2022年新高考Ⅰ卷第21題的解法與推廣

李小華　吳偉鴻　許如意

【摘要】本文探究一道2022年新高考Ⅰ卷解析幾何題目21題的解法，并將此類問題推廣為一般情況，得到相關的結論，對教師的解題教學有很好的借鑒作用.

【關鍵詞】解析幾何;齊次化;直線參數方程

解析幾何是利用代數方法研究幾何問題，高中數學的重要內容.高考中解析幾何試題綜合性強、應用面廣，對學生的推理論證能力、運算求解能力要求較高.? 由于解析幾何蘊含了函數與方程、數形結合、化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般等數學思想，所以解析幾何試題可以有效地考察學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學抽象和數學建模等數學核心素養[3]. 本文以2022年數學新高考Ι卷第21題解析幾何題的解法探究，談談在高三階段如何對解析幾何進行復習.

1試題再現

2解法探究

3結論推廣

4解析幾何復習備考策略

從近幾年全國各地的高考數學試卷來看，解析幾何考査知識內容覆蓋了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，突出考察學生的理性思維、數學應用和數學探索等學科素養，通過對近幾年各地高考試題分析，現給出如下備考建議：

（1）回歸教材，注重基礎，建構知識網絡. 高考試題中對解析幾何的基礎知識進行了全面考查，如圓錐曲線定義、焦點三角形、拋物線焦點弦等幾何性質以及直線與曲線的位置關系等，而且不回避熱點，如求圓的方程問題、橢圓和雙曲線離心率問題、弦長問題等，仔細對比可以發現，每年的高考試題很多都是由課本習題改編而來，比如2019年全國卷Ⅱ理科第21題第1問源于人教A版教材41頁例3，2017年全國卷Ⅱ理科第20題源于人教A版教材41頁例2，這些高考試題源于課本，又高于課本，因此高考復習要回歸課本基礎知識，使學生了解知識的發生、發展和應用過程，夯實學生的基礎知識，使學生掌握解決問題的工具.

（2）重視圓錐曲線的幾何性質，切實提升學生利用數形結合思想、化歸與轉化思想解決問題的能力. 坐標法是解決解析幾何問題的通性通法，但是解析幾何問題的本質是幾何問題，利用題目圖形的幾何性質解答，往往能避開繁瑣的代數運算，起到出奇制勝、事半功倍的效果，縱觀近幾年的高考試題，很多題目都離不開圖形分析，例如2016年全國卷Ⅰ理科第20題第1問，利用平行直線同位角相等和等腰三角形底角相等的幾何性質，在解題過程中需要學生自己畫圖. 因此在平時的教學中，要訓練學生多畫圖，培養學生數形轉化的意識，提升學生解題能力和效率.

（3）多角度審視，注重一題多解，把握問題的本質. 計算能力是學生解決解析幾何問題的一個攔路虎，解析幾何往往伴有繁瑣的代數運算，導致“會而不對”，學生望而生畏，但解析幾何的試題不同解法之間運算量的差異很大，有的是“可望而不可及”，比如2022年新高考Ⅰ卷21題第1問中，思路1比較容易上手，但計算量比較大，思路2從點入手，利用這些點滿足的幾何特點，抓住用坐標刻畫運動，用代數方法來研究幾何問題的本質，與思路1相比，思路更自然，計算量更小，思路3在思路2的基礎上利用參數方程，將復雜的代數運算轉化為三角函數化簡問題，從而大大減少了該題的計算量，思路4通過重構雙曲線方程和巧設直線方程，進一步整合代數與幾何的關系，避開了解決圓錐曲線綜合問題常用的“設直線、聯立方程、消元、根與系數的關系、根的判別式”解題策略，簡化計算.? 為此，在復習過程中要特別注重對不同方法的分析、比較，要研究圖形的幾何特征、掌握處理代數式的一般方法，知道不同方法的差異，要達到這樣的目的，關鍵是對問題本質的把握，只有多角度審視，看清了問題的實質，才能發現最佳的突破口.

（4）夯實基本技能和基本方法，提升學科核心素養. 從2022年新高考Ⅰ卷試題發現，在高三專題復習中不能僅是簡單地題海戰術，應該引導學生分析圖形特征，用恰當的代數形式表達題目中的幾何關系，深化對問題的分析，回歸解析幾何的本質. 高三專題復習的重點應放在對典型例題的講解，體會解題中所蘊含的思想方法，加深學生對概念的理解、基本方法和基本技能的掌握上，引導學生學會思考，而不是簡單的機械模仿，避免導致學生缺少對解析幾何本質、基本方法和基本思想的理解與掌握. 例如圓錐曲線與方程這一專題的基本技能和基本方法主要是借助坐標系用代數方法表示和研究曲線，同時要注重幾何直觀的作用，用到的知識技能方法包括數形轉化以及向量轉化等.

（5）加大訓練力度，培養學生邏輯思維能力和運算求解能力. 根據高考評價體系的整體框架對高考數學學科提出了邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力等關鍵能力. 解析幾何問題是中學數學的綜合應用問題，對于邏輯思維能力和運算求解能力要求較高，好的思路是通過一定的運算、推理等數學語言表達出來的. 因此在平面解析幾何專題復習過程中，提升學生的邏輯思維能力和運算求解能力尤為重要，因此平時要引導學生進行以運算為主的練習和規范嚴密的思維分析訓練.

參考文獻

[1]吳志雄.用直線的參數方程探究圓錐曲線中的定點問題[J].中學數學教學參考，2019（07）：44.

[2]李小華.新高考背景下高中學生發展指導的實踐與探索[J].學苑教育，2021（35）：38.

[3]中國高考報告學術委員會.高考試題分析.數學[M].北京：現代教育出版社，2021：212.

作者簡介李小華（1981—），男，福建三明人，中學高級教師;主要研究高中數學教學.

吳偉鴻（1973—），男，福建晉江人，中學高級教師;主要研究高中數學教學.

許如意（1986—），女，福建晉江人，中學二級教師;主要研究高中數學命題研究.