多解視角下的三角函數與導數微專題復習
2022-05-30 10:48:04陳俊斌
數學教學通訊·高中版 2022年7期
陳俊斌
[摘? 要] 函數與導數作為高中數學的核心知識，是歷年高考考查力度最大的主線之一，是考查數學思想方法和能力、考查核心素養的主要載體.近年來，以三角函數為背景考查導數的試題悄然興起，文章以2021年八省適應性考試第22題為例闡述如何在高三數學二輪復習中進行三角函數與導數的微專題復習，以期拋磚引玉.
[關鍵詞] 函數與導數;三角函數;微專題
函數與導數作為高中數學的核心知識，是歷年高考考查力度最大的主線之一，是考查數學思想方法和能力、考查核心素養的主要載體.近幾年，以三角函數為背景考查導數的試題悄然興起，如2008年全國Ⅱ卷理科第22題，2018年全國Ⅰ卷理科第16題，2019年全國Ⅰ卷理科第20題（文科第20題），2020年全國Ⅱ卷理科第21題，等等. 此類題目難度較大、結構靈活多變，它們雖然以三角函數為背景，但主要考查的仍是函數的單調性、恒成立問題、零點個數、極值點等內容.微專題是指教師針對具體知識點，精選例習題，為學生解決復習中遇到的新問題;在高三數學復習階段，采用微專題復習方式，可達到精準高效的目的. 本文以2021年八省適應性考試第22題為例闡述如何在高三數學二輪復習中進行三角函數與導數的微專題復習，以期拋磚引玉.
典型題例 （2021年八省適應性考試第22題）已知函數f（x）=ex-sinx-cosx， g（x）=ex+sinx+cosx.
（1）證明：當x>-時，f（x）≥0;
（2）若g（x）≥2+ax，求a.
[?]思路探析：第（1）問
不等式恒成立問題是高考的熱點問題和難點問題，主要涉及兩大類：一類是在實數集R上的恒成立問題，另一類是在實數集R的子區間上的恒成立問題.其中已知不等式恒成立求參數的范圍問題是一大難點，常常涉及函數、方程、不等式等知識，考查函數思想、數形結合思想、分類整合思想，求解過程中對學生思維的靈活性、創造性要求很高.常見的有構造函數法和分離參數法.
思路1：對函數f（x）=ex-sinx-cosx進行變形，得f（x）=ex-sin
x+;分別作出函數y=ex，函數y=sin
x+的圖像，則f（x）≥0?y≥y. 由函數圖像結合三角函數的有界性，可對自變量x分為
，（0，ln]及（ln，+∞）四個區間進行討論. 該思路體現了化歸與轉化、特殊與一般的數學思想.
思路2：對自變量x的前兩個區間的劃分同思路1一樣，但結合三角函數的單調性可得自變量x的后個區間分別為
思路3：利用常見不等式x>0，sinx 思路4：利用“指數找朋友”對不等式f（x）≥0進行等價轉換，構造函數F（x）=，通過研究該函數的最值問題得不等式f（x）≥0恒成立. 【詳解示范】 解法1：f（x）=ex-sinx-cosx=ex-sin x+. ①當x∈ -，- 時，x+∈（-π，0]，sin x+≤0，ex>e>0，所以f（x）>0. ②當x∈ -，0 時，x+∈ 0， ，f′（x）=ex-cosx+sinx=ex+sin x-，f″（x）=ex+sinx+cosx=ex+·sin x+>0，所以f′（x）單調遞增. 又f′（0）=0，所以當x∈ -，0 時，f′（x）≤f′（0）=0，即f（x）在x∈ -，0 上單調遞減，故f（x）≥f（0）=0成立. ③當x∈（0，ln]時，對ln進行放縮，即當0 x-單調遞增，故f′（x）>f′（0）=0，即f（x）在（0，ln]上，單調遞增，所以f（x）>f（0）=0成立. ④當x>ln時，ex> ，·sin x+≤，所以f（x）=ex-·sin x+>0成立. 綜上可得，當x>-時，f（x）≥0. 解法2：區間①、②同解法1一樣，結合三角函數的單調性可得區間③、④分別為 0， ， ，+∞. 