巧借“幾何直觀”理解“分數計算算理”

袁燕

“幾何直觀”作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心概念之一，在數學學習中有重要的地位和意義。“幾何”即幾何圖形。“直觀”就是借助經驗、觀察、測試或類比聯系，所產生的對事物關系的直接的感知與認識，通過直觀能建立起學生對自身體驗與外物體驗的對應關系。在“分數計算算理”的實際教學中，幾何直觀可以把復雜的問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。

數學發展的歷程表明，越是高度抽象的數學內容，往往越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐。越是抽象的數學對象，其數學本質越有可能用簡捷而直觀的圖形來表達。這就是“幾何直觀”。“幾何直觀”作為義務教育小學數學課程標準（2011年版）十大核心概念之一，愈來愈成為數學教學關注的焦點。

《課標解讀》指出：借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。可見，幾何直觀是學生空間觀念形成的基礎。小學生的思維以具體形象思維為主，所以幾何直觀能力是學好小學經驗性知識的保證，是思考數學問題、發展數形結合思想的基礎，是學生必備的一種基本素養。借助幾何直觀，能啟迪我們的思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內容、方法、觀念，促進我們理解數學的本質和思想。很多抽象的數學問題，都可以變成可借用的幾何直觀問題，他們是數學發現的向導。幾何直觀在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

一、“幾何直觀”的內涵與外延

幾何直觀內容在教材呈現上比較零散，教師在教學策略實施上比較隨性，不夠嚴謹和系統化。教材在解決問題的過程中都是比較重視運用幾何直觀的，但都缺乏明確的指導。如在教材中理解分數計算，算理方面都是直接呈現或以問題形式提示學生，但具體該怎樣計算卻沒有體現。這樣既不利于教師準確把握教材，也不利于學生更好地掌握分數計算算理[1]。

孔凡哲教授認為：幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力;在中小學數學中，幾何直觀可以體現為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀四種表現形式。

課標中描述：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。就是通過圖形的直觀性質來闡明數與數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，為研究和探求數學問題開辟了一條重要途徑。

二、“幾何直觀”在理解分數計算算理方面的實踐意義

幾何直觀是依托、利用圖形進行數學的思考和想象。它既是一種意識，也是一種能力和思維方式。幾何直觀幫助學生理解算理和掌握算法的方法，教師在深刻解讀教材的基礎上，基于學生學情，在具體的教學題境中借助幾何直觀幫助學生更好理解算理、掌握算法。

幾何直觀有助于學生在不知道計算方法的情況下，得出計算結果，為算理的理解打下基礎。如在學習異分母分數加法的時候，計算1/2+1/4，學生不清楚怎樣算時，可通過畫圖，得出3/4的結果。從而初步理解計算1/2+1/4，需要將1/2變成分母也是4的分數：2/4，再與1/4合起來，就是3/4。畫圖的過程不僅能幫助學生得出計算結果，學生在畫圖時，初步感受了異分母分數相加減、需要先通分再加減的道理。

幾何直觀有助于學生理解運算的意義，并通過對意義的理解從而理解計算的算理。如分數乘法單元中，計算1/5×3，學生要在一張長方形紙上先涂出這張紙的1/5，再涂出3個1/5，在涂的過程中，學生理解了1/5×3實際上表示的是求3個1/5的和是多少？3個1/5的和，一共有1×3個1/5，也就是3/5。同樣，2/5×2，學生通過涂一涂、想一想，不難理解求得是2個2/5的和，一共有2×2個1/5。畫直觀圖的過程中，學生不自覺得將算式的意義表示出來，對于分數乘整數意義理解了，那么也就理解了分數乘整數的計算算理。

幾何直觀有助于學生直觀理解算理，并抽象出計算方法。以北師大版五年級下冊數學教材中分數除法（一）一課為例，為什么2/7÷3=2/7×1/3，為什么除以一個不為零的數，要乘以這個數的倒數？這對學生來說是比較難以理解的。如果教師單純地告知學生這種算法，不引領學生探究算法背后的算理，那樣的計算教學顯然是乏味的、機械的。

如果學生借助畫圖，分數除法計算算理則非常顯而易見。2/7÷3，就是將2/7平均分成3份，每份就是2/7的1/3，當然要用2/7×1/3了。同理，2/7÷4，學生通過畫圖也不難發現，就是求2/7的1/4是多少。換其他任何一個分數除以一個不為零的整數，都是求這個分數的幾分之一是多少。學生有了這樣的直觀理解后，再抽象歸納出分數除以整數的計算方法，水到渠成。反過來，學生總結出這樣的計算方法后，仍舊可以通過畫圖的方法來解釋說明其中蘊含的道理[2]。

