立足結(jié)構(gòu)識概念掌握模型會應(yīng)用

諸士金

現(xiàn)實生活中，許多問題中的數(shù)量關(guān)系可以抽象為方程或不等式。我們在學(xué)習(xí)一元二次方程之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程組以及分式方程、不等式等知識。類比前面知識的學(xué)習(xí)，我們可以認(rèn)識到，從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，求出它的解并解決實際問題是本章學(xué)習(xí)的主線。因此，在學(xué)習(xí)中，我們需要從方程的建立出發(fā)，識別方程的結(jié)構(gòu)特征，并能結(jié)合這樣的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行方程的同解變形來求解，再基于此形成解決實際問題的一般模型。在這個過程中，我們可以進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)三大思想，即抽象思想、推理思想和模型思想，也能進(jìn)一步培養(yǎng)我們的推理能力、運算能力和建模能力，發(fā)展我們的應(yīng)用意識。

一、關(guān)注一元二次方程的概念學(xué)習(xí)，學(xué)會搭建從數(shù)學(xué)外到數(shù)學(xué)內(nèi)的橋梁

在一元二次方程概念的學(xué)習(xí)中，我們要緊密聯(lián)系實際，借助豐富的實例來感受一元二次方程學(xué)習(xí)的必要性，展現(xiàn)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。與前面學(xué)習(xí)的方程類似，我們需要從實際生活中理解數(shù)量的意義，并借助數(shù)量的意義建立數(shù)量關(guān)系，借助符號和字母表示出這些數(shù)量關(guān)系，形成具有同一未知量的二次關(guān)系。

例1 如何用方程描述下面情境中數(shù)量之間的關(guān)系？

（1）正方形桌面的面積是2m2。設(shè)該正方形桌面的邊長是xm。

（2）如圖1，矩形花園一面靠墻，另外三面所圍柵欄的總長度是19m，花園的總面積是24m2。設(shè)花園靠墻部分的長度是xm。

（3）某校圖書館藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到9.8萬冊。設(shè)圖書館的藏書平均每年的增長百分率是x。

（4）如圖2，長5m的梯子斜靠在墻上，梯子底端與墻的距離比梯子頂端與地面的距離多1m。設(shè)梯子底端與墻的距離是xm。

同學(xué)們可以通過這一組問題，理解這些問題中數(shù)量之間的意義，并建立方程：

（1）x2=2，

（2）x（[19-x2]）=24，

（3）5（1+x）2=9.8，

（4）x2+（x-1）2=25。

在建立的方程中，我們能感受到這些方程的結(jié)構(gòu)共性——“二次”，進(jìn)一步認(rèn)識到這些“二次”的共性特征可以反映到ax2+bx+c=0（a≠0）這一結(jié)構(gòu)上。這就是一元二次方程的一般形式，也搭建了實際問題中數(shù)量之間二次關(guān)系的橋梁。

這部分知識的學(xué)習(xí)，一方面需要同學(xué)們打牢整式概念的基礎(chǔ)，要能夠?qū)Σ煌Y(jié)構(gòu)的整式進(jìn)行化簡整理，準(zhǔn)確分析出其本質(zhì);另一方面，從數(shù)學(xué)外到數(shù)學(xué)內(nèi)的橋梁，不是從一元二次方程才開始的，更不會到此就結(jié)束，我們構(gòu)建函數(shù)模型也需要這樣從數(shù)學(xué)外看到數(shù)學(xué)內(nèi)的眼光。

二、關(guān)注一元二次方程的解法學(xué)習(xí)，學(xué)會關(guān)聯(lián)從數(shù)學(xué)內(nèi)到數(shù)學(xué)內(nèi)的算理

在學(xué)習(xí)一元二次方程的解法前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法，知道可以利用運算律、等式的基本性質(zhì)，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等變形得到方程的解;對于三元一次方程組、二元一次方程組，我們可以通過消元等將三元一次方程組、二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這里的算理就是“轉(zhuǎn)化”思想。知識內(nèi)部之間的關(guān)系讓我們能夠轉(zhuǎn)新為故，也讓我們能夠采用從特殊到一般、從具體到抽象的方法來研究新的方程如何解決。

