感知新舊兩版教材變化優化三角函數教學

羅夢瑋 雷丹

[摘? 要] 通過對新舊兩版教材（高中數學人教A版）中的“正弦函數、余弦函數的圖像”這節知識內容的對比分析研究，感受新舊兩版教材的變化，結合新舊兩版教材的特點，提出了相關教學建議，以期進一步優化教學，提升學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 新舊兩版教材;三角函數;單位圓

以核心素養為導向的《普通高中數學課程標準（2017年版）》于2018年1月正式頒布，而以該課程標準為依據的各新版教材于2019年秋季也陸續出版和投入使用[1]. 此次修訂后的新版教材的結構體系發生了重大改變，新版教材打破了舊版教材的模塊化結構和螺旋式上升的安排，保證了數學學科的結構體系和知識的系統性，使內容的邏輯順序更加合理[2]. 其結構特色主要體現為整體性、過程性、聯系性、選擇性、融合性和實踐性[3]. 本文以新版教材必修第一冊第五章第四節第一小節“正弦函數、余弦函數的圖像”的內容為例，試對人教A版高中數學新舊兩版教材作對比分析，并給出相關的教學建議.

[?]新版教材中的“5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖像”的內容變化

1. 注重知識的整體建構，凸顯知識間的聯系

與舊版教材明顯不同的一點在于，新版教材研究思路非常清晰，每一章均以研究一個數學對象的基本思路為主線進行知識建構. 在新版教材必修第一冊第五章中，研究對象是“三角函數”，“三角函數”又屬于“函數”的范疇，因此整章對三角函數的研究基本遵循了函數的研究思路，即背景—概念—圖像與性質—應用. 具體就本節內容而言，研究圖像伊始，新版教材的節引言中就明確提出了這樣一個問題：“前面給出了三角函數的定義，如何從定義出發研究這個函數呢？”該問題的提出使得學生將目光不得不轉向已有的研究方法，即先畫出函數圖像，通過觀察圖像的特征，獲得關于函數性質的一些結論. 由此對三角函數圖像的研究顯得順理成章，同時在學生的腦海中再一次對函數的研究思路、方法進行了建構. 研究本節的關鍵是從三角函數的定義出發，以單位圓模型為研究手段，這樣既能在幾何直觀下研究三角函數的性質，也能通過三角函數的性質進一步把握三角函數圖像的特征. 最后利用信息技術更快捷、更準確地作出三角函數的圖像，這種動態關聯的變化過程，更有利于學生對三角函數的圖像與性質進行理解與掌握.

2. 注重研究方法的滲透，簡化課堂的教學過程

新舊兩版教材均將本節內容的重點放在了正弦函數圖像的探究過程上，并且兩版教材均借助了單位圓來描繪正弦函數的圖像，但是兩版教材對探究過程的設計卻有一定程度的不同. 不同之處在于：

其一，舊版教材先進行了“簡諧運動”的實驗，學生通過實驗可以得到對正弦函數圖像的直觀印象，再利用正弦線畫出比較精確的正弦函數圖像;新版教材刪除了“簡諧運動”實驗的情境引入. “簡諧運動”實驗看似學科融合，實際上高一第一學期學生在物理學科中并沒有學習到“簡諧運動”，因此學生對它并不熟悉. 舊版教材用“簡諧運動”實驗主要是為了體現正弦函數的數學直觀，但從本章知識結構來分析，單位圓模型是三角函數定義到三角函數圖像的重要紐帶，將單位圓上的點與三角函數圖像上的點建立了一個動態的對應關系——點與角一一對應的關系. 因此新版教材直接利用了正弦函數的定義，即從函數解析式的角度出發進行研究，對于在[0，2π]上的任意一個點x，確定正弦函數值sinx，并畫出點（x，sinx）;新版教材把研究的重心放在了圖像上的點，圖像上任意一點的作法，蘊含了函數整體的構建原理，簡潔明了，凸顯了單位圓模型在研究三角函數圖像上的價值.

其二，舊版教材中的單位圓圓心是在平面直角坐標系的x軸上的任意一點，而新版教材中的單位圓是直接以平面直角坐標系中的原點為圓心的. 由此可以明顯看出新版教材在這一部分的設計更加簡潔，學生更容易接受，且新版教材從三角函數解析式的角度，即從代數的角度來研究三角函數的圖像，是數形結合思想的重要體現，也為學生再一次提供了研究函數圖像的一般思路.

