章節架構為要 核心知識為脈

朱明明

[摘? 要] 基于研學課堂的章節單元復習課通過圍繞挑戰性學習主題，系統整合單元知識內容與思想方法，并對章節知識的拓展運用引發學生深度思考. 關注學生在單元復習研學中的“再發現”和“再創造”能力的培養，幫助學生實現從“學會”到“會學”的根本性轉變，以提升學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 章節復習;知識架構;深度學習;研學課堂

隨著新課標對學生數學核心素養培育要求的進一步提升，作為知識系統架構和學生思維能力培養的章節單元復習課教學越來越受教師的重視. 章節單元復習課不能停留在學生熟化解題套路、強化解題規范和技巧的過程，而應成為教師引導學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，通過系統整合單元知識內容與思想方法，并對章節知識的拓展運用引發學生深度思考的學習過程. 在此過程中，教師應更關注學生在單元復習中的“再發現”和“再創造”能力的培養，幫助學生實現從“學會”到“會學”的根本性轉變. 筆者執教新蘇教版（2019年）數學必修1第四章“指數與對數”單元復習課時采用了整體立意的主題單元教學思路，以“問題鏈”的方式引導學生整體把握章節核心內容與思想方法，極大地促進了學生深度學習.

[?]設計思路

編寫“指數與對數”這一章內容，教材編者從初中學過的整數指數冪出發，逐步滲入分數指數冪與根式、指數冪的運算、對數概念及相關運算，意在讓學生熟練掌握指數、對數及其相關概念與運算的基礎上，厘清它們之間的內在聯系，提升學生數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養. 因此，筆者將指數與對數的互化確立為教學核心，加強學生對數意義的理解，使他們體會對數對運算的簡化作用;理解指數與對數的內在聯系，學會揭示問題的本質;滲透“整體思想”“化歸與轉化思想”. 將本章知識體系架構確立為本節課的重點，指數與對數的互化確立為本節課的難點.

[?]教學過程預設

導語：我國著名數學家華羅庚說過這樣一句話，“讀書的真功夫在于既能把薄的書讀成厚的，又能把厚的書讀成薄的”（投影展示）. 這要求我們既能把主干知識豐富起來，又能從中抓住核心內容.

設計意圖：通過華羅庚的名言讓學生體會數學知識的學習是一個“薄—厚—薄”的過程，明確本節課的主要任務.

1. 聚焦核心

問題1：前面我們已經完成了“指數與對數”這一章的學習. 你認為本章的核心內容是什么？

設計意圖：指出本章的核心內容——指對互化（投影圖1），也就是對數定義的本質. 明確“ab=N”與“logaN=b”本質的一致性，為接下來研究確立中心與脈絡.

問題2：在本章的學習中，你最大的困惑是什么？

設計意圖：大多數學生的困惑是學習對數的意義何在，這個問題為接下來通過指對互化實現運算簡化做鋪墊.

2. 學以致用

問題3：我們為什么要學習對數？它的價值何在？

（投影“對數可以縮短計算時間，在時效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍. ”——拉普拉斯語）

設計意圖：通過拉普拉斯的名言指出對數對運算的簡化作用，讓學生體會學習對數的必要性;同時滲透數學文化，體現數學的文化價值，激發學生研究的欲望.

下面通過實例說明對數的簡化作用.

例1 圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080. 下列各數中與最接近的是（參考數據：lg3≈0.48）（? ）

A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093

設計意圖：通過具體例子培養學生的閱讀能力，通過“巧取對數，妙解指數”問題讓學生感受指數與對數的互化以及對數對運算的簡化作用.

問題4：通過例1，你怎樣理解“對數可以縮短計算時間”？

設計意圖：師生一起總結例1中通過取對數，把除法轉化成減法，乘方轉化成乘法，實現運算的“降級”，從而達到簡化運算的目的.

例1主要是通過指數與對數的互化，利用對數的運算性質解決的. 接下來，引導學生對比回顧對數與指數的相關運算性質（讓學生寫出相關運算性質并投影展示）.

設計意圖：回顧對數運算性質的由來，類比對數與指數相關運算性質的外在形式，準確記憶公式的形式、特征，從轉化的角度體會它們內部的聯系. 從運算性質的角度體會對數對運算的“降級”作用.

例2 已知下表中的對數值有且只有一個是錯誤的，錯誤的對數值是（? ）

A. lg3 B. lg6 C. lg8 D. lg9

設計意圖：助力學生掌握對數的運算性質，提高學生數據分析、邏輯推理的能力.