對于一元二次方程的解法學(xué)習(xí)，我們可以從x2=a、（x+m）2=n的結(jié)構(gòu)來分析如何轉(zhuǎn)化。在注意到“降次”是我們轉(zhuǎn)化的目的之后，可歸納得到直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法四種方法，以及掌握這些方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過適度的練習(xí)加深理解，尋求方程解法的優(yōu)化。

例2 （1）如何解一元二次方程呢？請你寫出幾個一元二次方程，并嘗試解一解。

（2）如何探索方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的解法呢？寫出你的想法。

這里我們以例2的兩個問題作為參考來探索一元二次方程解法的一般路徑，明確解決問題的方法，積累解方程的活動經(jīng)驗。同學(xué)們可以類比前面方程解法的學(xué)習(xí)，從特殊形式入手進(jìn)行思考，比如：如何解方程ax2+c=0（a≠0）呢？可以舉具體的例子，如：x2-1=0，2x2-1=0，x2+1=0。通過這些例子歸納出將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的主要方法，即因式分解法和直接開平方法。利用這兩種方法可以將ax2+c=0（a≠0）降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程;在解決這組問題時還會發(fā)現(xiàn)方程無實數(shù)解的情形，進(jìn)而討論得到當(dāng)[-ca]≥0時方程有兩個實數(shù)解的一般結(jié)論。例2雖然能讓我們感受到用直接開平方法和因式分解法來進(jìn)行降次，但為了更好地幫助我們理解因式分解法可以降次得到一元一次方程，我們不妨再看下面的例3。

例3 （1）如何解方程ax2+bx=0（a≠0）？

（2）如何解方程x2-2x=0？

（3）如何解方程2x2+x=0？

我們借助類似例2這樣的例子，發(fā)現(xiàn)在解方程的過程中，一些方程獨特的結(jié)構(gòu)特征可以利用因式分解進(jìn)行降次。當(dāng)然這里需要對結(jié)構(gòu)變形，形成（x+a）（x+b）=0的形式。

在解法的探究學(xué)習(xí)中，立足方程的結(jié)構(gòu)，關(guān)注方程根的情況與系數(shù)關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系的研究看似是我們解方程中的一個“節(jié)外生枝”，其實是探尋解法中的必然研究。同時，也是為我們今后繼續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)做好準(zhǔn)備。

三、關(guān)注一元二次方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)，學(xué)會建構(gòu)從數(shù)學(xué)內(nèi)到數(shù)學(xué)外的模型

用一元二次方程解決實際問題的學(xué)習(xí)是用方程解決實際問題的重點，也是難點。與用一元一次方程解決實際問題、用二元一次方程組解決實際問題等類似，我們要學(xué)會在掌握基本數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上對復(fù)雜情境進(jìn)行分析，梳理出其中的“二次”關(guān)系，得到對應(yīng)的方程模型。在這一過程中，我們可以借助表格、線段示意圖等工具找出問題中的已知量、未知量，分析其中數(shù)量之間的聯(lián)系，體現(xiàn)“算兩次”的思想，找到關(guān)鍵詞并由此確定等量關(guān)系。我們要形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)直觀分析題意的能力，對于實際問題要形成檢驗、解釋合理性的意識，理解所得方程及其根的實際意義等。

總之，一元二次方程是初中重要的數(shù)學(xué)模型之一，有豐富的實際背景。在學(xué)習(xí)中，我們要通過豐富的情境來培養(yǎng)建立一元二次方程模型解決實際問題的能力;要體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，發(fā)展應(yīng)用意識;要重視與之相關(guān)的知識聯(lián)系，建立合理的邏輯關(guān)聯(lián)，突出解方程的基本策略，在學(xué)習(xí)概念、解法和應(yīng)用的過程中發(fā)展發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心）