數值模擬方法在牛頓第二定律應用中的教學探索

羅貴榮 陳新光

摘? ?要：牛頓第二定律是高考的必考知識點，也是高中物理教學的重點與難點，而應用牛頓第二定律解決連接體中的受力問題更是學生極易產生錯誤和餒怯的問題。嘗試通過數值模擬方法直觀呈現連接體物體間的相互作用力大小，讓學生在模擬實驗中得出結論，從數據中總結理論規律，達到提升學生學科核心素養的目的，也為一線教師提供了一種突破教學難點的方法。

關鍵詞：牛頓第二定律;連接體;數值模擬;核心素養

引言

連接體問題是高考力學部分考查的熱點問題，是高一學生在學習牛頓第二定律應用時必須掌握的模型之一。在講授應用牛頓第二定律求解連接體之間的相互作用力的問題時，很多一線教師和現行的教輔都習慣采用先整體后隔離的方法來解決此類問題。但在解決實際一些復雜問題時，該方法并未能得出一個直觀的結論。尋求一種高效、可行的教學方法也是諸多學者一直追求的目標[ 1-3 ]。有限元數值模擬是借助計算機模擬，通過數值計算和圖形可視化的方法，實現對實際工程問題和自然規律的仿真模擬[ 4 ]。本文嘗試將有限元技術引入課堂，借助有限元數值模擬來解決一個復雜的實際問題，總結出連接體之間相互作用力的一般表達式，同時也培養學生解決實際問題的能力和物理科學論證的能力，以期達到提高學生學習效率和學科核心素養的能力。

1? 提出問題

為了更好地激發學生學習興趣，本節課的課堂引入選擇了一種比較有趣的拔河比賽：重型卡車之間的拔河比賽，如圖1所示。在拔河過程中，左邊A車最終贏得比賽的勝利。那么，在左邊卡車拖著右邊B車向左運動的過程中，兩車之間的連接鋼繩需要承受多大的拉力呢？

2? 模型簡化

應用牛頓第二定律解決以上問題，首先需要對以上復雜實際問題進行模型簡化，如圖2所示。在模型簡化時，考慮主要因素，忽略次要因素，即簡化兩車質量分別為m1和m2，兩車的牽引力分別為F1和F2，兩車與地面的滑動摩擦因數分別為μ1和μ2，鋼繩的張力為T。

在實際教學設計中，可以在本節課內容之前，先讓學生掌握圖3模型中：勻變速直線運動中的繩子拉力的表達式為T=。 因此，在學生已有潛在知識儲備的情況下，不妨引導學生先復習求解圖3中連接體之間繩子拉力問題的方法即先整體后隔離的方法，并讓學生應用該方法求解圖2模型中鋼繩的張力T。一般情況下，學生不容易得到一個比較簡潔的表達式。

學生在求解過程中可能會出現問題：（1）在求解過程中，可能會忽略滑動摩擦因數不同這個條件，而錯誤地套用一些教輔總結的兩連接體之間相互作用力與滑動摩擦因數無關的結論;（2）本模型用先整體后隔離的方法求解，雖思路簡單，但是計算繁瑣，學生也不易得出簡潔結論。

3? 數值模擬教學設計

利用數值模擬軟件模擬連接體的物體之間相互作用力的計算機模型如圖4所示。數值模擬過程需要對每個模擬對象設定好初始值，不妨設定本模型中的基本參數為：m1=1 kg， m2=3 kg， F1=20 N，F2=8 N.

【模擬過程一】：為了降低難度并引發學生思考，不妨先設定兩個物體的動摩擦因數相同，即μ1=μ2=0.1.為了便于學生觀察和思考，模擬過程分成三個步驟（如表1所示）：

步驟1（如圖5）：先令F1=20 N，F2=0，計算機模擬得到繩子張力T1;

步驟2（如圖6）：再令F1=0，F2=8 N，計算機模擬得到繩子張力T2;

步驟3（如圖7）：令F1=20 N，F2=8 N，計算機模擬得到繩子張力T3;

【模擬過程二】：為了模型更具有普遍性，設定兩個物體的動摩擦因數不同，不妨令μ1=0.2，μ2=0.1.這一個步驟4（如圖8）可以考慮先讓學生猜想在這種情況下的繩子張力的表達式，然后開始模擬予以驗證學生的猜想。

4個步驟的設計意圖：步驟1和步驟2的模型學生已經掌握，可以從計算機模擬上進一步證實表達式的正確性，同時也為步驟3得到表達式做好鋪墊。步驟3是關鍵，從數值模擬上得到結果，而且數字15+2=17，讓學生有非常強烈的視覺刺激，容易過渡到猜想得到步驟3對應模型的表達式。得到步驟3的表達式之后，授課教師要對公式做個解釋：兩邊分別對物體的拉力都會傳到給中間的繩子張力，那么根據生活經驗容易想到，兩邊拉力對中間繩子的影響應該是越來越緊，因此，體現在公式中，應該是每個拉力傳遞給中間繩子的拉力進行相加，即取加號。

