基于深度學習的單元整體設計的實踐與思考

許雷波 金佳美

[摘? 要] 文章在對文[1]所述測試題和測試結果進行深入反思的基礎上，提出要實現激發學生興趣、促進學生發展的目標，在單元整體設計的基礎上嘗試深度學習是一條有效路徑. 文章結合高中數學“中點弦問題”的教學案例，指出了平時教學中存在的問題，提出了具體可操作的建議和實施方案.

[關鍵詞] 整體設計;深度學習;素養提升

[?]緣由

文[1]指出：2017屆廈門市高三第一次質檢數學（理科）選擇題第12題的得分率極低（全市平均分不到0.1分），由于命題專家給出的只是答案，沒有給出具體的解答過程，使得不少教師都束手無策，直到試卷講評時都不知道該如何進行解答. 為此，作者回歸教材，從命題角度闡述了此題由來，剖析了得分率極低的原因. 文[1]娓娓道來，一氣呵成，讀后深受啟發，被作者深厚的數學功底與文學素養所折服. 同時也促使筆者進行了思考，教學中應做出怎樣的改變，才能從容面對并突破此類問題，提高學習成績，培養學生的學習興趣，進而形成學生的數學核心素養呢？帶著這樣的疑問，筆者開始了探索. 在實踐中發現，教育部基礎教育課程教材發展中心、課程教材研究所于2019年12月12日聯合舉辦的“第六屆全國基礎教育課程教學改革研討會暨深度學習教學改進項目成果交流會”中倡導的深度學習是一個很好的思路;首都師范大學劉曉玫老師于2020年在浙江省教育廳舉辦的“新課程關鍵問題解決”培訓中作的《數學深度學習與單元教學設計案例分析》報告給我們指明了方向：開展基于深度學習的單元整體教學. 文章現以高中解析幾何中的“中點弦問題”為例，談談筆者的一些想法.

[?]教學分析

高中解析幾何中，圓、橢圓、雙曲線、拋物線均有涉及與中點弦有關的問題，在歷年高考與模擬考中這一類試題也為數不少. 文[1]所說的測試題歸根結底也是與中點弦有關的問題，之所以會出現如文[1]提到的測試結果，其中一個方面的原因就是在教學中沒有對中點弦問題進行單元整體設計，缺乏深度學習. 那么在中點弦問題的教學中，具體該怎么做呢？筆者以為，在圓的教學中，涉及與中點弦有關的問題時就應著重引導學生學會解題的基本方法，如待定系數法、點差法，感悟運用幾何性質在解題中的便捷性;在橢圓、雙曲線、拋物線的教學中涉及與中點弦有關的問題時可以類比圓的處理方法，著重讓學生體會類比思想方法;而在章節復習課中，對中點弦問題的處理就不能僅僅著眼于基本方法的復習，而要在回顧基本方法的同時通過重點挖掘圓錐曲線之間的聯系，在教師的引導下自主探究發現知識間內在的聯系與規律，發現在橢圓、雙曲線中也有如圓的垂徑定理，形成新的知識結構，實現思維圖式的重構，促進學生對數學知識的深度理解. 下面以中點弦問題的章節復習為例，進行具體闡述.

[?]教學設計

1. 創設情境，復習回顧

引例 已知AB為圓x2+y2=16的一條弦，P（1，-1）為AB的中點，求弦AB所在直線的方程. 若P的坐標為（0，1）呢？

設計意圖：通過引例回顧處理中點弦問題的具體方法：方法1——待定系數法，設弦AB所在的直線方程為y+1=k（x-1），然后聯立直線方程與圓方程，利用P（1，-1）為AB的中點求解. 方法2——點差法，設A（x，y），B（x，y），將A，B的坐標代入圓方程x2+y2=16后相減求解. 方法3——利用垂徑定理代數化表示為k·k=-1求解，注意事項：考慮斜率是否存在;基本思想：數形結合.

