初中數(shù)學解題中分類討論思想的應用

摘要：分類討論思想是初中數(shù)學解題中的重要思想方法，是中考的熱門考點.為使學生掌握分類討論思想在解題中的應用思路與技巧，在討論中做到不重不漏，提高解題正確率，應注重結合不同題型為學生講解分類討論思想的具體應用過程，使其積累豐富的應用經(jīng)驗.

關鍵詞：初中數(shù)學;解題;分類討論思想;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）20-0008-03

應用分類討論思想解答初中數(shù)學習題的難點在于如何找到分類討論的分界點.不同的題型尋找討論分界點的方法存在較大差別，因此教學中應做好相關習題題型的歸納以及分類討論思想在解題中的具體應用，給學生帶來良好的解題啟發(fā).

1 用于求解絕對值中的參數(shù)

例1有理數(shù)x，y滿足|x|+|y|=13，|x+y|=1，求x的值.

解析∵|x|+|y|=13，|x+y|=1，|x+y|≠|(zhì)x|+|y|，可知x、y必定異號.接下來需要進行分類討論：

（1）當x>0，y<0時，則x-y=13，y=x-13，∴|2x-13|=1，則2x-13=±1，解得x=6或x=7;

（2）當x<0，y>0時，則-x+y=13，y=x+13，∴|2x+13|=1，則2x+13=±1，解得x=-6或x=-7;

反思解答絕對值問題時為更好的找到分類討論的分界點，應認真審題，結合所學，充分挖掘隱含條件.如題目中判斷出x、y異號是分類討論的關鍵.

2 用于求解函數(shù)中的參數(shù)

2.1 遇有坐標軸名稱不明確時需討論

例2已知正比例函數(shù)y=k1x與一次函數(shù)y=k2x+b圖象經(jīng)點P（-2，1），其中一次函數(shù)y=k2x+b圖象與y軸交點坐標為A（0，3），求直線y=k1x與直線y=k2x+b與坐標軸圍成三角形的面積.

解析∵直線y=k1x經(jīng)點P（-2，1），∴正比例函數(shù)解析式為y=12x.

∵直線y=k2x+b經(jīng)點P（-2，1）與A（0，3），∴一次函數(shù)解析式為y=x+3.

（1）兩條直線與y軸圍成△AOP，如圖1所示，過點P作PM⊥OA，垂足為M，∴S△AOP=12OA·PM=3.

（2）兩條直線與x軸圍成△BOP，如圖1所示，過點P作PN⊥x軸，垂足為N，設直線y=x+3且與x軸相交于點B，∴S△BOP=12OB·PN=32.

由此可知，兩條直線與坐標軸圍成三角形面積為32或3.

反思從已知條件可直接求出一次函數(shù)與正比例函數(shù)解析式，然而在求兩條直線與坐標軸圍成三角形面積時并未直接指出是x軸或y軸圍成的三角形，所以可采取分類討論思想.

2.2 遇有點位置不明確時需討論

例3在平面直角坐標系中，已知點A（-3，0），B（2，6），x軸上有一點C滿足S△ABC=12，求點C坐標.

解析∵S△ABC=12，∴AC=4.

（1）當點C在點A右側，點C坐標為（1，0）;

（2）當點C在點A左側，點C坐標為（-7，0）.由此可知，點C坐標為（1，0）或（-7，0）.

反思由于無法確定x軸上點C位置，故而需要采取分類討論.

2.3 遇有k、b符號不確定時需討論

例4一次函數(shù)y=kx+b圖象與x軸、y軸分別交于A與B兩點，S△AOB=4，且OA：OB=1：2，求該一次函數(shù)解析式.

解析∵S△AOB=4，∴12OA·OB=4.

∴OA·OB=8.

∵OA∶OB=1∶2

∴設OA=x，OB=2x（x>0），則x·2x=8，即x=2（-2舍去）.

∴OA=2，OB=4.

（1）當k>0，b>0時，一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)第一/二/三象限，此時A（-2，0），B（0，4），一次函數(shù)解析式為y=2x+4.同理可得：

（2）當k>0，b<0時，一次函數(shù)解析式為y=2x-4.

（3）當k<0，b>0時，一次函數(shù)解析式為y=-2x+4

（4）當k<0，b<0，一次函數(shù)解析式為y=-2x-4.

由此可知，一次函數(shù)解析式為y=2x±4或y=-2x±4

反思因無法確定k與b符號且二者的值存在較多可能，故而需要分類討論.

