利用分類討論思想研究二次函數與等腰三角形結合問題

田　雯

利用分類討論思想研究二次函數與等腰三角形結合問題

田雯

（蘇州市田家炳實驗初級中學，江蘇蘇州215000）

二次函數與等腰三角形結合問題是二次函數與幾何綜合下的一大問題專題，這一類問題的解答關鍵之一在于學生對等腰三角形的分類討論，學生需要在解題的過程中考慮幾何知識與代數知識的相互轉換。教師在教學實際中需要重視問題的展示與學生的引導，幫助學生研究問題，提煉方法。

分類討論；二次函數；等腰三角形；問題探究

函數幾何題目是中考中的?？紗栴}，其對學生多種數學思想的掌握程度有較深度的考查。為了幫助學生有效地掌握這一類題目的解法，教師需要想辦法構建有效的教學過程，讓學生結合分析進行獲得實際解題技能的有效發展。為此，教師在教學開始前需要明確教學的目標是幫助學生掌握二次函數背景下等腰三角形的分類討論問題的方法與步驟，讓學生掌握幾何問題與代入問題相互轉化的轉化思想。

一、分類討論思想的價值簡析

分類討論是一種邏輯方法。在分類討論中進行分類的原則主要為三點：1.分類的每一部分是相互獨立的；2.一次分類按一個標準；3.分類討論應逐級進行。這三點原則是實現有效分類的關鍵。當學生掌握了分類討論的思想，其就可以實現多種情況問題的有效解決。而本文討論的二次函數與等腰三角形結合的問題，其分類主要體現在等腰三角形坐標的三種情況，若學生缺乏分類討論思想的有效認知，其在解答相關題目時就很容易出現“漏考慮”的情況。而為了幫助學生實現這一類題目的有效解答，教師就需要結合實際例題的展現，幫助學生認識題目中涉及的多種情況，并引導學生進行分類計算。

二、實際的教學開展方法

（一）結合目標展示，展現教學內容

二次函數與等腰三角形結合問題是中考的?？紗栴}，這一問題相較于其他題目而言具有較強的綜合性，學生需要熟練地掌握幾何和代數知識，并能有效地將相關知識進行轉換應用。為了確保自己的專題教學切實有效，教師在進行正式內容的教學前需要結合教學目標展示的方式為學生簡要地展現本課所要講授的教學內容，幫助學生明確所要學習知識內容的構成。這樣一來，在教師完成相關內容的簡介后，學生就可以明確本課需要學習哪些知識，了解他們又需要掌握到哪些程度。

例如，在教學實際中，教師就可以使用多媒體教學工具展示的方式為學生展現本課所要學習的二次函數與等腰三角形內容。其中，教師首先需要為學生簡要地展示中考對于相關問題的考查頻次，讓學生認識到這一類問題在中考中的重要性；其次教師可以進行這一類題目的簡要解析，讓學生明確這一類題目考查的是二次函數和等腰三角形兩方面知識，解決這一類問題則需要融合二次函數和等腰三角形的知識內容；最后，教師則需要為學生簡要地介紹一下這一類題目的分類考查情況，讓學生對其達成一個基本的內容認知。這樣，通過簡單的教學展示和展現引導進行，學生就可以對當課的主要學習內容有一個認識，其學習動力也可以在一定程度上得到提升與調動。

（二）運用媒體工具，做出分類解析

教學工具的有效選用會對教學的效果產生直接的影響。教師需要預先考慮要使用的教學工具，構建教學流程的設計。通過分析可以發現，二次函數與等腰三角形問題是涉及函數與幾何兩方面的綜合問題，而這兩方面知識又都具有較強的抽象性，需要在教學的過程中進行繪圖展示，相應的教師就可以選擇使用多媒體繪圖軟件進行教學展示，為學生清晰地展現多種情況。在明確了所用的教學工具后，教師可以使用多媒體教學工具從分類討論的概念解析入手，引導學生認識分類解析的價值。點明本課專題教學的內容與重點，引導學生認識分類討論對于二次函數與等腰三角形綜合問題的解答價值。

