知其然還須知其所以然

俞杏明 邢友寶

[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，除了看明白怎么解答，更應(yīng)該思考為什么這樣解答.發(fā)掘出一道題答案背后的思路原理，可以生成一類試題的解答和編制原理.

[關(guān)鍵詞] 雙層最值;賦值法;原理發(fā)掘;一般結(jié)論

雙層最值問題中經(jīng)常出現(xiàn)，答案看得懂但思路琢磨不透的情形.倘若僅僅滿足于看懂參考答案，而不去挖掘答案背后的思路歷程，把原題中某些數(shù)據(jù)略加改動，就可能再次“望題興嘆”.

[?]試題呈現(xiàn)

例1 （1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）函數(shù)F（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B在x∈0

，上的最大值M與參數(shù)A，B有關(guān)，問A，B取何值時(shí)，M為最小？證明你的結(jié)論.

參考答案：由已知，令M=F（x）max，則M≥F

[?]隱蹤編制

前面例題是基于兩個(gè)不同類型的函數(shù)編制的，答題入口不易隱藏. 筆者經(jīng)過考慮，基于兩個(gè)同型函數(shù)編制了下面這類試題.

即先找一個(gè)具有“等高的v形”結(jié)構(gòu)的函數(shù)u（x）=x3-3x（x∈[-1，3]），再找一個(gè)單調(diào)函數(shù)v（x）=x3+x+2x∈

-，2 ，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3-3x+（A-1）（x3+x+2）+B+2，最后重新組合f（x）表達(dá)式中的字母，隱藏構(gòu)造的路徑，從而得到下面的試題.

例3 已知f（x）=Ax3+（A-4）x+2A+Bx∈

-，2 ，A∈R，B∈R，當(dāng)A，B為何值時(shí)f（x）max取最小值，并求出f（x）max的最小值.

下面運(yùn)用賦值法給出參考答案.

解：令M=f（x）max，則M≥f（-1），

M≥f（1），

M≥f（2）， 即M≥B+4，

M≥4A+B-4，

M≥12A+B-8， 所以6M≥2×B+4+3×4A+B-4+12A+B-8≥

2×（B+4）-3×（4A+B-4）+12A+B-8

=12，所以M≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)B+4=-（4A+B-4）=12A+B-8，即A=1，B=-2時(shí)取“=”. 當(dāng)A=1，B=-2時(shí)f（x）=x3-3x，f（x）max=2 x∈

-，2 .

綜上，A=1，B=-2時(shí)f（x）max取最小值2.

若不清楚這類試題解答和編制的原理，形如例3的這類試題一般很難求解.