引導學生再思考：若a=log23，b=log35，則log3045=______（用a，b表示）.

設計意圖：例2是利用對數的運算性質解決的，過程中讓學生再次體會對數的運算性質給同底對數的運算帶來的方便. 變式將條件和結論改為不同底對數，讓學生體會換底公式的作用——化異為同.

3. “倒敘”回顧

問題5：我們再次回到本章的核心——指對互化. 由于互化的過程中保證了兩個式子的一致性，從而各字母的取值范圍不變. 以“b”為例，它的取值范圍為R，請大家回顧，在指數冪進行拓展前，冪指數的取值范圍是什么？

設計意圖：始終緊緊圍繞“指對互化”這一核心內容，采取“倒敘”的形式，讓學生對所學知識通過“回頭看”而產生新的認識.

告知學生指數冪的拓展歷程，也為后續研究函數奠定基礎.

問題6：在冪指數從整數集拓展到有理數集的過程中，加入了分數指數冪，它是如何定義的？

設計意圖：回顧指數冪的拓展歷程，讓學生了解指數冪拓展的必要性.

分數指數冪定義的本質也就是本章另一個重要的互化——根式與分數指數冪的互化.

投影：一般地，若xn=a（n>1，n∈N*），則x叫做a的n次方根.

讓學生思考：（）n=？（a是使有意義的數）

設計意圖：復習分數指數冪的定義，強化分數指數冪與根式的互化. 此恒等式在新授課時歸納得到. 此處在回憶基本知識點的基礎上，從整體代換的角度重新審視根式其中的一個性質——（）n=a，給學生提供認識該性質的另一新視角.

問題7：我們再回顧已經學習過的兩個對數恒等式，你有什么新的發現？

設計意圖：教學生學會類比，滲透整體思想.

在等價轉化ab=N① logaN=b②（a>0，a≠1，N>0，b∈R）中，將N=ab代入②式，得到logaab=b;同理，將b=logaN代入①式，得到alogaN=N. 我們發現，得到對數恒等式的方法與得到根式性質的方法如出一轍. 所以，挖掘知識的內在聯系，不僅要從結果上展開研究，更要從方法上展開研究.

設計意圖：通過現有的知識儲備，挖掘研究方法的內在聯系，架構知識體系.

例3 已知2x=3，log=y，求x+2y的值.

思路1（指化對）：因為2x=3，所以x=log23，所以x+2y=log23+2log=log23+log=log28=3.

思路2（對化指）：因為log=y，所以4y=，即22y=，所以2x+2y=2x·22y=3×=8，所以x+2y=log28=3.

設計意圖：本題屬于“指對共存型”問題，可以將條件統一轉化成指數或者統一轉化成對數來解決，考查指對互化，旨在化解難點，并讓學生體會化歸思想和指對內在聯系的應用.

引導學生探究：已知a>0，b>0，loga=logb=log（a+b），試求的值.

設計意圖：進一步強化指對互化，將對數式轉化成指數式，利用指數的運算性質解題.

5. 課堂小結

引導學生完善知識網絡，形成思維導圖.

設計意圖：培養學生的語言表達能力，讓學生對本節課有整體的認識，思維得到升華.

[?]教學設計反思

作為章節的單元復習課，重在構建知識體系，將新學知識納入學生已有的知識體系中，同時在此過程中掌握思想方法，提升學生的數學核心素養.

在具體設計時，本節課以需要化解的難點——指對互化為主要內容載體，以“倒敘”的形式展開復習. 從學生的困惑疑點出發，通過例1讓學生體會對數對運算的簡化作用和學習對數的必要性，滲透數學文化，同時鞏固對數運算性質的運用. 通過例2讓學生嘗試分析數據，通過變式訓練（將條件和結論改為不同底對數問題）讓學生體會換底公式的作用——化異為同. 然后就是回歸核心點（知識架構），從冪指數b的范圍開始回顧指數冪的拓展歷程，了解其拓展的必要性，在冪指數取值范圍從整數集向有理數集拓展的過程中加入分數指數冪，這樣自然過渡到分數指數冪與根式的互化，章節的知識體系輪廓也就水到渠成了. 例3及變式訓練讓學生充分體會“轉化與化歸”數學思想. 同時，為充分調動學生參與度，激發學生深度思考，問題設計采用的是開放與半開放形式，引導學生積極探索思考，讓學生在潛移默化中掌握數學思想方法，提升數學核心素養.