例如，在教學實際中，教師可以先為學生系統地解釋數學思想的概念，讓學生明確數學思想對數學解題和數學學習的重要價值。在學生達成系統的認識后，教師就可以再使用多媒體展示的方式為學生展示本課教學涉及的分類討論、方程、數形結合三方面數學思想。在教學展示過程中，教師需要對分類討論思想進行強調，讓學生明確分類討論思想是實現二次函數與等腰三角形綜合問題解答的關鍵這一重要信息。當學生對分類討論有了深刻的認知，教師就可以通過多媒體展示的方式展現一道例題，引導學生認識分類討論在相關問題中的解答體現。

（三）給出分析例題，引導學生探究

二次函數與等腰三角形題目的問法較多樣，較為常見的主要有三種：形成等腰三角形的關鍵動點在坐標軸上；形成等腰三角形的關鍵動點在拋物線上；求形成等腰三角形的關鍵動點是否存在，并探討存在或不存在的情況。這三種問法從難度上來看依次遞增，相應的考慮到學生的基本認知規律，教師在進行教學題目展現時也可以依次進行展現。對于動點P在坐標軸上這一情況，教師可以給出一個動點P在x軸上的例題，借助該例題和其變試題引導學生對等腰三角形的分類方法進行認知，確定問題的基本解決思路。在進行該類題目的教學解析時，教師要盡可能鼓勵學生發散思維，拓寬解題的有效思路。

例如，教師在教學實際中就可以向學生展示如下習題，引導學生進行探究思考：

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數y=-x2+（k-1）x+4的圖像與y軸相交于點A，與x軸的負半軸交于點B，且S△OAB=6。

（1）求點A與點B的坐標；

（2）求此二次函數的解析式；

（3）如果點P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標。

解析：在該題目中，第（1）和第（2）的問題是簡單的函數坐標系求解，這兩個問題并不是二次函數與等腰三角形專題問題的重點，且難度也較低，所以教師可以讓學生根據所學知識進行求解。而在第三個問題中，教師需要強調的重點是點P在x軸上時會出現的情況。通過研究可以明確，當△ABP是等腰三角形，且點P在x軸上，此時點P的位置會出現三種不同的情況。

簡略過程：

在展示了上述題目后，教師就可以引導學生對該題目的解答流程進行簡要概況和思考，讓其嘗試著分析動點P在x軸上時解題的有效方法。而為了進一步幫助學生進行了解和認知，教師還可以在該題目中做出拓展，變更條件，讓學生嘗試著求出P點在y軸上時的幾種坐標情況。

問題變式：如果點P在y軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標。

（四）改變題目條件，實現深度思考

在完成上述題目的教學展示后，學生對點在x軸上這一種情況的題目解答方法已經有所認知，為了進一步揭示二次函數與等腰三角形題目的解題思路，教師就可以變更題目的基本條件，為學生展示復雜性較高的第二種條件：動點P在拋物線上。在展現了相關問題后，教師就可以引導學生進行進一步的深度思考，想辦法引導學生進行總結歸納。在完成P在拋物線上的展示后，為了進一步引導學生實現全面認識，教師還可以給學生展示P點在二次函數對稱軸上的情況。

例如，在實際的教學中，教師就可以為學生做出如下的題目展示：

如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于點A（-1,0）、B（3,0）兩點，與y軸交于點C（0,3），D為拋物線的頂點。

（1）求此二次函數的表達式；

（2）求△CDB的面積；

（3）若對稱軸右側的拋物線上存在點P，使△PDC是等腰三角形，此時點P的坐標是多少？

解析：在該題目中，教師仍可以讓學生獨立完成（1）（2）兩個問題，確保學生正確解答即可，針對第三個問題，教師要引導學生對該題目涉及的兩種情況“以CD為底邊”和“以CD為一腰”進行分類討論，進而解出對應的題目。

簡略過程：

由（1）得二次函數的表－式為-x2+2x+3，可以得到D點的坐標為（1,4），對稱軸x=1，

若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側拋物線上，故通過拋物線對稱性可以明確，點P與點C關于直線x=1對稱，此時點P的坐標為（2,3）

在上述題目的教學展示中，教師需要讓學生明確分類討論的重要性，并引導學生對每個情況下出現的數值進行分析，根據題意進行排除。除了P點在拋物線上的情況，教師還可以為學生展示P點在二次函數對稱軸上的題目，幫助學生加以認知。

