基于解題自然的數學現象教學

曹彬

[摘? 要] 學生真正會解一道題的標準是解題自然，所以解題自然是解題教學的最終目標. 若學生在解題時出現思維“卡頓”就是解題不自然的體現，此時教師要打開學生的心理桎梏，將已知條件和所求結論建立聯系，以明顯的數學現象引出解題思路，才能讓學生達到解題自然的目標.

[關鍵詞] 解題自然;數學現象;現象教學

面對思維層次較高的高考壓軸題，只有極少部分學生有勇氣繼續思考，而大部分學生解題思路屢屢“卡頓”，這種不自然的解題過程導致其放棄的念頭越來越強烈. 有的教師為了盡快完成教學任務，采用拖著學生走的方式公布解答過程，但學生常常會為過程中的某一步糾結半天，而且一直貫穿始終的最大糾結是：“這一步是怎么想到的？”

用數學眼光觀察到的表象就是數學現象，基于數學現象的教學稱為數學現象教學[1]. 在解題中學生的思路出現“卡頓”就是因為現象不明顯，如何讓學生解題自然？可以讓現象更為明顯，學生通過明顯的現象更有效地找到解題思路，達到解題自然的目標.

[?]分析解題過程

真題再現：（2018年全國高考數學Ⅲ卷理科第21題第（2）問）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x，若x=0是f（x）的極大值點，求a.

題目分析：這個函數解析式中含有未知數，而且一次求導后分母上也有未知數，唯一可以保證的是分母是正數，求導后可以只研究分子的正負. 題目的已知條件有“x=0是f（x）的極大值點”，可以通過極值點的定義以及求導尋找解題突破口.

題目解答：函數f（x）的定義域為（-1，+∞）.

糾結1：x=0是f（x）的極大值點能得到什么結論？

現象1：因為x=0是f（x）的極大值點，所以f′（0）=0，且存在x<0和x>0，使得在區間[x，0）上f′（x）>0，在區間[0，x]上f′（x）<0（如圖1所示）.

f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+-2=，令g（x）=（1+x+2ax+2ax2）ln（1+x）+ax2-x，在區間[x，0）上g（x）>0，在區間（0，x]上g（x）<0.

糾結2：函數g（x）的解析式似乎比f（x）的解析式更復雜，思路是對還是錯？g（x）具有什么性質？

現象2：注意到g（0）=0，由于g（x）>0，g（x）<0，存在xx>0使得g（x）在區間[x，x]上是單調減函數（如圖2所示）.

g′（x）=（1+2a+4ax）ln（1+x）++2ax-1=（1+2a+4ax）ln（1+x）+4ax，令h（x）=（1+2a+4ax）ln（1+x）+4ax.

糾結3：按函數單調性的定義可知，h（x）<0，因為不能把未知數a分離，所以解不出a，接下來該怎么辦？

現象3：由g（x）的圖像可得g′（x）<0，即h（x）<0，又h（0）=0，故x<0時，h（x）為增函數，x>0時，h（x）為減函數，故存在xx>0，使得h（x）在區間[x，0）上是單調增函數，在區間[0，x]上是單調減函數（如圖3所示），所以x=0是h（x）的極大值點. h′（x）=4aln（1+x）++4a，所以h′（0）=0，解得a=-.

解題反思：這是運用數形結合思想解題的典例，以函數圖像作為數學現象推動解題思路的發掘，充分暴露解題過程中的思維活動，逐一解答學生心中的疑惑，這就是自然的解題過程. 當然，如果對函數圖像的描述不準確，現象不明顯，學生還是會對解題過程疑慮重重.

[?]探索解題自然

當“怎么想到的”成為縈繞在學生頭腦中的魔咒時，一定不是一件好事. 這是學生對自身知識結構的懷疑，也是對自身能力體系的拷問，如果在解題教學中這個問題得不到妥善解決，那么將會對學生的自信心產生毀滅性打擊. 筆者認為，解題教學的出發點是澄清思路和解題自然，而解題自然有兩方面的解釋，一是本次解題思路是自然的，二是下次遇到類似的題目時會自然想到解題思路. 那么，在數學解題現象教學中，如何呈現現象，使解題過程更自然？

1. 打破心理桎梏，“破題”更自然

大多數教師講解一套模擬試卷的順序是：先講選擇題、填空題或解答題前面的題，再集中力量解決這幾種題型的最后一題. 如果學生的數學總體水平不高，從“先易后難”的角度進行思考，這種講題順序無可厚非. 事實上，學生的數學總體水平高不高，大多是教師的主觀意識確定的，與實際情況經常不吻合. 比如教學中教師認為學生解不出來的題目學生恰好解出來了，而教師認為在學生“狙擊”范圍內的題目學生反而做不出來，這種情況比比皆是. 沿著這個思路，大多數教師認為試卷里的最后一題就是難題，這就是教師的主觀意識確定的，這在解題教學中是大忌，多次這樣的訓練會給學生造成最后一題一定是難題的心理桎梏，加上講解最后一題時大多數學生已經疲憊，可以想象得到講解最后一題的效果有多么尷尬.

