電功率圖像問題探討

于洋

[摘 要]物理圖像是物理課程體系的重要組成部分，其中電功率的圖像問題是教學的重點和中考命題的熱點。如何正確理解動態電路中電功率與電流、電壓、電阻等物理量之間的函數關系、圖像關系是物理教學的難點。掌握這些物理量之間的函數、圖像關系，對解決初中物理電功率問題至關重要。

[關鍵詞]電功率;物理圖像;初中物理

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0051-03

電功率及其相關知識是初中物理教學的重點，電功率是比較抽象的概念，而初中生的思維主要以形象思維為主，需要以具體事例、數據、圖像幫助他們理解電功率問題。圖像采用數學中的函數關系來表現物理規律，能夠直接反映某個物理量隨著另一個物理量變化的關系，將原本抽象的內容圖像化，從而使物理量之間的關系變得更直觀、更容易理解。利用圖像信息分析電功率問題不但可以化繁為簡、化難為易，而且能培養學生分析與解決問題的能力，提高學生對電學知識的綜合運用能力。

一、從一道廣東省中考題說起

2020年廣東省中考物理第22題，從知識角度看主要考查歐姆定律、電功率的計算式[P=UI]及推導式的應用。從能力角度看，主要考查分析物理情境建立物理模型的能力、信息獲取能力和計算能力。題目的難點主要集中在第（4）問。現結合具體題目進行分析。

[題目]（2020年廣東省中考物理第22題）小明家的臺燈是通過電位器來調節亮度的。他猜想：臺燈變亮時電位器消耗電能的功率會變小，為此他設計了如圖1甲所示的電路進行探究，已知電源電壓為4 V并保持不變，電壓表（0～3 V）2個，電流表（0～0.6 A）， 滑動變阻器規格為“20 Ω，1 A”，小燈泡L標有“2.5 V，1.25 W”字樣（忽略溫度對燈絲電阻的影響）。

（1）電路中[a]是? ? ? ? ? ? ? ?表，[b]是? ? ? ? ? ? ? ?表;

（2）實驗中，小燈泡正常發光時電流表的示數為? ? ? ? ? ? ? ?A;

（3）根據實驗數據，繪制出滑動變阻器的功率[PR]與小燈泡的電功率[PL]的關系圖像如圖1乙所示，由圖可知：小燈泡的電功率（亮度）變大時，滑動變阻器的電功率? ? ? ? ? ? ? ?;

（4）假設實驗所用的小燈泡能承受的最大電壓可以高出其額定電壓的1/4，在確保電路中各元件安全的情況下，移動滑動變阻器的滑片，小燈泡的電功率變化范圍是從? ? ? ? ? ? ? ?W至? ? ? ? ? ? ? ?W。

[解題思路分析]

（1）分析電路可知，[a]表與小燈泡L串聯，是電流表;[b]表與滑動變阻器[R]并聯，是電壓表。因此，小燈泡L和滑動變阻器[R]串聯，兩個電壓表分別測量燈泡和滑動變阻器兩端的電壓，電流表測量整個電路中的電流;

（2）小燈泡L標有“2.5 V，1.25 W”字樣，表示其額定電壓為2.5 V，額定功率為1.25 W，根據[P=UI]可得，小燈泡正常發光時電流表的示數為：[IL=PLUL=1.25 W2.5 V=0.5 A];

（3）根據圖1乙繪制出的滑動變阻器的電功率[PR]與小燈泡的電功率[PL]的關系可知，小燈泡的電功率（亮度）變大時，滑動變阻器的電功率先變大后變小;

（4）根據“2.5 V，1.25 W”以及公式[P=U2R]可得，小燈泡正常發光時的電阻為[RL=5 Ω]，忽略溫度對燈絲電阻的影響，其電阻值不變。實驗所用的小燈泡能承受的最大電壓可以高出其額定電壓的1/4，即燈泡兩端的最大電壓為3.125 V，此時通過小燈泡的最大電流為[Imax=0.625 A]。但是根據題目中的已知條件，電流表選用的量程為0～0.6 A，即電路中允許通過的最大電流為[Imax=0.6 A]，所以小燈泡的最大功率為[Pmax=1.8 W]。

