數列單調性在競賽中的應用

莊濤

【摘要】數列是一種特殊的函數，對應函數的單調性，遞增數列、遞減數列分別屬于遞增函數、遞減函數.在數學競賽中數列不等式的證明及求最值等問題中常運用數列的單調性.

【關鍵詞】數列;單調性;競賽;應用

下面從幾個方面舉例說明數列單調性在解數學競賽題中的應用.

1判斷數列的單調性

例1數列{an}中，已知a1=3，an=a 2n-12（an-1-1）（n≥2）.

（1）判斷數列{an}的單調性，并證明你的結論;

（2）略.（第28屆希望杯高二2試）

解數列{an}是單調遞減數列.

因為an-2=a2n-12（an-1-1）-2

=a2n-1-4an-1+42（an-1-1）=（an-1-2）22（an-1-1）.

若an-1>1，則

an-2>0（顯然an≠2）.

因為a1=3>1，

所以由歸納法原理知an>2.

又an+1-an=a2n2（an-1）-an

=a2n-2a2n+2an2（an-1）=an（2-an）2（an-1）<0，

所以an+1

故數列{an}是單調遞減數列.

注數列單調性定義：若一個數列從第2項起，每一項都大于它的前一項，這樣的數列就叫做遞增數列，即對n∈N*，若總有an+1>an，則數列{an}是單調遞增數列.

若一個數列從第2項起，每一項都小于它的前一項，這樣的數列就叫做遞減數列，即對n∈N*，若總有an+1

應用定義是判斷數列單調性的基本方法.

2求項數

例2已知數列{an}：a1=7，an+1an=an+2，n=1，2，3，….求滿足an>42018的最小正整數n.（2009年全國高中聯賽）

解由an+1an=an+2，得

an+1=a2n+2an，

所以an+1+1=（an+1）2，

所以an+1=（an-1+1）2，

an-1+1=（an-2+1）2，

an-2+1=（an-3+1）2，

…，

a2+1=（a1+1）2=82，

即an+1=（a1+1）2n-1=82n-1=23×2n-1，

故an=23×2n-1-1.

顯然數列{an}單調遞增.

由于a11=23×211-1-1=23072-1<24036=42018，

a12=23×212-1-1=26144-1>24036=42018，

故滿足題目條件的正整數n的最小值是12.

3求數列的項

例3設兩個嚴格遞增的正整數數列{an}，{bn}滿足a10=b10<2017，對任意正整數n，有an+2=an+1+an，bn+1=2bn，則a1+b1的所有可能值為.（2017年高中聯賽）

解由題設可知

a1，a2，b1均為正整數，且a1

由于2017>b10=29b1=512b1，

故b1∈{1，2，3}，

由an+2=an+1+an，

得a10=a9+a8=a8+a7+a8

=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5

=8a5+5a4=13a4+8a3

=21a3+13a2=34a2+21a1，

因此21a1≡a10=b10=512b1≡2b1（mod34），

而13×21=34×8+1，

故a1≡13×21a1≡13×2b1=26b1（mod34），①

另一方面，因為數列{an}嚴格單調遞增，

所以a1

55a1<34a2+21a1=512b1，

故a1<512b155.②

當b1=1時，①②分別化為a1≡26（mod34），a1<51255無解.

當b1=2時，①②分別化為a1≡52（mod34），a1<102455，得到唯一的正整數a1=18，此時a1+b1=20.

當b1=3時，①②分別化為a1≡78（mod34），a1<153655，得到唯一的正整數a1=10，

此時a1+b1=13.

綜上，得a1+b1的所有可能值為13，20.

4求參數的值

例4使不等式1n+1+1n+2+…+12n+1

解設f（n）=1n+1+1n+2+…+12n+1.

由f（n+1）-f（n）

=1（n+1）+1+1（n+1）+2+…+12（n+1）+1-

1n+1+1n+2+…+12n+1

=12（n+1）+12（n+1）+1-1n+1

=12n+3-12n+2=-1（2n+2）（2n+3）<0，

所以f（n+1）

故f（n）單調遞減.

所以f（n）的最大值為

f（1）=12+13=56，

所以56

解得a>56+200713=200816.

因為a∈N*，

所以最小正整數a的值為2009.

5證明命題

例5證明：方程2x3+5x-2=0恰有一個實數根r，且存在唯一的嚴格遞增正數數列{an}，使得25=ra1+ra2+ra3+….（2010年全國聯賽）

證明設f（x）=2x3+5x-2，

則f′（x）=6x2+5>0，

所以f（x）是嚴格單調遞增的.

又f（0）=-2<0，

f12=2×123+5×12-2=34>0，

所以方程2x3+5x-2=0有唯一實數根

r∈0，12，

于是2r3+5r-2=0，

即5r=2（1-r3），

所以25=r1-r3=r+r4+r7+…，

故數列an=3n-2（n=1，2，3，…）是滿足題設要求的數列.

若存在兩個不同的正整數數列a1

去掉上面等式兩邊相同的項，有

rs1+rs2+rs3+…=rt1+rt2+rt3+…，

這里s1

所有的si與tj都是不同的.

不妨設s1=t1，則

rs1

所以1

≤r+r2+r3+…=r1-r

<121-12=1，矛盾.

故滿足題設的數列是唯一的.