兩點弦方程在拋物線中的應用

傅立明

[摘? 要] 文章以2021年全國乙卷理科第21題為例，運用兩點弦方程，快速寫出直線方程，便于發現同構式，化解拋物線問題的難點，幫助學生進一步理解拋物線與方程的關系，培養學生的數學學科核心素養.

[關鍵詞] 拋物線;兩點弦方程;同構

拋物線是新高考考查的重點，也是難點，它考查綜合能力，涵蓋知識面廣，常與向量、三角、函數等知識結合，通常計算量非常大. 筆者認為，要很好地解決拋物線問題，必須先對拋物線相關性質進行充分挖掘和分析，只有選擇好性質和計算源頭才能輕松運算. 文章從2021年全國乙卷理科第21題的解析出發，談一下兩點弦方程在拋物線中的作用.

[?] 試題呈現

（2021年全國乙卷理科第21題）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.

（1）求p;

（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.

分析：（1）略;

（2）利用導數求出直線PA，PB的方程，進一步求得直線AB的方程，然后聯立直線AB的方程與拋物線的方程，求出AB以及點P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式，結合二次函數的基本性質求得△PAB面積的最大值.

這種方法需要進行大量的運算與變形，計算量較大且煩瑣.而通過設點P的坐標，利用切點弦方程寫出直線AB的方程，再設點A，B的坐標，根據兩點弦方程快速地找到點A，B的坐標與點P的坐標的關系，可以大大提高解題速度，能起到事半功倍的效果.

[?] 拋物線的兩點弦方程

拋物線的兩點弦方程是在切點弦方程和切線方程基礎上總結歸納而來的，其發現過程體現了新高考中最常見的同構思想. 在此以拋物線y2=2px（p>0）為例推導其兩點弦方程（拋物線x2=2py（p>0）通過類比即可推導）.

探究1：拋物線y2=2px的切線方程.

當y>0時，設y=f（x）=，y=;f′（x）=，f′（x）==;切線方程為y-y=（x-x），即yy-y=p（x-x）. 因為y=2px，所以切線方程為yy=p（x+x）. 同理，當y<0時，切線方程為yy=p（x+x）. 同理，拋物線x2=2py（p>0）的切線方程為xx=p（y+y）. 為了方便記憶，可以簡單地記為“代一留一”.

探究2：拋物線y2=2px（p>0）的切點弦方程.

求切線方程，必須要知道切點的坐標，如果過拋物線外一點P作切線，我們能得到切點弦方程.

設P（m，n），切點M（x，y），N（x，y），直線PM的方程為yy=p（x+x），將P（m，n）代入方程得yn=p（m+x）①;直線PN的直線方程為yy=p（x+x），將P（m，n）代入方程得yn=p（m+x）②.

我們發現①②兩個式子同構，由此得到M（x，y），N（x，y）是方程ny=p（m+x）的兩解，所以直線MN的方程為ny=p（x+m），稱為切點弦方程.同理，拋物線x2=2py（p>0）的切點弦方程為nx=p（y+m）. 為了方便記憶，可以簡單地記為“代一留一”.

探究3：拋物線y2=2px（p>0）的兩點弦方程.

切點弦是特殊的弦，交點必須是切點，那么拋物線上任意兩點所在直線的方程是什么？再來研究一下探究2中的切點.

設P（m，n），切點M（x，y），N（x，y），由探究1和探究2可知，直線PN的方程為yy=p（x+x）①，直線PM的方程為yy=p（x+x）②，直線MN的方程為ny=p（x+m）. 聯立①②，得直線PN與直線PM的交點坐標P

，

. 此時，直線MN的方程為y=p

+x

，即2px-（y+y）y+yy=0.