根據串聯電路電壓之比等于電阻之比，滑動變阻器連入電路中的電阻越大，其兩端的電壓越大，根據電壓表的量程0～3 V可知，滑動變阻器兩端電壓的最大值為3 V，并且此時電流最小。由串聯電路電壓的規律可得，小燈泡的最小電壓為[UV=4 V-3 V=1 V]，小燈泡的最小功率為[Pmin=0.2 W]，在確保電路中各元件安全的情況下，移動滑動變阻器的滑片，小燈泡的電功率變化范圍是從0.2 W至 1.8 W。

二、方法歸納

物理教學需要注重科學方法的訓練。學生通過分析電路圖以及電功率圖像可以得出準確的答案，但是如何得出圖1乙的電功率圖像依然不夠明確。下面以圖2所示動態電路中的[P-I]、[P-U]及[P-R]等圖像問題為例，對函數與物理圖像的關系進行總結。

（一）電路的總功率

電路分析：滑動變阻器[R1]和定值電阻[R2]串聯，電壓表測量滑動變阻器[R1]兩端的電壓。電路的總功率即電源消耗的總功率。電源總功率等于電源電壓與通過電源的電流的乘積[P總=UI]。

（1）在圖2甲中，如果滑動變阻器滑片[P]處在[N]端，[R1=0]，此時電流最大[Imax=UR2]，總功率最大為[Pmax=U2R2];

（2）如果滑動變阻器滑片[P]處在[M]端，且[R1→∞]，此時電流最小[Imin→0]，總功率最小為[Pmin=0];

（3）[P總-I]圖像如圖3中Ⅰ所示，斜率[k=U]。

（二）定值電阻[R2]的功率

定值電阻[R2]的功率等于其兩端電壓[U2]和通過它的電流的乘積：[P2=U2I]，即[P2=UR1+R22R2]。

（1）在圖2甲中，如果滑動變阻器滑片[P]處在[N]端，[R1=0]，此時電流最大[Imax=UR2]，總功率最大為[P2=P總=U2R2];

（2）如果滑動變阻器滑片[P]處在[M]端，且[R1→∞]，此時電流最小[Imin→0]，[R2]功率為[P2=0];

（3）[P2-I]圖像如圖3中Ⅱ所示，為開口向上的拋物線。

（三）滑動變阻器[R1]的功率

1. [R1]的功率和電流之間的關系[P1-I]

滑動變阻器[R1]的功率等于電路總功率和定值電阻[R2]功率之差：[P1=P總-P2]，即[P1=UI-I2R2]。

（1）[P1-I]圖像如圖3中Ⅲ所示，為開口向下的拋物線;

（2）如果滑動變阻器滑片[P]處在[N]端，[R1=0]，此時電流最大[Imax=UR2]，[R1]功率為[P1 =0];

（3）如果滑動變阻器滑片[P]處在[M]端，且[R1→∞]，此時電流最小[Imin→0]，[R1]功率為[P1=0];

（4）當電流[I=U2R2=12Imax]，時，此時[R1=R2]，[P1max=U24R2]。

2. [R1]的功率和電壓之間的關系[P1-U]

滑動變阻器[R1]的功率：[P1=U1I=U1U-U1R2=-1R2U-12U12+U24R2]。

（1）[P1-U]圖像如圖4所示，為開口向下的拋物線;

（2）如果[R1=0]，此時電流最大[Imax=UR2]，[R1]功率為[P1 =0];

（3）如果[R1→∞]，此時電流最小[Imin→0]，[R1]功率為[P1=0];

（4）當[U1=12U]時，[R1=R2]，最大功率為[P1max=U24R2]。

3. [R1]的功率和電阻之間的關系[P1-R1]