2.4 遇有增減性不明確時需討論

例5已知一次函數(shù)y=kx+b自變量x取值范圍為-2≤x≤6，對應函數(shù)值y的取值范圍為-11≤y≤9，求一次函數(shù)解析式.

解析（1）若函數(shù)y=kx+b為增函數(shù)，那么一次函數(shù)y=kx+b圖象兩端點坐標為（-2，-11）與（6，9），一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6.

（2）若函數(shù)y=kx+b為減函數(shù)，函數(shù)y=kx+b圖象兩個端點坐標為（-2，9）與（6，-11），一次函數(shù)解析式為y=-2.5x+4.

由此可知，一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6或y=2.5x+4.

反思由于未明確一次函數(shù)y=kx+b中k值的符號，所以無法確定函數(shù)增減性與其對應兩個端點坐標，需采取分類討論.

3 用于求解圖形中的線段長度

例6一張直角三角形紙張ABC，∠C=90°，AB=10，AC=6，點D為BC邊上任意一點，沿著過點D的直線折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E上，若當△BDE為直角三角形時，CD的長為.

解析（1）∠BDE=90°時，對應的情境如圖2所示，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，由勾股定理得到：BC=102-62=8，根據(jù)題意可知四邊形CDEF為正方形.設CD=x，則BD=8-x，AF=6-x，易得△AEF∽△EDB，∴AF/ED=EF/DB，即6-xx=x8-x，解得x=247，此時CD=247.

（2）當∠DEB=90°時，對應的情境如圖3所示，連接AD，則可知△ACD≌AED，CD=DE，AC=AE=6，設CD=x，則BD=8-x，BE=10-6=4，則在直角△DEB中，由勾股定理得到：x2+42=（8-x）2，解得x=3.綜上可知CD的長為3或247.

反思遇到幾何中的折疊問題時應冷靜分析，保證考慮問題的全面性.必要時要畫出相關草圖輔助分析，求解出滿足題干情境的線段長度.

4 用于求解函數(shù)圖象中點的坐標

例7如圖4，已知拋物線y=x2-2x-3的頂點為E，且和x軸正半軸交于點C，在y軸上存在一點D，滿足DC=DE，若在直線DE上存在一點P，使得以C、D、P為頂點的三角形和△DOC相似，求出所有可能的點P的坐標.

解析根據(jù)已知條件容易求得C（3，0），E（1，-4），設點D（0，x），由DC=DE，可知32+x2=（-1）2+（x+4）2，解得x=-1，則點D的坐標為（0，-1），則CD=10.設過DE的直線為y=kx-1，將E點坐標代入得到k=-3，∴y=-3x-1.過點E作EF垂直于y軸，垂足為F，如圖5所示，容易證得△DFE≌△COD，∴∠FDE=∠OCD，∠CDO=∠DEF，∵∠OCD+∠ODC=90°，即∠FDE+∠ODC=90°，∴CD⊥DE.

（1）當OC和CD為對應邊時，由△PDC∽△DOC，OC/CD=OD/PD，容易求得PD=103，因點P在DE上，設點P（x0，-3x0-1），則x20+（-3x0）2=103，解得x0=±13，則對應點P的坐標為（13，-2）或（-13，0）.

（2）當OC和DP為對應邊時，由△CDP∽△DOC，OC/DP=OD/DC，容易求得PD=310，因點P在DE上，設點P（x0，-3x0-1），則x20+（-3x0）2=310，解得x0=±3，則對應點P的坐標為（3，-10）或（-3，8）.

綜上，滿足條件的點P的坐標有：（13，-2）、（-13，0）、（3，-10）、（-3，8）.

反思求解函數(shù)圖象中點的坐標問題難度一般較大，解題時應注重聯(lián)系所學的一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象、圖形的全等與相似等知識點，尤其當對應邊不明確時應注重分類討論.根據(jù)圖形的全等、相似性質(zhì)構建相關的等式關系，為求解點的坐標做鋪墊.

為使學生掌握應用分類討論思想解題的技巧，既要注重為學生講解相關的理論與例題，又要要求學生做好學習的總結，把握不同題型分類討論的注意事項以及相關細節(jié).同時，要求學生結合自身學習的薄弱點，及時進行針對性的訓練，不斷提高運用分類討論思想解題的熟練程度.

參考文獻：

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[2] 劉美.淺析分類思想在初中數(shù)學教學中的運用[J].科技視界，2021（06）：167-168.

[3] 高飛.分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用探究[J].中學課程輔導（教師通訊），2020（24）：101-102.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-04-15

作者簡介：陳曄華（1977.9-），男，江蘇省無錫人，本科，中學二級教師，從事初中數(shù)學教學研究.