圓錐曲線與同系數直線之緣

【摘要】筆者在用GeoGebra仿真直線與圓錐曲線相交問題時發現一個有趣的現象，當直線與圓錐曲線同系數時，相交弦中點始終在同一條直線上，然后用兩種方法證明了該現象的正確性. 受證明方法的啟發，借助極限思想發現圓錐曲線在其任一點切線方程的斜率與同系數直線的斜率存在著關系，并推導出兩個相關結論. 最后用本文的結論推導驗證了橢圓和雙曲線關于切線的兩個性質.

【關鍵詞】圓錐曲線;直線;切線斜率

當圓錐曲線中的圓、橢圓和雙曲線的中心均為原點時，它們的方程有共同的形式，為Ax²+By²=1.

（1）當A>0，B>0且A=B時，方程表示圓;

（2）當A>0，B>0且A≠B時，方程表示橢圓;

（3）當A·B<0時，方程表示雙曲線;

文中與圓錐曲線同系數的直線指的是變量前的系數相等，方程為：Ax+By+C=0.

1同系數圓錐曲線與直線相交之緣

筆者在教學中用GeoGebra仿真直線與圓錐曲線相交問題時發現一個有趣的現象. 當直線和圓錐曲線同系數時，無論系數如何變化，直線和圓錐曲線相交弦的中點始終在同一條直線上. 如圖1，圖中圓錐曲線方程設置為Ax²+By²=1，直線方程設置為Ax+By+C=0，其中A>0，B>0或A·B<0. 從圖中不難發現，當系數A、B取不同值時，圓錐曲線可為圓、橢圓和雙曲線，同系數直線方程和它們只要相交于兩點，兩點的中點始終在同一條直線上，由軟件得出該直線方程為x-y=0. 為了驗證這一仿真結果，證明如下.

2圓錐曲線上點的切線與同系數直線之緣

3圓錐曲線在其任一點切線方程的推廣

作者簡介張仙艷（1987—），女，河南駐馬店人，中小學一級教師;主要從事高中動態數學圖形、解題方法、數字圖像等研究;發表論文數篇.

參考文獻

[1] 彭耿鈴.圓錐曲線的切線方程及其推廣的結論[ J].中 學生數理化（高二數學），2021，（02）：26?27