由此，我們發現雖然M，N是兩個切點，但是直線MN的方程與P的坐標沒有關系，因此，我們可以認為只要知道弦的兩個端點的坐標就可以將弦所在直線的方程寫出來. 推導過程如下：

設M（x，y），N（x，y），將點M的坐標代入拋物線方程得y=2px，即2px-y=0，即2px-y-yy+yy=0，即2px-y（y+y）+yy=0①. 同理，將點N的坐標代入拋物線方程，得2px-y（y+y）+yy=0②.

由①②兩個式子同構，得直線MN的方程為2px-（y+y）y+yy=0，稱為拋物線的兩點弦方程. 同理，拋物線x2=2py（p>0）的兩點弦方程為2py-（x+x）x+xx=0.

[?] 兩點弦方程的應用

例1 2021年全國乙卷理科第21題（見“試題呈現”）.

解：（1）F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為+3=4，所以p=2.

（2）拋物線x2=4y，設A（x，y），B（x，y），P（x0，y0）. 由拋物線的兩點弦方程得l：4y-（x+x）x+xx=0，由拋物線的切線方程得xx=2（y1+y0）①，xx=2（y2+y0）②. 由①②兩個式子同構可得l：xx=2（y+y），即l：2y-xx+2y=0. 所以

x

+x

=2x，

x

x

=4y，所以AB=·=·=·;又d=，所以S=·AB·d=·x

-4y·=（-y-12y-15）. 而y∈[-5，-3]，當y=-5時，S達到最大，最大值為20.

評注：利用切點弦方程和兩點弦方程以及三角形的面積公式，結合二次函數的基本性質求得△PAB面積的最大值，起到了事半功倍的效果.

例2 （八省聯考）已知拋物線y2=2px上三點A（2，2），B，C，直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，求直線BC的方程.

解：設B（x，y），C（x，y），由兩點弦方程得l：2x-（2+y）y+2y=0，l：2x-（2+y）y+2y=0.因為直線AB與圓相切，所以=1，得3y+12y+8=0;同理，3y+12y+8=0. 故y，y是方程3y2+12y+8=0的兩個根，所以y+y=-4，yy=. 又由兩點弦方程得l：2x-（y+y）y+yy=0，所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

評注：本題通過兩點弦方程可以直接將直線AB、直線AC、直線BC的方程寫出來，然后根據題設條件找出這三條直線方程滿足的關系式，準確而迅速地完成本題的求解.

例3 （湖北八校聯考）拋物線y2=2x，定點C（4，2），D（-4，0），M是拋物線上一動點，設直線CM，DM與拋物線的另一個交點分別為E，F. 求證：當M點在拋物線上變動時（只要E，F存在且不重合），直線EF恒過一個定點，并求出這個定點的坐標.

解：設M（x，y），F（x，y），E（x，y）. 由兩點弦方程得l：2x-（y+y）y+yy=0①，l：2x-（y+y）y+yy=0②，l：2x-（y+y）y+yy=0. 將點C的坐標代入方程②，得8-2（y+y）+yy=0③;將點D的坐標代入方程①，得-8+yy=0，即y=. 將y=代入式子③，得8-4（y+y）+yy=0，所以直線EF恒過定點（4，4）.

評注：本題的一般解法是，設直線DM的方程為x=ty-4，直線CM的方程為x=t（y-2）+4，M

，y

，F（x，y），E（x，y）. 聯立直線的方程與拋物線的方程，得E

，

，k=，直線EF的方程為y=x+，定點為（4，4）. 這樣做計算量較大，而利用兩點弦方程可以直接寫出直線方程，這樣便于發現同構式，能快速找到變量之間的關系，可以將考生從復雜的代數運算中解放出來.

[?] 結束語

兩點弦方程能避免煩瑣的計算，筆者也是從高考題中發現可以用兩點弦方程來處理拋物線問題的，如果掌握了它可以很快地找到解決問題的根源. 當然，拋物線的結論有很多，所以教師在教學中應予關注，對拋物線的性質進行分類、歸納與剖析， 培養學生思維能力， 提高學習效率.