可得P（A）=. 其次，讓學生兩人為一組，一人拋一人記，重復做20次試驗，記錄事件A發生的次數，計算頻率，將結果填入下表（表1）：

設計意圖：通過師生共同回憶初中的硬幣試驗，研究頻率與概率之間的關系，通過設計兩枚硬幣的試驗，為探索頻率的穩定性做好數據支持.

3. 立足圖表，分析數據內涵

引導語：將所得數據用Excel制作成頻率統計表和頻率折線圖，觀察事件A發生的頻率有什么變化規律，結合圖表（圖1和表2）進行分析.

子問題④：各小組的試驗結果一樣嗎？為什么會出現這種情況？

子問題⑤：將各小組的試驗結果數據先小組累加，再全班累加，為什么要這樣做？

子問題⑥：將各小組頻率和累加數據做成折線圖（圖1），觀察圖1，推測事件A發生的頻率和概率有什么變化規律.

師生活動：通過上述問題，師生共同分析隨機試驗的結果具有隨機性.通過頻率折線圖，師生可以發現，隨著試驗次數的增加，頻率的變化幅度越來越小，即頻率越來越穩定在0.5的附近.

子問題⑦：如果有足夠的試驗次數，就可以發現頻率穩定于某一個定值的附近，那這個定值的意義是什么？

子問題⑧：頻率與概率有哪些區別和聯系？

設計意圖：通過統計圖表匯總整理試驗結果，經歷數據的收集和整理過程;通過“問題串”的思考，經歷整個數據的分析過程，體會頻率與概率之間的關系.

4. 模擬試驗，高效獲取數據

引導語：通過試驗發現，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率f（A）會逐漸穩定于事件A發生的概率P.這個性質被稱為頻率的穩定性.不過手工試驗有什么優點又有什么缺陷？如果采用這樣的方法去估計其他隨機事件的概率，能保證估計出的概率的準確性嗎？

師生活動：師生共同分析，動手試驗真實但因為個人的操作手法等問題，存在著一定瑕疵;另外，試驗次數不夠多時，由于事件的隨機性可能會影響到概率的估計，所以要保證用頻率估計概率的辦法可靠，須做大量的重復試驗.

子問題⑨：信息化時代有沒有其他方法可以替代動手試驗呢？

子問題⑩：如何創建試驗結果和數字的對應關系，使得計算機能夠模擬拋硬幣？

師生活動：師生共同討論提出計算機模擬的思路. 規定硬幣“正面向上”為1，“反面向上”為0，接著在計算機中尋找隨機等可能返回0與1的函數. 師生共同在Excel軟件中輸入randbetween（0，1），模擬拋擲兩枚硬幣20000次（指出這個是偽隨機數，相對應的試驗獲得的是隨機數）;接著對模擬結果進行分析，計算不同次數下的頻數、頻率;通過統計結果繪制圖表（圖2和表3），分析試驗數據，判定計算機模擬出的頻率穩定值和古典概型推理結果基本吻合.

設計意圖：通過指出動手試驗的局限性，體會引入隨機數的必要性. 通過偽隨機數模擬試驗的使用，肯定信息技術為大量重復試驗提供了可行性. 借助模擬試驗生成的數據進行分析，體會計算機模擬可以高效呈現大量重復試驗的結果，為更準確地探究隨機現象背后的本質規律奠定了基礎.

5. 實踐提升數據分析能力

單元回顧：為什么設計拋擲兩枚硬幣的試驗？頻率的穩定性是通過怎樣的過程與方法發現的？

實踐問題：在生活中挖掘一個概率問題，設計試驗方案估計它發生的概率.例如，袋子中裝入數目確定但未知的白球和黑球，設計試驗方案推測袋子中黑球與白球的比例.

設計說明：單元回顧的目的在于引發師生進一步思考.通過開放性作業使學生再次經歷數據分析過程，鞏固所學知識提升學生的數據分析素養，同時促進學生學習方式的轉變.

[?]反思

作為經典的教學案例，筆者先后在全國優質課大賽及浙江省優質課大賽中，分別展示過相關的“隨機事件的概率”和“整數型隨機數”這兩節內容，也參與了全國繼續教育網的“如何開展統計與概率單元教學”講座. 通過上述實踐，筆者認為培養數據分析素養，最好的方式就是呈現問題，在問題的解決過程中培養學生收集、整理、分析數據的能力. 在培育學生數據分析素養的過程中，還應注意：

1. 呈現合適的背景問題，在問題的解決中培養學生數據分析素養

統計問題的完整解決包括從收集數據到獲得結論的一系列過程，學生在較為系統的數據處理過程中學習統計方法，才能理解方法的目的和本質.例如，從足球比賽選硬幣的問題入手，引導學生感受未知概率的問題是真實存在的. 教學自始至終結合實例圍繞這一問題的解決而展開，選擇合適的方法獲取數據，分析數據蘊含的信息，從而克服大數定律因抽象而帶來的理解困難.

選擇問題背后情境時，要注意體現概念、方法引入的必要性和對問題解決的適切性，還要符合這個階段學生的認知特點. 教學中應盡量采用學生熟悉的數據背景，使學生在問題解決中學習有關知識. 本單元可供選擇的背景還有：游戲中的隨機現象（骰子、撲克牌），生活中的隨機現象（彩票、出生月份）等，要注意避免人為虛構背景脫離實際的數據案例.

2. 突出基于試驗的數據分析，培養學生全面系統的分析處理能力

數據分析素養的提升，具體表現為學生通過課堂學習，提高了獲取有價值信息的能力以及分析意識和能力. 所以試驗不是目的，而是要培養學生全面系統的分析處理能力，即培養學生學會選擇適當的統計圖表來描述和表達數據，并從數據中提取需要的數字特征、估計總體的統計規律等. 例如，課堂教學中通過制作頻率折線圖，重點認識硬幣“一正一反”的頻率與古典概型推導出的概率之間的關系，進而理解隨機現象的隨機性和背后隱藏的穩定性. 只有在研究“頻率與概率”這個大目標下，我們才需要再次設計不同的硬幣試驗. 所以試驗不是目的，應突出基于試驗結果的數據分析，理解數據分析的思路，運用所學概念和方法解決問題才是核心.

3. 合理使用信息技術，培養學生使用偽隨機數輔助試驗的能力

運用計算器、計算機等信息技術工具，不僅可以實現快速、準確地列表、畫圖、計算等數據處理，而且能使大量人工難以完成的數據處理變成可能，學會使用信息技術是培養學生數據分析素養的重要組成部分. 合理使用信息技術，可以把學生從機械、煩瑣的數據處理中解放出來，把更多精力集中于數據分析.例如，在“頻率與概率”單元教學中，通過隨機數模擬硬幣試驗，使課堂上進行大量重復試驗變成了可能，大大提高了教學的效率和質量. 所以在教學中，應鼓勵學生盡可能運用隨機模擬的方法，培養學生使用信息技術輔助數據分析的能力.

4. 設計開放性作業，在解決問題的過程中培育數據分析素養

現行多數課外作業所用的策略和方法與課堂上的例題、習題相近，這種作業在很大程度上是鞏固型、模仿型的.本課中若僅進行硬幣試驗，學生對大數定律的感受不會深刻.建議課后布置類似的隨機試驗，例如袋子中裝入數目確定但未知的白球和黑球，要求學生設計試驗方案推測袋子中黑白球的比例.通過這樣的親身實踐，學生可以進一步掌握數據分析的操作過程.因為數據分析素養是在研究問題的過程中體現出來的一種意識和習慣，需要在具體問題的解決中反復鞏固并提升.