探究球內接幾何體的體積

任靖

[摘? 要] 文章從2022年新高考全國Ⅰ卷第8題的多種解法出發，回歸教材進行變式，探究球內接正四棱錐體積的范圍，并且進一步探究球內接正四棱柱與正四棱臺的體積的變化特征.

[關鍵詞] 內接幾何體;外接球;體積

[?]試題呈現與問題初探

2022年新高考全國Ⅰ卷第8題：

已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上. 若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

上述四種解法思路主要是設邊長為未知量或夾角為未知量，通過勾股定理及相應的公式表示出球內接正四面體的體積與側棱長的關系，再通過求導或均值不等式得到體積的范圍. 解題思路殊途同歸，可以觀察到這道高考題給我們的啟示，即當外接球的半徑確定時，可以用正四棱錐的側棱長表示正四棱錐的體積;反過來，當正四棱錐的側棱長和體積確定時，可以表示其外接球的半徑么？

[?]回歸教材與問題再探

人教A版必修第二冊第169頁的第4題如下：

如圖2所示，一塊邊長為10 cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分.將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，把容器的容積V（單位：cm3）表示為x（單位：cm）的函數.

通過教材中的這道題可知，在已知正四棱錐側面的底邊和高的情況下，可以在側面的等腰三角形中通過勾股定理算出側棱長，此時正四棱錐的體積就能表示出來了. 聯系2022年的這道高考題，我們可否將外接球的半徑表示出來呢？于是將題目改編如下，并進行解答：

變式1：如圖2所示，一塊邊長為10 cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分.裁下陰影部分后，用剩下的四個全等的等腰三角形組成一個正四棱錐，若正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面邊長為x（單位：cm），且2≤x≤8，則該球的表面積的范圍為________.

解：如圖3可知，組成的正四棱錐滿足BC=AB=AD=DC=x，取BC的中點M，則PM=5，過P作PQ⊥平面ABCD且交于點Q，則Q為正方形ABCD的中心，球心O在直線PQ上，設球的半徑為R.

通過這道根據教材改編的題目可知，當正四棱錐的側棱長確定時，可以表示出其外接球的半徑，給定側棱長的范圍后也可以求出其外接球半徑的范圍. 那其他幾何體是否也有類似的情況呢？接下來探究正四棱柱與正四棱臺兩種情況.

[?]觸類旁通與相關探究

與球內接正四棱錐相比，由于球內接正四棱柱的對稱性，體積表示起來會更加簡單.

變式2：已知正四棱柱的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球體的半徑為3，且2≤l≤4，則該四棱錐體積的取值范圍是_______.

解：如圖4所示，球心O在正四棱柱上下底面中心的連線PQ的中點上，則PQ=l，OQ=OP=，AO=R=3，則AQ==.

令f（x）=-+18l，則f′（x）=-l2+18，l∈[2，4]. 由導函數的圖像可知，當l=2時（V）=24，當l=2時（V）=32. 所以該正四棱柱體積的取值范圍為[32，24].

由于正四棱臺有上底邊長、下底邊長和側棱長等多個量，在已知球體半徑的前提下，接下來的探究中，以知道正四棱臺的高的情況進行討論.

變式3：已知正四棱臺的高為4，所有的頂點都在同一球面上，若該球的半徑為3，則該正四棱臺體積的取值范圍是__________.

解：由圖5可知，正四棱臺ABCD-ABCD外接球的球心O在上底面與下底面的中心連線OO上，且OO=4，外接球的半徑R=OB=OB=3.

我們知道，棱柱、棱臺、棱錐這三個幾何體在高與下底面的面積都相等的情況下，三者的體積從左往右是遞減的. 而當正四棱臺的高與其外接球的半徑是一個定值時，可以想象這個正四棱臺在球體內進行著上下移動，其上底面與下底面的面積在變化，那么這個正四棱臺的體積又是如何變化的呢？通過變式，即當正四棱臺的上底面和下底面的面積都在變化時，可以得到一個結論：當正四棱臺運動（指上底面和下底面的面積在變化）到接近正四棱錐時體積最小，當正四棱臺運動到接近正四棱柱時體積最大. 證明如下：

如圖5所示，設正四棱臺ABCD-ABCD的高為h，其外接球的半徑為R，正四棱臺外接球的球心為O，上底面的中心為O，下底面的中心為O，球心O在上底面與下底面的中心連線OO上.

>0，即當正四棱臺的上底面的中心與球心的距離OO越接近時，t越接近最大值，體積也越大;當OO越遠離時，t越接近最小值，體積也越小. 即當正四棱臺的高與外接球半徑為定值時，正四棱臺運動到接近正四棱柱時體積越大，運動到接近正四棱錐時體積越小.

[?]結束語

球內接幾何體的體積問題需要學生具備較好的空間想象能力與直觀想象素養，分析并找到圖形中的位置關系與數量關系是關鍵. 這不僅要求學生能夠通過數量關系去刻畫，更需要學生回歸教材，足夠了解課本中的基礎知識，如線面垂直關系、幾何體的結構特征、幾何體表面積和體積的計算、不等式或導函數的應用，只有足夠熟悉才能將知識點串聯起來，水到渠成并更加自然地解決問題.

外接球的問題遠遠不止這一種，對于一個問題的解決我們可以思考多種方法和思路，對于一個問題我們可以探究多種相似的問題，這樣才更容易理解問題的來龍去脈，更容易理解數學內容的本質，更容易培養出數學的思維習慣與眼光，這也是數學核心素養的體現.