3. 尊重學生的認知規律，體現學生的主體性

在本節中，新舊兩版教材就“五點（畫圖）法”和“余弦函數的圖像”的研究順序進行了調整. 在舊版教材中，得到余弦函數的圖像后才提出了“五點（畫圖）法”;而新版教材恰恰相反. 這一調整的原因主要有以下兩點：一是得到正弦函數的圖像后，及時思考并捕捉確定正弦函數圖像的五個關鍵點，從而得到正弦函數簡圖的“五點（畫圖）法”是非常及時也是順理成章的，符合學生的數學思維邏輯;二是正弦函數圖像及“五點（畫圖）法”的系統學習，可以為余弦函數圖像的研究構建一條清晰明了的研究思路，這一點既尊重了學生的認知規律，也符合前面提到的知識的整體建構，努力按照數學知識發生、發展的過程有序進行.

4. 加強學生的思維引導，提升學生的問題意識

通過對比新舊兩版教材不難發現，新版教材提出的“思考”比舊版教材更多，且均以問題的形式呈現. 這說明新版教材更加注重新課標強調的“四能”，特別是發現問題和提出問題的能力. 學生在閱讀教材的過程中能真實感受到這些問題提出的視角，漸漸地學會如何去發現問題和從什么角度提出問題及解決問題的能力. 除此之外，新版教材對于問題的表達引導性更強、指向性更明確. 比如，在正弦函數圖像變換為余弦函數圖像的引導語中，舊版教材的思考提示語是“你能根據誘導公式，以正弦函數的圖像為基礎，通過適當的圖形變換得到余弦函數的圖像嗎？”而新版教材提出的問題是“你認為應該利用正弦函數和余弦函數的哪些關系，通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數的圖像變換為余弦函數的圖像？”兩者提示思考的角度幾乎相同，但顯然后者提出的問題更加明確，更能引發學生思考，也凸顯了知識的聯系性. 新版教材第208頁設置了選學內容“探究與發現：利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”，這既是對利用函數圖像研究函數性質的方法的補充，也是為后續利用單位圓模型推導三角函數做鋪墊，突出單位圓模型在研究三角函數中的地位，提升學生對核心知識的利用，重視教學方式從教到學的變化.

5. 注重信息技術的使用，增強學生的直觀感知

新版教材與舊版教材還有一大區別在于，新版教材更加注重信息技術的使用. 例如在本節描繪正弦函數圖像中，新舊兩版教材都找到了正弦函數在x∈[0，2π]這個區間內的13個點，隨后舊版教材采用了傳統的方式將這些點用光滑的曲線連接起來;而新版教材則利用信息技術，使得x在區間[0，2π]上取到了足夠多的值、畫出了足夠多的點，再將這些點用光滑的曲線連接起來. 新版教材在這個地方使用信息技術的好處在于，可以得到更為精確的函數圖像，也大大增強了學生的直觀感知，體現了課堂教學的時代元素和數學的可視化，大大提高了數學課堂效率.

[?]教學建議

1. 貫穿單元整體設計教學思路，以研究思路引領教學

本章的研究對象為“三角函數”，屬于高中數學教學三大主線之一的“函數”范疇，可遵循函數的研究思路. 就本節正弦函數、余弦函數圖像的研究而言，遵循函數圖像研究的一般思路，以函數定義作為研究起點，從而開啟本節知識的研究學習之旅.

2. 充分發揮單位圓模型的載體作用，提升學生的直觀想象素養

直觀想象是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的素養，建立形與數的聯系是其包括的主要方面[4]. 從三角函數的定義方法可以看出，單位圓模型是研究三角函數的重要手段，在整個三角函數的學習中發揮著極其重要的作用. 在前面學習三角函數概念、誘導公式時，學生已經對單位圓模型有了一定的了解. 在本節知識的學習中，教師要再一次引導學生構建單位圓模型，學會借助單位圓這一研究工具來建立單位圓上的點與三角函數圖像上的點之間的一一對應的關系，從而突破本節知識的一個教學難點. 另外，通過對單位圓模型的再一次構建，可加強單位圓與三角函數之間的聯系，再次突出單位圓作為刻畫呈“周而復始”變化規律的三角函數載體的重要作用，提升學生的直觀想象素養.