2. 適時變式，引導探究

師：如果把圓方程x2+y2=16變為橢圓方程x2+4y2=16，其余條件不變，如何求解？得到：

例1 已知AB為橢圓x2+4y2=16的一條弦，P（1，-1）為AB的中點，求弦AB所在直線的方程和橢圓的離心率.

設計意圖：通過變式求解，讓學生熟悉并掌握解題的基本方法，達到“知一題會一類”的效果. 同時，讓學生在解題中回顧并發現引例中的方法1和方法2是可以用來解決例1的，方法3則不行，為接下來的探究打下鋪墊. 例1中離心率的計算可以起到兩個作用，一是回顧復習，二是讓學生的思維能夠自然地進行過渡，然后思考以下兩個問題：橢圓離心率的范圍是多少？離心率與橢圓的形狀有什么關系？在學生思考回答的基礎上通過幾何畫板進行演示，讓學生直觀感受到離心率變小到0時，橢圓就成了圓，由此想到橢圓與圓存在著一定的聯系. 在教師的引導下主動思考：方法1、方法2、方法3在解決與圓相關的中點弦問題時，方法3最簡單，但這個最簡單的方法卻不能用于解決橢圓的中點弦問題. 原因是圓有垂徑定理可以代數化表示為k·k=-1，可橢圓卻沒有，若有就可以使用方法3了，這樣就簡單多了. 聯想到剛才幾何畫板的直觀演示，猜想橢圓可能也有類似于圓的垂徑定理的代數化表示，而且與離心率相關，從而激發學生心中強烈的探究欲望.

3. 探索實踐，發現結論

師：圓的垂徑定理可以代數化表示為k·k=-1，如果橢圓中也有類似的結論，那么結論應是怎樣的呢？

從而得到要探索的問題：

例2 如圖1所示，已知AB為橢圓+=1（a>0，b>0）的一條弦，M為AB的中點，O為坐標原點，求k·k的值.

受上述的啟示，學生應用方法1或方法2進行解答. 經初步嘗試，發現方法2比方法1簡單.

解：（方法2）設A（x，y），B（x，y），AB的中點M（x，y），所以

x

=，

y

=，由①-②得+=0，所以k==-，k=，所以k·k=-==e2-1.

設計意圖：教學中，對“四基四能”的培養是學生形成數學核心素養的重要途徑，而上述內容是培養學生提出問題、探索結論的好素材. 我們應該抓住這個契機，引導學生猜想橢圓中k·k也是一個定值，而且是一個與離心率有關的式子，從中激發學生的探索興趣，積極運用分析、推理、證明等高階思維進行深度學習.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

師：類似的，雙曲線、拋物線中有無類似的結論呢？

練習1：已知AB為雙曲線-=1（a>0，b>0）的一條弦，M為AB的中點，O為坐標原點，求k·k的值.

練習2：已知AB為拋物線y2=2px（p>0）的一條弦，M為AB的中點，O為坐標原點，求k·k的值.

師：從剛才的探索中發現，無論是橢圓還是雙曲線都有類似于圓的垂徑定理的代數化表示，即k·k=e2-1. 從幾何畫板的演示中發現，e變成0時橢圓成了圓，而上述式子中e=0時得到的k·k=-1正是圓的垂徑定理的代數化表示，數學真奇妙、真美！

設計意圖：從整體的角度去探索發現圓錐曲線中統一的結論與規律，讓學生形成新的認知結構，形成類意識，能更好地掌握知識，為下一步的運用打下基礎. 同時體會數學聯系之美、簡潔之美，體會學習數學的價值，激發學生學好數學的興趣與信心.

4. 嘗試應用，體驗成功

師：下面請大家嘗試用方法3解決例3.

例3 過橢圓x2+4y2=16內一點P（1，1）作一直線m，求：（1）若直線m被橢圓截得的線段恰好被點P平分，求直線m的方程;（2）求直線m被橢圓截得的線段中點的軌跡方程.

（此處解略）

師：通過練習，我們發現剛才探索到的結論很有用，應用這一結論，解題就方便快捷了許多. 下面請大家繼續嘗試用方法3解決下面的問題.

