一道聯考試題的命制背景探究與求解

山東省寧陽縣復圣中學 (271400) 張志剛

一、題目呈現

(2020高考浙江省3月聯考(B)第10題)已知實數x,y,滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值為( ).

二、命制背景

圖1

拉格朗日乘數法的優點主要有兩點：一是把目標函數和等式約束統一到一個拉格朗日函數中；二是將條件極值問題轉化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數來將含有n個變量和k個約束條件的約束優化問題轉化為含有n+k個變量的無約束優化問題.因為在構造的拉格朗日函數中無論約束條件φ(x，y)=0如何，都滿足限制條件.另外，L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中φ(x，y)=0，不難發現求z=f(x,y)的極值點，其實就是求L(x,y)的極值點，兩者的極值是等價的，且與λ無關，至于為什么增加一個λ，其實就相當于用待定系數法來確定這個拉格朗日函數.拉格朗日乘數法能夠保證在取得最優乘數的情況下兩者解的一致性，顯然通過求解拉格朗日函數的最優解來求得原目標函數的最優解是一種更實際，更方便的做法.于是，我們可以用這種方法來破解一些簡單的條件極值問題，例如本題可解答如下：

三、題目解答

拉格朗日乘數法作為一種應用廣泛的約束問題優化算法，其理論上的優越性顯而易見.然而,在實際操作中，對拉格朗日乘數法求極值的原理理解接受需要一個過程，求偏導對于高中學生來說也是陌生的，另外，在聯立方程組求解時對學生運算求解能力要求較高，那么，本題如何用初等數學的方法解決呢？事實上，在高中階段，解決此類問題可以分別從基本不等式、方程有解、函數最值(三角代換或導數)等途徑尋求突破，消參減元轉化是這類問題的基本解題原則，把雙變量問題轉化為一元函數或方程，再輔以相應的數學知識和方法就能解決.當然，鑒于該類題目的綜合性，解答過程往往需要考生具備較高的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，轉化與化歸、函數與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數學思想和方法，頗具挑戰性和選拔性.

思路一：換元法+基本不等式法

通過觀察已知條件x2-4xy-5y2=5，可以發現，該等式可以通過因式分解等價變形為(x-5y)(x+y)=5，由“積為定值”的結構特征，聯想到進行換元s=x-5y，t=x+y，從而將關于x，y的二元函數轉化為s，t的二元函數，進而借助基本等式求出最值即可.

思路二：判別式法

轉化為方程有解利用判別式△≥0也是處理該類試題的常見思路.利用目標函數構造二次的齊次式，分子、分母同時除以x2(或y2)，借助換元法將二元方程轉化為一元二次方程有解問題，利用判別式△≥0求解，于是有了如下解法.

思路三：三角換元法

評注：使用三角代換，把雙變量問題轉化為單變量問題，利用正余弦函數的有界性，求平方和代數式的范圍是常用方法和思路.

思路四：導數法

與思路二類似，利用目標函數構造齊次式，然后分子、分母同時除以x2(或y2)，換元后將目標函數轉化為分式函數的最值問題，然后通過導數方法研究函數的單調性，進而求出極值和最值.

①當y=0時，x2+2y2=x2=5；

圖2

思路五：配湊法+平方非負性

通過觀察、配湊，變形為完全平方公式形式，利用完全平方非負性，確定最值.

追根溯源可以讓我們了解命題意圖，橫跨縱聯也利于培養學生的發散思維.以拉格朗日乘數法為背景的二元二次方程條件下的二元最值問題，歷來是高考和競賽的熱點和難點問題，題目一般是函數、方程與不等式知識的綜合應用試題，解法多樣，活潑靈動，技巧性較強.當然，在解題過程中，要防止沒有思想的技巧，或者說揭示不出技巧背后的思想的做法是不可取的，違背了數學教育的育人之道，把數學變成了形式化的技巧.作為教師，一定要把技巧后面的思想挖掘出來，充分體現教學的簡約性功能.

最后，讀者可仿照上述方法求解以下三題.

1.(2020屆浙江省寧波市高三期末考試)已知45x2-12xy+52y2=20，求3x2+4y2的范圍.

2.(2017年清華大學中學生標準學術能力測試第12題)已知實數x，y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是( ).

3.(2016年全國高中數學聯賽甘肅賽區預賽第1題)若實數x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是.