滑動變阻器[R1]的功率為：[P1=I2R1=UR1+R22R1=U2R1-R22R1+4R2]，當[R1=R2]時，滑動變阻器有最大功率[P1max=U24R2]。[P1-R1]圖像如圖5所示，從圖中可知滑動變阻器的功率隨著電阻的變化而變化，并且[R1]越靠近[R2]功率越大。在[R1]功率取得最大值[P1max]之處，功率在0～[P1max]都對應著兩個電阻[ra]和[rb]，此時[Pa=Pb]，即[Ura+R22ra=Urb+R22rb]，經計算可知[rarb=R22]，如果[ra]和[rb]對應的電流分別為[Ia=Ura+R2]和[Ib=Urb+R2]，結合[rarb=R22]有[Ia+ Ib=UR2]。

4.[R1]的功率[P1]和[R2]的功率[P2]之間的關系[P1-P2]

滑動變阻器[R1]的功率：[P1=P總-P2=UI-P2=-R2P2R2-U2R22+U24R2]，當[P2=U24R2]時，[R1]的功率最大，且此時[P1=P2=14P總=U24R2]。

（四）例題分析

【例題】在如圖7甲所示的電路中，電源的電壓恒定，滑動變阻器的最大阻值為 [R1=8 Ω]，[R2]為定值電阻，但看不清標識。 滑動變阻器滑片從左端 [M]滑到右端 [N]的過程中，滑動變阻器的電功率 P隨PN間電阻[R]變化的關系如圖7乙所示，其中滑動變阻器阻值取2 Ω和8 Ω時電功率相同，則以下說法正確的有（）。

①定值電阻[R2 =4 Ω];

②電源的電壓為6 V;

③電壓表的最大示數為4.5 V;

④滑動變阻器的最大電功率為2.25 W。

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

[解題思路分析]

（1）電路分析：滑動變阻器[R1]和定值電阻[R2]串聯，電壓表測量[R1]兩端的電壓。

（2）題目分析：關鍵句，“滑動變阻器阻值取[2 Ω]和[8 Ω]時電功率相同”，通過圖7乙可知，此時的功率為2 W，所以由[P=U2R]可得，在[M]點[R1=8 Ω]，[P1=U21R1=U218 Ω=2 W]，[故U1=4 V]。

在[R'1=2 Ω]處，[P'1=U'21R'1=U'212 Ω=2 W，此時U'1=2 V]。

（3）解答：當滑動變阻器[R1]的滑片[P]在[M]點，即接入到電路中的阻值最大為8 Ω時，[R1]兩端的電壓最大為[U1=4 V]，所以③錯誤。

利用結論：在串聯電路中，電壓之比等于電阻之比，即[U1U2=R1R2]。在[M]點滑動變阻器以最大阻值接入電路，即[R1=8，U1=4 V]，有比例關系 [4U-4=8R2];在[R'1=2 Ω]處，[U'1=2 V]，有比例關系：[2U-2=2R2]。由上述兩式解得，[U=6 V，R2=4 Ω]，所以①和②正確。

計算滑動變阻器最大功率。這里有兩種方法，方法一：利用電阻判斷。滑動變阻器電功率[P1=I2R=UR1+R22R1=U2R1R1-R22+4R1R2=U2R1-R22R1+4R2]，即當[R1=R2=4 Ω]時，電阻[R1]有最大功率[P1=U24R2=2.25 W]。方法二：利用電壓進行判斷。[P1=U1I=U1U-U1R2=U16 V-U14 Ω=-14U21+32U1]，即電阻[R1]的功率是關于電壓[U1]的二次函數，過原點且開口向下，當[U1=3 V]時存在最大功率，為2.25 W。

三、小結

圖像是表述物理量變化關系的一種方式。通過對電功率公式的推導，將電功率與電壓、電流、電阻等物理量之間的關系表示出來。根據這些關系繪制的電功率與電壓、電流、電阻等物理量的圖像，直觀表達了在串聯電路中電功率隨相關物理量變化的特點，便于學生理解圖像關鍵點所代表的物理意義，在一定程度上能夠提高學生的認知水平。在物理教學過程中，有意識、有計劃地引導學生從圖像中獲取信息，運用圖像分析問題，可以提高學生獲取信息、識別圖像、處理數據的能力。

（責任編輯 易志毅）