由一道市質檢試題引發的教學思考

吳雪萍

摘? ?要：高中數學教學重視以發展學生的數學核心素養為導向，面對高三專題的試題講評課，探討如何提高實效，試題講評應關注那些問題，如何充分發揮學生的學習主觀能動性等，怎樣以問題引領突顯以生為本的教育教學理念.

關鍵詞：試題講評;一題多變;取值范圍

1? 問題提出

高三臨考的復習階段，如何提高課堂復習效率？不少教師利用市面上現有復習資料不加整合地進行復習，習慣性就題論題，沒有注入太多“新鮮”內容，“炒舊飯”，照本宣科，導致學生參與度不太高，復習效果不佳.

從第一次市質檢的情況來看，解三角形模塊的一輪復習，效果還是不理想，如何提高高三課堂復習的教學效率？如何有效分析試卷中的典型試題？

2? 試題剖析

（2021年龍巖市3月份質檢試題第17題）在csinβ=bcosC①，②2cosC-sin（-2C）=2cos2C，③SΔABC=CA·CB·sinC三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c=2.

（1）求角C;

（2）求ΔABC周長的取值范圍.

參考解答：

（1）C=，過程略;

（2）思路1：設ΔABC的外接圓的半徑R，由（1）及c=2知，2R==， ΔABC的周長L=2R（sinA+sinB）+2=〔sinA+sin（-A）〕+2=4sin（A+）+2，因為0<A<π，所以<A+<，<sin（A+）≤1， 所以L∈（4，6].

思路2：由（1）及余弦定理得c2=a2+b2-ab，

所以4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，

所以（a+b）2≤16，即a+b≤4.

又a+b>c，所以2<a+b≤4，當且僅當a=b=2時取等號.

所以所以L∈（4，6].

評析：思路1是解三角形問題中求解取值范圍的通性通法，利用正弦定理進行“邊化角”或“角化邊”的轉化思想解決問題;思路2是利用余弦定理結合基本不等式得到周長的取值范圍，過程相對簡潔，但學生比較容易忽略“兩邊之和大于第三邊”隱性條件.

3? 思考與變式

若題干中的條件加以限制，思路2是否仍適用？為探索更為有效的試題講評模式，筆者在任教的兩個物理類平行班進行嘗試：一個班就題講完上述兩種解法即進入下一道題的講解，另外一個班在分析總結后作了一題多變的嘗試.

變式1：條件改為“銳角三角形”，其余不變，如何求解？

思路1： 銳角ΔABC的周長L=2R（sinA+sinB）+2=4sin（A+）+2

因為0<A<，0<-A<，所以<A<，則<A+<，得<sin（A+）≤1，從而L∈（2+2，6].

思路2：由（1）及余弦定理得c2=a2+b2-ab，4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，所以（a+b）2≤16，a+b≤4.

利用運動的觀點，滿足題意的點C落在圓弧DCE上（不含D，E兩點），點C在D點，E位置時（此時為直角三角形）為臨界情況（如圖1），從而求得a+b+c=2+2.

綜上，L∈（2+2，6].

變式2：條件不變，問題改為“求ΔABC面積的取值范圍.”

思路：依題意得面積S=ab，由余弦定理得4=a2+b2-ab≥ab，從而S=ab≤.

另一方面，從運動的觀點可知點C落在優弧AB上（不含A，B兩點），且點C落在以AB為中垂線的直線與優弧AB相交處時（如圖2），三角形面積取得最大值，當點C無限逼近A（或）B點時，面積趨近于0，從而ΔABC面積的取值范圍為（0，）.

評析：利用基本不等式比較快速地求得面積的最大值，但如何求最小值以及是否有最小值，對于學生來說是一個難點.當然，也可以利用正弦定理，將面積表示為S=ab=sinAsinB，進一步利用二倍角、輔助角公式等化簡為S=+sin（2A-），再根據角A的范圍求解.