通過以上舉例不難發現，學生對分數加減乘除法算理的理解都離不開幾何直觀。幾何直觀的作用，一方面在于它對于算理的理解有啟動作用;另一方面則在于直感的材料對于算理的深化具有獨特作用。

三、借助“幾何直觀”理解計算算理的一般流程及要求

①明確要解決的問題，列出算式，思考怎樣算？追問為什么這樣列式？對運算意義的理解。②獨立畫圖解決、交流畫法——初步感受算理。畫圖得出結果、說出畫法、教師巡視了解畫的情況;交流、規范畫法，比較不同畫法的聯系區別。畫法和算法結合：結合圖說說結果是怎么得到的？③再次運用畫圖解決其他類似問題——進一步感受算理。可用書中問題、可補充其他問題、可學生自己舉例。④說說畫圖解決這類問題時的發現——理解、抽象算理。結合畫圖及計算概括出怎么算？為什么這么算？小結得到算理的過程，發展幾何直觀意識。⑤解決實際問題——深化、運用算理：如畫一畫、算一算等。

四、借助“幾何直觀”理解計算算理的具體教學建議

（一）重視學生獨立畫圖，發展學生的幾何直觀意識

教師在引導學生運用幾何直觀理解算理、解決問題時，不要急于教給學生怎樣畫圖，而要讓學生獨立嘗試，培養學生主動借助幾何直觀分析問題的意識。如在處理2/7÷3=？這一問題時，有的老師總是著急把自己的畫圖方法“迫不及待”地訓講給學生，讓學生先畫什么，再畫什么，可是學生自己畫圖時仍然不會畫，或者看圖不能寫出相應算式。

（二）重視學生自己的示意圖，重視學生自己解釋算理的過程

不要過于死板地規范學生的畫圖、過分強調學生畫的圖必須全班一樣，而要允許學生用自己的方式去表示，只要能說出道理即可。因為不同理解層次的學生有著不同的思維特點和思維水平，給學生展示自己畫圖的時間和空間，也是學生之間交流的需要。

（三）引導學生結合圖、結合計算過程，得出計算方法

數學教育本身是個過程，它不僅是傳授知識，更重要的是在教學過程中讓學生親身實踐而抓住其發展規律，學會抽象化、形式化的方法。直觀是具象，有了直觀畫圖后，在經歷了多次畫圖感受后，要引導學生結合圖、結合計算過程，抽象出計算的方法，實際上也是建立數學模型的過程。在學生結合圖抽象出計算方法后，教師還要讓學生結合圖說明和解釋算理。將抽象的算理再次放回到直觀的圖中，解釋算理的過程也是算理深化的過程[3]。

（四）把握好“幾何直觀”與計算理解的關系

如對于2/7÷3=2/21，學生除了運用畫圖外，還可以通過商不變規律，（2/7×1/3）÷（3×1/3）來計算;或者從分數意義的角度去思考，1/7除以3是1/21，2個1/7除以3，應得2個1/21，就是2/21等。因此，重要的是應該讓學生從這樣的學習素材中，去展現自己的探究能力，去經歷多樣化的探究，在個性思維得到發展的同時，自主實現算理的理解，獲取算法的優化。

（五）不必強求借助“幾何直觀”來解決所有問題

借助幾何直觀是一種分析問題和解決問題的策略，是否需要畫圖與問題的難度、學生對情境的熟悉程度、學生的年齡特點等都有關系。如果學生不借助畫圖已經可以解決問題了，教師可以鼓勵他們運用畫圖來表達自己的思考過程，但不必強求他們必須經過畫圖才解決問題。

小學生的思維水平處于具體運算階段向形式運算階段過渡，更是離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數學理解上的難點，培養學生科學的思維品質。總之，幾何直觀在計算算理的理解方面也起到了至關重要的作用。教師培養和發展學生的幾何直觀，需要依托數學課程的每個領域。有效的培養工作必須依托具體的數學課程教學內容，落實在課程內容之中、課堂教學細節之中，最終形成學生敏銳的洞察力和深厚的數學素養。

參考文獻：

[1]孫承勇.談幾何直觀在小學低段數學教學中的運用[J].小學教學參考，2020（3）：29-30.

[2]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式：對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程.教材.教法，2012（7）：92-97.

[3]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.