進一步地，授課教師引導學生合理外推，想要得到步驟4模型對應的表達式，可以先讓學生猜想，觀察個別學生有得到正確表達式之后，安排學生動手算出結果，然后教師再進行數值模擬，與學生結論進行對比，讓學生獲得成功的喜悅，同時進一步鞏固學習成果。需要特別提醒的是，在分別求兩物體合外力時，要注意摩擦力的方向問題。

4? 結果論證

如果只是單憑猜想得出結論而沒有找到理論依據，課堂總結的結果并不能令人信服。借助學生之前算好的結果，進一步往下化簡：

F1-F2-μ1m1g-μ2m2g=（m1+m2）a? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

T-F2-μ2m2g=m2a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

聯立上兩式，可得：

T=F2+μ2m2g+m2a

=F2+μ2m2g+m2

=+

=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

上式T的表達式可理解為：分別先求出物體m1和物體m2受到的外力F1合和F2合，然后可看成外力F1合和F2合單獨存在時傳遞給繩子的張力進行求和得到。特別地，當步驟3中模型的動摩擦因數相同時，即μ1=μ2=μ時，T的表達式可以退化為：

T=+

=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式（4）也滿足運動的兩物體之間的一般表達式，證實從數值模擬結果得出的猜想結果的正確性，符合一般規律。

5? 舉一反三

在課堂教學過程中，讓學生立即應用所學結論解決實際問題是學生掌握知識要點的必要手段。在教學設計中安排了一道稍有變形的例題，讓學生應用課堂得到的連接體模型中兩物體間相互作用力的一般結論解決問題，進一步鞏固課堂成果，提升學生思維。

例題：兩物體質量分別為m1=2 kg， m2=1 kg，放置在滑動摩擦因數為0.25的水平地面上。現用F=20 N的力沿水平方向成θ=37°的角去推m1物體，如圖9所示，求m1對m2的作用力。

在課堂練習中，設計兩個環節：（一）理論計算，學生套用課堂總結公式，帶入數值計算，得出結果;（二）利用有限元軟件，根據本例題物理情境建立有限元模型，現場設置例題中的參數，展示現場模擬過程，模擬結果與學生計算結果進行對比。

【環節一】學生動手，理論計算

第一步先求出物體m1在運動過程中受到的合外力：

F1合=Fcosθ-μ（m1g+Fsinθ）=8 N

第二步在求出物體m2在運動過程中受到的合外力：

F2合=μm2g=2.5 N

第三步應用公式（4）可以得出最后結果：

N=+=+N=N

【環節二】有限元仿真模擬

本節課嘗試利用有限元軟件解決實際問題，本例題也必須通過有限元模擬得出結果，形成對比，加深印象。圖10給出了本例題的有限元模擬結果。在模型中，設置測量參數有物體運動的加速度和兩物體之間的相互作用力。從圖6中可以看出，本題的加速度為1.88 m/s2，兩物體之間的相互作用力為4.33 N，與學生計算結果相吻合。

在本例題中，除了鞏固課堂成果之外，還有意設計了本例的變形：第一，兩物體相同滑動摩擦因數的情況下，平時教輔總結的二級結論公式不能使用，讓學生在錯誤條件應用中進一步加深對公式應用理解;第二，改成斜向作用力推物體，看似一個外力作用在系統上，但實際上要當成系統受到兩個水平的合外力作用，即m1上的水平合力與m2上的水平合力。通過一道最為普通的情況例題總結出連接體物體間相互作用力的一般表達式，然后通過有限元模擬得出結果，進一步加深學生對公式應用的理解，達成課堂預設效果;第三，通過本例題讓學生明白一個道理：學習物理知識，必須要先掌握物理的內在規律與本質，一些二級結論的應用必須是建立在掌握規律的基礎上再靈活應用。

6? 總結反思

新課程標準要求教師促進學生全面發展，提升學生的學科核心素養。如何在日常授課中提升學生的學科核心素養是一直努力的方向。本節課基于實際問題情境，以牛頓第二定律為知識儲備基礎，嘗試以數值模擬軟件為工具，以解決實際復雜問題為載體，培養學生解決實際問題的能力和物理科學論證能力，以期達到提升學生學科核心素養的目的。

對于運動過程中兩物體之間的相互作用力問題的求解，“先整體后隔離”的方法是學生必須要熟練掌握的基本方法。本文從數值模擬角度引發學生猜想得出了在運動過程中兩物體之間的相互作用力的一般表達式，僅僅是幫助學生換個思維角度來思考力學問題，通過這個過程啟發學生多去總結各個模型的物理規律和尋找各個物理規律背后的科學論證，提升學生的物理思維品質。倘若學生能靈活應用之，則也能高效地解決此類問題。

參考文獻：

[1] 魏榮榮. 利用DISLab改進牛頓第二定律實驗裝置[J]，實驗教學與儀器，2021，38（5）.

[2] 高嵩，田宇，邵夢媛. 基于推理的“牛頓第二定律”教學思考[J]，物理教學探討，2021，39（3）.

[3]黃汝瑜，丁益民，楊悅，等.巧用智能手機近程傳感器驗證牛頓第二定律[J]，湖南中學物理，2019，34（10）.

[4] 陳新光，范功懷，林欽. 基于有限元法的安培力實驗探討[J]，物理教學探討，2020，38（10）.