一元二次方程錯(cuò)解例析

聶雨薇

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是中考必考內(nèi)容之一。但不少同學(xué)常因?yàn)楦拍畈磺濉⒔夥ú划?dāng)?shù)仍颍诮鉀Q一元二次方程相關(guān)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。現(xiàn)從一元二次方程的概念、解法、根與系數(shù)的關(guān)系、應(yīng)用等方面進(jìn)行錯(cuò)解例析，希望同學(xué)們能從中吸取經(jīng)驗(yàn)，避免犯同樣的錯(cuò)誤。

一、概念不清

例1 若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2

-2mx+（m+2）=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是。

【錯(cuò)解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0有實(shí)數(shù)根，所以（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，解得m≤2。

【錯(cuò)因】本題雖然考查的是根的判別式，但不少同學(xué)錯(cuò)在忽略了一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這一條件，屬于概念不清。

【正解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0有實(shí)數(shù)根，所以（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，得m≤2。又因?yàn)閙-1≠0，即m≠1，所以m≤2且m≠1。

【評(píng)析】同學(xué)們都知道利用根的判別式求解此題，但經(jīng)常會(huì)忽視隱藏條件。題目中交代了該方程是一元二次方程，而一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中a≠0，這是解題的關(guān)鍵。當(dāng)然，若將題目中的“一元二次方程”改為“方程”，就需要分類討論了，同學(xué)們可以想想答案是什么。

二、解法不當(dāng)

例2 解方程：（1）（x+1）2=9;（2）x2+x=2;（3）（x-2）2=3（x-2）。

【錯(cuò)解】（1）x+1=3，x=2;

（2）運(yùn)用公式法，將a=1，b=1，c=2代入求根公式，方程無(wú)解;

（3）方程兩邊同除以x-2，得x-2=3，x=5。

【錯(cuò)因】（1）未掌握平方根的定義，導(dǎo)致用直接開平方法求解方程時(shí)漏根。

（2）用公式法求解方程時(shí)未將方程化為一般式，導(dǎo)致a、b、c提取錯(cuò)誤，進(jìn)而影響結(jié)果。

（3）等式的基本性質(zhì)：等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0），所得結(jié)果仍是等式。錯(cuò)解未正確使用等式的基本性質(zhì)，未考慮到x-2=0的情況，導(dǎo)致漏掉了x=2這個(gè)根。

【正解】（1）x+1=±3，x+1=3或x+1=-3，解得x1=2，x2=-4。

（2）化為一般式后再運(yùn)用公式法，將a=1，b=1，c=-2代入求根公式，解得x1=1，x2=-2。

（3）（x-2）2-3（x-2）=0，（x-2）（x-2-3）=0，x-2=0或x-2-3=0，解得x1=2，x2=5。

【評(píng)析】用直接開平方法解一元二次方程時(shí)，一要注意將方程右邊化為非負(fù)常數(shù)再開平方，二要謹(jǐn)防漏根，部分同學(xué)還會(huì)犯以下錯(cuò)誤：x+1=±3，x=±2;用公式法解一元二次方程時(shí)，除了要準(zhǔn)確記憶公式，還要記得先將方程化為一般式，準(zhǔn)確提取a、b、c的值;應(yīng)用等式的基本性質(zhì)解方程，切不可在方程兩邊同除以含未知數(shù)的代數(shù)式。此外，對(duì)于一個(gè)一元二次方程，同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)要合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ渲幸蚴椒纸夥ê?jiǎn)便易用，是解一元二次方程常用的方法，因而在解方程（3）時(shí)，我們無(wú)需展開再求解。

三、根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)用失誤

例3 關(guān)于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，且x12+x22=6，則k的值是。

【錯(cuò)解】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2=k+1，x1x2=k+2，則x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k+1）2-2（k+2）=6，解得k=±3。

【錯(cuò)因】一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系存在的前提是方程有根。因此，在解出k的值后，要判斷是否符合題意。

【正解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，

所以x1+x2=k+1，x1x2=k+2。

因?yàn)閤12+x22=6，

所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k+1）2-2（k+2）=6。

解這個(gè)方程，得k=±3。

當(dāng)k=3時(shí)，b2-4ac=16-20=-4<0，不符合題意;

當(dāng)k=-3時(shí)，b2-4ac=4+4=8>0，符合題意。

所以k=-3。

【評(píng)析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，涉及根的判別式、完全平方公式等。運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，我們切記必須保證方程有實(shí)數(shù)根。我們可以通過(guò)根的判別式求出k的具體范圍，也可以直接代入驗(yàn)證，相對(duì)來(lái)說(shuō)后者計(jì)算量較小。

四、實(shí)際問(wèn)題忘記檢驗(yàn)

例4 某商店經(jīng)銷一批季節(jié)性家電，每臺(tái)成本40元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，定價(jià)為52元時(shí)，可銷售180臺(tái)，定價(jià)每增加1元，銷售量將減少10臺(tái)。商店銷售該家電獲利2210元，同時(shí)讓顧客更實(shí)惠，那么每臺(tái)家電定價(jià)應(yīng)為多少？

【錯(cuò)解】設(shè)每臺(tái)家電定價(jià)為x元。

根據(jù)題意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2210。整理，得x2-110x+3021=0。解這個(gè)方程，得x1=53，x2=57。

答：每臺(tái)家電定價(jià)為53元或57元。

【錯(cuò)因】解出兩個(gè)根后，未根據(jù)題目中“同時(shí)讓顧客更實(shí)惠”這一要求對(duì)根進(jìn)行取舍。

【正解】設(shè)每臺(tái)家電定價(jià)為x元。

根據(jù)題意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2210。整理，得x2-110x+3021=0。解這個(gè)方程，得x1=53，x2=57。

為讓顧客更實(shí)惠，每臺(tái)家電定價(jià)57元不合題意，舍去。

答：每臺(tái)家電定價(jià)為53元。

【評(píng)析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，要求同學(xué)們能夠理解題意并根據(jù)“總盈利=單件利潤(rùn)×數(shù)量”的等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要記得檢驗(yàn)，除了檢驗(yàn)根是否滿足方程本身，更要檢驗(yàn)最終方案是否符合實(shí)際意義。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校）