具體習題：

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3經過點A（-1,0），B（3,0），與y軸交于點C，直線y=x+2與y軸交于點D，交拋物線與E，F兩點，點P為線段EF上一個動點（不與E，F重合），PQ∥y軸與拋物線交于點Q。

（1）求拋物線解析式；

（2）若拋物線對稱軸上存在點P，使△MAC為等腰三角形，請求出P點坐標。

問題：第一問易求得拋物線解析式為y=-x2+2x+3，第二問則需要分類討論線段AC為底和線段AC為腰的兩種情況。

簡略過程：

改變問題內容，達成理解探究（動點P是否存在）中考情況是中考中考查較多的一種情況，這一情況的問法一般為：問在x軸（拋物線）上是否存在點P，使得△PBC是等腰三角形（BC為拋物線上的兩個點，題目中會給出相關的信息），如果存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；如果不存在，請說明理由。在展示這一類問法時，教師需要結合教學的進行讓學生明確，這一類問題的易錯點是P點坐標漏求，而從題目總體上分析，P點存在的題目數量較多，也有少量題目會出現P點不存在的情況。

例如，在實際的教學中，教師就可以為學生展示如下題目：

如圖，已知拋物線y=ax2+bx-3，與x軸交于A（1,0）、B（-3,0）兩點，與y軸交于點C。點P是線段BC上一動點，過點P做x軸的垂線交拋物線于點D。

（1）求拋物線表達式；

（2）連接CD、DB。當△BDC的面積最大時，求△BDC面積的最大值以及此時點P的坐標；

（3）是否存在點P，使得△PCD為等腰三角形，若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由。

解析：第一問中易求得拋物線的表達式為y=x2+2x-3。第二問則引導學生鞏固作答即可。在第三問中，教師可以引導學生對P點的存在性論證，而后通過計算的方法加以驗證并求出相應的坐標。在這一問題中，也存在DC=PC、PC=CD、PC=PD三種情況。

（五）結合教學內容，引領學生總結

總結是實現學生知識歸納與內化的重要途徑。在教學實際中，教師需要當教學內容完成后，讓學生對當課所學的知識內容與解題方法進行研究分析，嘗試著將相關的知識內化吸收。而為了幫助學生進行歸納，教師可以在學生歸納完成后用多媒體展現的方式展示當課講授的關鍵內容，并針對性地點明哪些知識內容是重點，需要學生特別進行記憶。

例如，在實際的教學完成后，教師就可以針對性引導學生進行課堂小結。在其中，教師可以做出以下提問：“同學們，通過這一課的學習，你們都掌握了哪些內容呢？”而后教師就可以再根據學生做出的回答引導學生進行回顧總結。一般而言，總結的內容包含包涵過程與方法，即以下三點內容：1.根據題目中拋物線條件，準確計算；2.根據條件，對等腰三角形進行分類討論；3.數形結合，選擇適當方法靈活解題。

（六）給出中考真題，開展解題訓練

學生訓練進行也是專題訓練必不可少的構成部分，這一部分教師可以放在課上進行，也可以放在課下以作業的形式讓學生完成。在教學實際中，為了確保學生練習題目的有效架構，教師需要利用課下時間預先準備一些中考真題，并將其進行分類設置。在教學展示的同時，教師也就選擇性地給出部分題目引導學生鞏固練習。當所有教學內容完成后，教師就可以把其他題目交給學生，讓學生嘗試著利用所學的知識進行解題訓練。例如，在教學實際中，教師就可以利用課下時間訪問一些資源網站，以各地的中考題為關鍵詞搜集相關的中考題目，從中挑選出考查二次函數與等腰三角形相關知識的問題。

綜上所述，分類討論思想是實現二次函數與等腰三角形問題有效解決的重要方法，故教師在進行專題解題教學時，需要強調分類討論思想的應盡可能地讓的讓學生進行實際解題分析。在教學實際中，教師就可以聯系教學情況為學生分類的展出各種習題，引導學生加以分析認知。

[1] 楊文金.分類討論思想精讀[J].中學生數理化(初中版.中考版),2015(06):2-4.

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