對2018年全國Ⅰ卷第21題的本質探究

四川外國語大學附屬外國語學校 (400000) 郭海峰

2018年全國Ⅰ卷第21題考察了函數、導數以及不等式等知識，該問題考察了分類討論、數形結合和等價轉化等數學思想，全方位考察了學生的觀察、分析、推理論證、運算求解等能力，體現了邏輯推理以及直觀想象等核心素養.已經有很多文章討論過該問題，本文將從“極值點偏移”的角度對該問題進行分析.

一、“極值點”偏移的理論基礎

圖1 極值點左偏

圖2 極值點右偏

上述結論即是在探討x1，x2，x0滿足算術平均的關系時，探討對應的函數值之間的關系.除了此類關系外，當x1，x2，x0滿足其他關系時，對應的函數值是否有類似的關系呢？2018年新課標Ⅰ卷第21題即是屬于此類問題，現將探究過程展示如下：

二、真題展示

三、解法呈現

(1)構造函數，利用單調性進行判斷

(2)利用對數均值不等式

四、解法背景探究

具體如圖3所示，利用對稱性構造出來的部分位于原函數的下方，由此即可得所證不等式成立；根據圖像，我們還可得如下命題，對于函數g(x)=lnx-x，若g(x1)=g(x2)，則可得x1x2<1.同理可得，若對稱過來的圖象在原函數的上方，則獲得相反的答案.

圖3

圖4