區間①、②同解法1. ③當x∈ 0， 時，f″（x）=ex+·sin x+>0，所以f′（x）=ex+·sin x-單調遞增. 故f′（x）>f′（0）=0，所以f（x）在 0， 上單調遞增，所以f（x）>f（0）=0成立. ④當x∈ ，+∞時，ex>e>e>，sin x+≤，所以f（x）=ex-sin x+>0成立. 解法3：對區間③、④進行整合，即當x>0時，f（x）=ex-sinx-cosx>ex-x-1>0，故當x>-時，f（x）≥0. 解法4：f（x）≥0?ex≥sinx+cosx?≤1，設函數F（x）=，則F′（x）=，所以當x∈ -，-π 時，F′（x）<0，F（x）單調遞減;當x∈（-π，0）時，F′（x）>0，F（x）單調遞增;當x∈（0，π）時，F′（x）<0，F（x）單調遞減. 所以當x∈ -，π 時，F（x）=max F - ，F（0） =1;當x>π時，≤<1也成立. 綜上可得，當x>-時，f（x）≥0. 【解后反思】 不含參的不等式恒成立問題常見的方法有兩種：一是直接法，即通過導數直接研究所給函數的最值，把不等式恒成立問題轉化為最值問題;二是構造函數法，即將原不等式等價轉換成容易研究的函數.在轉換的過程中常利用如移項作差、參變分離、等價轉化（從特殊到一般）、局部構造（由部分看整體）等策略，有時還需利用經典不等式進行適當放縮等. 總之，要靈活運用等價變形等各種技巧，才能使解題更精彩. [?]思路探析：第（2）問 含參不等式的恒成立問題是數學中的常見問題，也是近年高考的一個熱點和難點.大多是在所給不等式中，已知一個變量的范圍（或不限制條件），求另一個變量的取值問題.常見的方法有分離參數、分類討論、先必要后充分、半分離參數、構造函數等.解題時要根據題目的條件進行綜合分析，才能選擇適當的方法快速準確地解題. 思路1：先必要后充分法. 構造函數h（x）=g（x）-2-ax，通過觀察得h（0）=0，h（x）≥0?h（x）≥h（0），得x=0為極小值點，從而得不等式h（x）≥h（0）成立的必要條件為a=2. 再證a=2時，h（x）≥0恒成立.采用先必要后充分法對含三角函數的導數問題仍然適應，有利于思路的探尋，從而簡化運算，快速解題. 該思路體現了觀察歸納、化歸轉化等思想. 思路2：分離參數法. 在給出的不等式中，通過恒等變形分離出參數，即若a≥f（x）恒成立，只需求出f（x），則a≥f（x）;若a≤f（x）恒成立，只需求出f（x），則a≤f（x）. 把問題轉化為求函數的最值問題. 本題中，通過分離參數法可構造函數h（x）=，結合極限思想得x>0時，a≤2;x<0時，a≥2. 故a=2. 該思路體現了化歸轉化、有限無限等思想. 思路3：構造函數法是解決不等式恒成立問題的常用方法，即對所給不等式進行移項（或部分移項）構造新函數，再研究所構造函數的一階導數、二階導數得到其最值.在研究最值的過程中，常要根據變量的取值范圍進行分類討論.該思路體現了化歸轉化、分類整合等思想. 【詳解示范】 解法1（先必要后充分法）：令h（x）=g（x）-2-ax=ex+sinx+cosx-2-ax，則h（0）=0，h（x）≥0?h（x）≥h（0），故x=0為極小值點. 從而h′（0）=2-a=0，所以a=2. 下證a=2時，h（x）≥0成立. 要證明a=2時，h（x）≥0，只需證明當x>0時，h′（x）>0;當x<0時，h′（x）<0即可. 令G（x）=，則G′（x）=≤0，注意到G（0）=1. 所以G（x）在R上單調遞減. 故當x>0時，G（x） 解法2（分離參數法）：g（x）≥2+ax，即ax≤ex+sinx+cosx-2. 