例4 （文[1]所指“2017屆廈門市高三第一次質檢數學（理科）試題第12題”）已知雙曲線-=1（a>0，b>0），過x軸上點P的直線l與雙曲線右支相交于M，N（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于Q（O為坐標原點），連接QN. 若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，則雙曲線的離心率e為（? ）

A.? B.? C. 2 D. 4

解：如圖3所示，取弦MN的中點R，連接OR，顯然OR為△MNQ的中位線，則有∠MRO=∠MNQ=30°，注意到∠MPO=60°，可得∠POR=30°，所以直線OR的傾斜角為150°. 又弦MN所在直線的傾斜角為120°，所以由k·k=e2-1得tan120°·tan150°=e2-1，即1=e2-1，所以e=.

設計意圖：讓學生在解題實踐中去享受成功，激發學習興趣與積極性，樹立應用意識，同時提高學生的解題能力，提升其數學素養. 尤其是例4，在學生解決問題得到答案后，教師及時指出這一題在廈門市高三第一次質檢中的結果——得分率極低，全市平均分不到0.1分，說明此題有一定難度，但他們自己獨立做出來了，真不簡單.

筆者曾經嘗試，讓兩位高三學生來解此題. 一位來自省一級重點中學且數學成績位于班級前10，解題時不加提示，結果她沒有解出來. 另一位來自一般中學，平時的數學成績在80分左右（總分為150分），但在其做題前做了如上所示的鋪墊，結果這位學生做出來了，使其感到了數學的神奇，重新樹立了學好數學的自信.

5. 總結歸納，梳理提升

師：這節課你學會了什么？如何學的？學習中運用了哪些思想與策略？圓中還有什么性質？橢圓中是否也有相應的性質呢？

設計意圖：通過對學習過程與方法的回顧，達到以下幾個目標.

（1）從知識角度來看，形成一個新的知識結構：圓、橢圓、雙曲線有一個統一的結論（焦點均在x軸上時）：k·k=e2-1. 圓正是e=0時的情形.

（2）從方法層面來看，能從知識間的聯系角度去思考并提出問題、解決問題. 體會觀察、類比、猜想、數形結合等思想方法， 提高推理和解決問題的能力.

（3）拓展. 通過最后兩問：“圓中還有什么性質？橢圓中是否也有相應的性質呢？”讓學生舉一反三，學會并應用本節課的研究方法，進一步完善已有的知識結構，猜想并指出如下的結論，滿足學生的好奇心和探究的欲望，形成更完備的知識體系.

結論1：如圖5所示，若AB為圓x2+y2=r2的一條直徑，P為此圓上一個點，則k·k=-1;類似的，若AB為橢圓+=1（a>0，b>0）的一條直徑，P為橢圓上一點，則k·k=e2-1.

結論2：如圖6所示，若O為圓x2+y2=r2的圓心，l為過圓上一點P的切線，則k·kl=-1;類似的，若O為橢圓+=1（a>0，b>0）的中心，l為過橢圓上一點P的切線，則k·kl=e2-1.

[?]實踐感悟

《普通高中數學課程標準（2007年版）》指出：高中數學課程以學生發展為本，以落實立德樹人為根本任務. 在實踐中，我們發現，要實施這一理念，整體設計是前提，深度學習是路徑，素養提升是目標.

1. 整體設計是前提

我們知道，現在要成為一名教師，至少要大學本科畢業，需要經過層層選拔與考試，優勝者才可以. 至于高中的新教師，許多人的學歷是碩士及以上. 進入教師隊伍后，還要參加新教師試用期培訓、教師專業發展培訓等. 目的就是要讓教師有系統的學科知識、完整的教育理論，能根據教材與學生的實際情況進行整體設計與教學. 因此，教師教學源于自身對教材與學生的理解，能對知識的邏輯體系、層次、學生的學情進行有效的重組，能更有效地在學生思維的最近發展區開展教學，激發其興趣，培養其理性精神與思維. 在以前的教學中，教材由于篇幅限制沒有介紹橢圓、雙曲線中類似圓的垂徑定理，許多人（包括筆者自己）并不知道有這樣一個定理，教學中照本宣科，沒有進行整體的設計與思考. 不僅失去了一個很好培養學生發現問題、解決問題、提升理性思維的機會，而且使學生陷入了“題海戰術”之中，不利于解題能力提升. 因此，教師掌握系統的專業知識，對教材進行整體設計，是實施有效教學、提升學生學科素養的前提，具有很強的必要性.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