倒推回去，大多是從小學和初中就形成的心理陰影，雖然高中教師無權評價小學或初中的好與壞，但不能讓學生的這種心理陰影面積拓寬，那么該如何破解學生心中的難題？答案是打亂講題順序，先從學生先入為主貼上標簽的難題開始講解. 當教師把學生認為的難題破解了，學生會覺得“這個難題也不過如此”，一旦學生破解了心中的難題，這個“現象”給其心理產生的積極作用是巨大的. 這種積極作用在復習備考的沖刺階段尤為重要，所以建議在復習備考階段中先復習函數和解析幾何兩個板塊. 當然，每個學生認為的難題不盡相同，有的認為函數題難，有的認為解析幾何題難，還有的認為立體幾何題難，教師實在沒必要給學生大量的心理壓力.

2. 聯系“已知”和“所求”，理解更自然

從古到今斷案的大致過程都是先審被告，審了被告再審原告，最后將原告與被告的證詞相互比較，反復多次并以此判斷誰的供述更接近真相. 解題也可以仿照這種思路，先“審所求”，充分挖掘所求結論背后隱藏的東西;再“審已知”，挖掘已知條件背后隱藏的東西;最后建立兩者的關系. 這個思維過程要完全展現給學生，而具體的解題過程要留給學生完成.

真題再現：（2021年全國高考數學甲卷理科第12題）設函數f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[1，2]時，f（x）=ax2+b. 若f（0）+f（3）=6，求f的值.

首先“審所求”：要求f

的值，只有知道函數f（x）的解析式或者性質. 接著“審已知”：由f（x+1）為奇函數可得函數f（x）的圖像關于點（-1，0）對稱，加上f（x）的定義域為R可得f（-1）=0;由f（x+2）為偶函數可得函數f（x）的圖像關于直線x=-2對稱. 兩個條件合起來可得f（x）的圖像關于直線x=0、直線x=2和點（1，0）對稱，周期是4. 當x∈[1，2]時，f（x）的解析式中含有兩個未知數，需要兩個方程才能解出來，正好f（-1）=f（1）=0和f（0）+f（3）=-f（2）+f（1）=6. 于是將“已知”和“所求”聯系了起來，將f

3. 動畫展示過程，探究更自然

對于一些所求結論不夠明確的題，“審所求”得不到明顯的結果，只能從“審已知”開始，但學生容易出現疑問：“應該往哪個方向思考？”此時可以利用信息技術將滿足條件的圖像畫出來，明確要探究的結論是什么，下次遇見類似的題目時自然就有相應的解答思路.

真題再現：（2021年全國高考數學甲卷理科第20題改編）點A，A，A是拋物線C：y2=x上的三點，直線AA，AA均與☉M：（x-2）2+y2=1相切. 判斷直線AA與☉M的位置關系，并說明理由.

此題讓學生產生的困惑是：“直線AA與☉M會有哪些位置關系？是一直保持著一種關系，還是點A在不同的位置時會有不同的關系？”此時可以借助于幾何畫板解決此困惑. 作拋物線C：y2=x和☉M：（x-2）2+y2=1的圖像，在拋物線上任取一點A，以AM為直徑作圓，所作的圓與☉M相交于點B，C，此時直線AB，AC總是與☉M相切. 直線AB，AC分別與拋物線C相交于點A，A，連接直線AA，發現直線AA與☉M相切，拖動點A，直線AA總是與☉M相切，說明直線AA與☉M相切. 如圖4所示.

學生真正會解一道題的標準是解題自然，所以解題自然是解題教學的最終目標. 在解題教學中，教師要充分準備，采用合適的方式引入解題思路，讓學生達到解題自然的目標，這是解題現象教學的基本要求.

參考文獻：

[1]? 孫四周. 現象教學的內涵與價值[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2018（03）：5-9.