變式3：條件不變，問題改為“求sinAsinB的取值范圍.”

思路：利用正弦定理===2R得sinAsinB=ab，從而問題轉化為變式2來處理.

變式4：條件不變，問題改為“求a2+b2的取值范圍.”

思路：由正弦定理可得a2+b2=（sin2A+sin2B）=-〔cos2A+cos（2A+）〕=-sin（2A-），再結合角A的范圍求解.

同樣地，也可以利用基本不等式ab≤求解.

變式5：條件不變，問題改為“求cosA+cosB+cosC的取值范圍.”

思路：cosA+cosB+cosC=cosA+cos（-A）+=+sin（A+），結合A的范圍求解ab.

變式6：條件改為“C=，b=2”，其余不變.

思路：由正弦定理得ΔABC的周長L=2+a+c=2++=2++=3+，由B（0，）可得tan（0，），從而周長L的取值范圍為（4+∞）.

為了測評以上講評方式的有效性，第二天選取了幾道類似高考真題進行課堂小測，結果發現，進行變式教學的班級明顯好于另一個班級，達到了預期的目的，即充分調動學生的課堂積極性，逐步提高學生發現、研究并解決數學問題的能力.

題源1在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosA+acosB=ac.

（1）求a的值;

（2）若A=，求ΔABC的周長的最大值.

題源2（2019年全國新課標卷Ⅲ·理18，文18）

ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin=bsinA.

（1）求B;

（2）若為ΔABC為銳角三角形，且c=1，求ΔABC面積的取值范圍.

題源3（2020年全國新課標卷Ⅱ·理17）

ΔABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;

（2）若BC=3，，求ΔABC周長的最大值

研究歷年高考真題會發現，高考中曾多次考查有關這類解三角形中涉及取值范圍的問題，例如2004年浙江卷理科第17題（文科第18題）“求的最大值”、2007年全國卷Ⅱ理科第17題（文科第18題）“求ΔABC周長的最大值”、2013年新課標卷Ⅱ理科第17題“求ΔABC面積的最大值”、2014年新課標卷Ⅰ理科第16題“求ΔABC面積的最大值”等.

4? 教學建議

4.1? 數學試題講評應注重歸納整合

復習課是數學課重要的課型，如何開展復習專題試題講評是每位教師重點關注的.筆者認為，講評后應注重試題的歸納整合，把同類型題目整合在一起形成專題，針對學生的易錯點、重點難點進行講評更為合理有效.

4.2? 數學試題講評應注重一題多解、一題多變及多題歸一

《高中數學課程標準（2017年版）》提到，高中數學課程面向全體學生，實現：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展[ 1 ].針對典例，教師應深入剖析問題，再從不同角度引導學生獲得不同解法，既能拓寬學生的思維，又能鞏固應用所學數學知識解決問題，同時讓不同層次學生均有不同收獲.進一步地，教師可以嘗試對典型試題加以變式，使得學生對試題有更深入的認識、理解與掌握，從而獲取并積累一定的解題經驗.

4.3? 數學試題講評應注重拓展延伸

在一題多解、一題多變的基礎上，教師需要通過對試題的深入思考，挖掘出一些隱性知識從而對問題進行拓展延伸，讓學生真正感受到觸類旁通、多題歸一，促進學生試題講評過程中思想品質得到提升.

4.4? 數學試題講評應發揮學生的主觀能動性

對于數學的學習，《高中數學課程標準（2017年版）》提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式.教師講評試題時，應積極發揮學生的主觀能動性，獲知學生的解題思路，暴露學生的思維過程，在此基礎上引導學生積極參與，獨立思考，交流中獲得自然、合理的解題方法，而不是把自己的思路硬拋給學生.課堂教學只有堅持“以人為本，以生為本”，重視教學中學生思維發展的過程，才能較好地發揮數學的育人價值，促進學生的思維理性，提升學生的數學素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.