顯然，當x=0時不等式成立;當x>0時，a≤，令x→0，則a≤=（ex+cosx-sinx） =2;當x<0時，a≥，令x→0，可得a≥=（ex+cosx-sinx） =2. 故a=2. 解法3（構造函數法）：令h（x）=g（x）-2-ax，則h（x）=ex+sinx+cosx-2-ax. 所以h（0）=0，h′（0）=2-a. h′（x）=ex+cosx-sinx-a，h″（x）=ex-sinx-cosx=f（x），由（1）知，x>-時，f（x）≥0，所以h′（x）在 -，+∞ 上單調遞增. 令h′（0）=0，則a=2. ①當a=2時，x∈ -，0 ，h′（x） ②當a>2時，h′（0）=2-a<0，h′[ln（a+2）]=a+2-sinln（a+2） --a=2-sinln（a+2） ->0，且h′（x）在 -，+∞ 上單調遞增，所以存在唯一x∈（0，ln（a+2）），使得h′（x）=0;而當x∈（0，x）時，h′（x）<0，h（x）單調遞減，故h（x） ③當a<2時，h′（0）=2-a>0，h′ - =e-a<1-a，當1 - <0.又h′（x）在 -，+∞ 上單調遞增，所以存在唯一x∈ -，0 ，使得h′（x）=0.而當x∈（x，0）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增，故h（x） 綜上所述，當a=2時，g（x）≥2+ax. [?]技能提升 已知函數f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]， （1）討論f（x）的單調性; （2）f（x）≤1+sinx對x∈[0，π]恒成立，求a. 解析：（1）f′（x）=a-sinx，因為x∈[0，π]，sinx∈[0，1]，故當a≤0時，f′（x）≤0對任意x∈[0，π]恒成立，f（x）在區間[0，π]上單調遞減;當a≥1時，f′（x）≥0對任意x∈[0，π]恒成立，f（x）在區間[0，π]上單調遞增;當0 （2）解法1：構造函數法. 令g（x）=ax+cosx-1-sinx，則原問題?g（x）≤0，g′（x）=a-sin x+ ∈[a-，a+1]. 對a分四種情況進行討論： ①a≤-1，g′（x）≤0，g（x）=g（0）=0顯然成立. ②-1 ，π 使得g′（x）=0. 當x∈（0，x）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減;當x∈（x，π）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增. 所以g（x）=max{g（π），g（0）}，又g（0）=0，所以g（π）=aπ-2≤0，即a≤. 所以-1 ③1 ④a≥，g′（x）≥0，g（x）單調遞增，g（x）=g（π）=aπ-2≥π-2>0，矛盾. 綜上所述，a≤. 點評：本解法利用三角函數的有界性找到分類討論的依據. 解法2：全分離參數后使用洛必達法則求解（導數的形式化定義）. ①當x=0時，f（0）=1≤1+0，顯然成立. ②當x≠0時，f（x）≤1+sinx，即a≤. 令g（x）=，則g′（x）=. 令h（x）=（x+1）cosx+（x-1）sinx-1，則h′（x）=x（cosx-sinx）=xcos x+ . 當x∈ 0， 時，h′（x）>0，h（x）單調遞增;當x∈ ，π 時，h′（x）<0，h（x）單調遞減. 因為h >0，h（π）=-π-2<0，所以存在x∈ ，π ，使得h（x）=0. 又h（0）=0，所以當x∈（0，x）時，h（x）>0，即g′（x）>0;當x∈（x，π）時，h（x）<0，即g′（x）<0. 所以g（x）在（0，x）上單調遞增，在（x，π）上單調遞減. 因為g（x）===1，g（π）=<1，所以g（x）=. 故a≤. 