2. 深度學習是路徑

所謂深度學習，指在教師的引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心地積極參與體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程. 在這個過程中，幫助學生掌握學科的核心知識，理解學習過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態度、正確的價值觀. 而數學是培養學生理性精神與思維能力的學科，要達到預期的目標，教學中不能僅僅依靠記憶、理解，而是需要觀察、分析、推理、探究等高階思維的介入，需要教師在教學中根據學生的學情和教材創設合適的情境，激發和滿足學生內在探究與發現問題的欲望，從中體驗成功，形成正確的價值觀. 所以深度學習是實現預期目標的有效途徑. 在本節課的教學中，教材是沒有現成內容的，需要教師根據自己豐富的專業知識，合理地進行組織與設計，從中去訓練學生的思維，上述做法就較好地體現了這一點：在優化意識的主導下，針對圓的垂徑定理的代數化表示，能較好地解決圓的中點弦問題的事實，及時聯想到橢圓與圓之間的關系——當橢圓的離心率變成0時，橢圓就變成了圓. 說明圓是橢圓的特殊形狀，圓有垂徑定理的代數化表示，橢圓很可能也有，而且與離心率相關. 由此進行探索與思考，過程中充分展開了分析、推理等高階思維活動，有效地進行了深度學習. 通過推導得出結論后，教師及時引導學生進行了應用，讓學生體驗到了探索的價值，不僅提高了學生的解題能力，而且提高了學生的學習興趣，提高了學生發現問題的意識與能力，不知不覺中也提高了學生的素養.

3. 素養提升是目標

在實踐中，針對此課例，存在著不同程度的兩大教學誤區：一是教師自身業務水平的限制，知識面不廣，專業素養不精，不知道橢圓與雙曲線中也有類似圓的垂徑定理的代數化表示，由此在教學中照本宣科. 二是教師知道有這樣的一個結論，卻因教學時間的限制和擔心學生的基礎知識不足，教學中放棄引導學生去探究、發現，直接告訴學生結論，然后應用結論，當前社會上的一些培訓班就是如此. 在第一種教學中，教師對知識沒有進行有效拓展，教學深度不夠，教學中缺少有效的探索過程和成功的體驗，學生沒能形成系統的知識結構. 由于學習中缺少高階思維的思考過程，培養不出優秀的學生. 第二種教學的目的完全是應試，具有很強的功利性，把學生當作了一個工具，幾年過去后，學生就會遺忘這種知識，而教學中能力與方法又沒有形成，等于是誤人子弟. 我們知道，教育的目的是育人，從小的方面來講，是為了讓學生獲得技能，能勝任一份工作;從大的方面來講，是為了促進學生能終生發展. 要達到這一目標，依靠的是學生素養的提升，而不僅是考試成績. 針對教學中的誤區，國務院辦公廳在2019年印發了《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》，明確提出教育的根本任務是落實立德樹人，要深化考試命題改革，堅決扭轉片面應試教育傾向，切實提高育人水平，促進學生發展，提高學生素養，為學生適應社會生活、接受高等教育和未來職業發展打好基礎. 教育部考試中心于2020年1月發布的《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》進一步對考試評價這一層面進行了規范，提出了要求，使學生的發展、素養的提升、最終實現立德樹人的目標變得更加現實和可能.

參考文獻：

[1]? 王淼生，吳衛軍. 一道得分很低的質檢題引發的思考[J]. 數學通訊，2017（18）：50-53.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679