3. 滲透數學思想方法，加強數學思維引導

在引導學生畫余弦函數圖像的教學過程中，教師可以引導學生將未知問題向已知問題轉化，即從描點法、“五點（畫圖）法”以及圖形變換法入手，從中判斷并選擇最為簡單合適的方法. 在這里顯然是利用正弦函數與余弦函數的關系，通過圖形變換（平移）最為合適. 未知問題向已知問題的轉化，陌生問題向熟悉問題的轉化，滲透著數學學習中重要的思想方法——轉化與化歸. 為了給學生提供更大的探索空間，新版教材通過“思考”和“探究”，引導學生探索正弦函數與余弦函數的關系，即cosx=sin

x+

. 通過圖像變換得到余弦曲線后，根據曲線特征得到畫正弦曲線、余弦曲線簡圖的“五點（畫圖）法”，體現出了從特殊到一般、從一般到特殊的思想，也能感受到從局部到整體、從整體到局部的思維變化. 如若教師能站在這樣的高度來引導學生學習，必將對學生數學思維的發展大有助益.

4. 加強問題驅動式教學，把握提問時機

以問題驅動的方式進行教學可大大促進學生的思考，但值得注意的是，一個好的問題需要具備以下四個條件：指向性明確、思維性突出、層次性明顯、開放性顯著. 同時，教師要把握好提問的時機，在適當的時候提出好的問題引發學生思考. 比如，在得到y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像后，可以引導學生思考：“如何利用正弦函數‘周而復始的變化規律畫出y=sinx（x∈R）的圖像？”又比如，得到正弦曲線后，可以引導學生思考：“如何才能更快地畫出正弦曲線？確定正弦函數圖像的形狀時，應抓住哪些關鍵點？”

5. 尊重知識的連貫性，順應知識發生、發展的過程進行教學

連貫性是數學知識呈現的一個重要特征. 因此，教師應尊重、理解知識的這一特征，并合理地運用這一特征來促進教學. 例如在本節知識教學中，教師可以先和學生共同探究得到正弦函數的圖像，再引導學生從圖像中觀察哪些點是“關鍵點”，從而得到“五點（畫圖）法”，而不是進行余弦函數圖像的學習后再繞過頭來講“五點（畫圖）法”.

6. 注重信息技術的使用，加深學生的直觀感知與理解

在教學中，適當適時地添加信息化的元素可以大大提升教學效率. 在本節正弦曲線的作圖過程中，對單位圓進行12等分得到了13個點后，可利用幾何畫板等信息化技術輔助教學，通過取得足夠多的值而畫出足夠多的點，畫出更為精確的函數圖像. 借助動態演示，直觀形象地將圖像展示在學生面前，可以引導學生更好地發現圖像特點，觀察圖像的變化過程. 但值得注意的是，切勿以信息技術直接代替學生思考，切勿直接忽略畫圖過程的講解.

7. 滲透核心素養及立德樹人的教育理念

每一堂課都有其獨特的教育價值及涵蓋的學科素養，教師要學會深挖知識背后的教育價值，并在課堂中一步一步去落實. 例如在本節課的教學中，教師可以利用正弦曲線、余弦曲線的“波峰波谷”對學生進行人生觀、價值觀的教育，告訴學生人生就像正弦曲線、余弦曲線一樣，當我們處于波峰時不要驕傲自滿，當我們處于波谷時不要妄自菲薄. 當然，僅通過一節課就實現對學生某方面核心素養的培養或者某種觀念的形成是不太現實的，這是一個需要長期積累、不斷努力的過程.

8. 加強數學與生活及其他學科的聯系，提升學生發現美、鑒賞美的能力

簡諧運動、聲波、天體運動、單擺流沙實驗等都與正弦曲線、余弦曲線密切相關，這些知識都可以作為本節課的拓展內容，引導學生感受數學與生活及其他學科的聯系，感受數學的實用價值及獨特魅力. 另外，正弦曲線、余弦曲線作為波形曲線的代表，凸顯了波形曲線的流暢美和對稱美，在本節知識的教學過程中，教師可以帶領學生感受數學的美學價值，真正體會三角函數周期變化的規律，提升發現美、鑒賞美的能力.

參考文獻：

[1]? 斯理炯. 發揮數學的內在力量實現教“數”育人——以新人教A版教材“指數函數”的教學為例[J].數學通報，2019，58（09）：26-28+42.

[2]? 邵光華，張妍. 人教A版高中數學新版教材特色分析及使用建議[J].課程·教材·教法，2019，39（12）：109-114.

[3]? 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續3）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數學教學參考，2019（25）：5-11.

[4]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M].? 北京：人民教育出版社，2018.