解法3：必要探路，充分性證明. 因為f（x）≤1+sinx對x∈[0，π]恒成立，故f（π）=aπ-1≤1+0，即a≤. 下證a≤時，f（x）≤1+sinx對x∈[0，π]恒成立，只需證明x+cosx≤1+sinx對x∈[0，π]恒成立即可. 令g（x）=x+cosx-1-sinx，則g′（x）=-sinx-cosx. 因為0<<，所以存在x∈ ， 使得g′（x）=0. 當x∈（0，x）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減;當x∈（x，π）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增. 又g（0）=g（π）=0，故g（x）=0. 所以g（x）≤0對任意x∈[0，π]恒成立. 證畢！ 解法4：變換函數，半分離. 當x=0時，f（0）=1≤1+0顯然成立. 當x≠0時，f（x）≤1+sinx，即ax-1≤sinx-cosx=sin x- . 如圖1可知，y=ax-1是過定點A（0，-1）且斜率為a的直線，故當且僅當該直線過點B（π，1）及其下方時，ax-1≤sinx-cosx在x∈[0，π]恒成立，故a≤k=. [?]選題說明 函數與導數包括函數概念與基本初等函數、導數及應用兩部分，是高考考查的重點和難點，一般有3～4題. 其中解答題主要考查導數的幾何意義、函數的零點問題，且常與不等式知識相融合，對思維要求很高，一般在第22（或21）題的位置，屬于難題. 通常是以指數函數、對數函數、分式函數為載體考查函數極值、最值及零點等綜合問題，結合導數與不等式含參問題.近年來，則呈現出了以三角函數為背景考查導數的綜合應用的新特點. 融入三角函數的導數問題較早出現在2008年全國Ⅱ卷理科第22題，近三年則分別出現在2018年全國Ⅰ卷理科第16題、2019年全國Ⅰ卷理科第20（文科第20題）、2020年全國Ⅱ卷理科第21題. 這些試題雖然都以三角函數為背景，實則考查的仍是函數的單調性、恒成立、零點個數、極值點等問題. 如果考生直接從三角函數固有的性質及三角公式、三角變換等方面入手，則往往難以解決，這時就需要借助導數作為工具來研究它們. 借助導數研究有關三角函數的問題，往往更能充分考查學生的數學思想方法、運算求解能力以及綜合應變能力，彰顯學生思維的靈活性、多樣性及獨創性，因此備受命題者青睞. 本微專題復習中的例題源于教育部考試中心命制的2021年八省適應性考試的第22題，面向物理實驗班的優秀生，基于高考遵循的“一核四層四翼”命題指導思想，注意從特殊與一般思想入手，期望以一題多解開拓學生思維，將“試題問題化、問題模型化、解模規范化、解題技能化”和精準高效復習為指導取向，期望實現“一例題一練習多方法”，為基礎扎實的優秀生在高考中破解導數與三角相結合的壓軸題提供方向與路徑，亦為教師二輪復習提供借鑒，應引起重視. 數學教學是一場思維旅行，目的雖然重要，但更重要的是教會學生欣賞沿途風景——教會學生欣賞數學，欣賞數學中的美. 數學家克萊因曾說過：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，但數學卻能提供以上的一切，并給人快樂.”在本微專題復習中，以2021年八省適應性考試的第22題為切入口，在第（1）問的證明中呈現了4種解題思路，闡釋了思維的歷程（經歷“如何討論”“優化、簡化討論”等過程），可以讓不同發展水平的學生都有所獲得;在第（2）問（求參數問題）中，呈現了4種常見、有效的解題方法，對于處理導數與三角函數交匯的試題，富有可操行性和實效性. 采用這種微專題復習方法能緊扣高考熱點和難點問題，契合“試題問題化、問題模型化、解模規范化、解題技能化”，從而達到精準高效復習的目的.
