基于教學創新形式下逆矩陣的教學實踐

王俊美，張超，田祥，朱柘琍

（山東農業大學 信息科學與工程學院，山東 泰安）

一 問題的提出

線性代數是高等學校理、工、經、管、農林各專業的一門重要的數學基礎課程，用于提供自然科學和工程技術各領域的數學工具，對于培養大學生的計算和抽象思維能力十分必要。抽象性與復雜性是該門課程兩大特點，經過長期觀察思考、總結教學經驗，發現線性代數教學中存在以下問題：

1.大部分學生通過高等數學的學習，具備了一定的數學能力，但學習目的性、數學應用能力等方面還有待提高；

2.教學內容長期固化，教學案例陳舊單調；

3.教學方法、手段落后單一，教學過程以教師為主；

4.考核方式單一，不能全面考查學生能力。

二 解決的具體方法

為了深入貫徹習近平總書記關于教育的重要論述，落實高校思政與教學結合的根本任務，促進信息技術與教育教學融合創新發展，引導廣大教師潛心教書育人，爭做“四有”好老師，我校立足農林專業，打通課程教學中不同要素的內在壁壘，注重現代信息技術與教育教學深度融合，創新教學理念、更新教學內容、優化教學方法與手段、完善教學考核與評價，積極探索智慧教育新形態。

（一） 創新思路

1.教學資源立體化

教材資源立體整合，新編教材、配套學習指導和同步訓練冊、線上線下學習資料，資源豐富保證學生線上線下隨時隨地深入學習與練習。

圖1 教學資源

2.教學內容豐富化

在保留基本概念和基本方法的前提下，增加課程思政、農林類各專業的實際實驗案例等，增加相關軟件的使用，使學生學習知識的同時，學會應用。

圖2 教學內容

3.教學方式多元化

采用雨課堂混合式教學模式，擴展課堂維度，創建以學生為中心的智慧教學課堂, 實現線上線下相結合的教學模式，全方位學習，引導學生回歸學習本質。加強應用案例教學，開展多種形式的數學建模訓練，學以致用。

圖3 教學方式

（二） 教學模式

構建知識引領、思政育人、創新培養多元融合的線性代數育人體系。采用雨課堂混合式教學為主，創建以學生為中心的智慧教學課堂,引導學生回歸學習本質, 培養學生自主學習。

（三） 教學活動與組織

（1）課前。發送預習材料，包括中國大學MOOC、微課視頻、學銀在線等相關教學視頻、概念產生背景、思考題等。

（2）課中。發布隨堂練習，借助雨課堂配合課堂講授。

（3）課后。課程內容模塊化，每講完一個模塊，安排學生運用所學知識進行數學建模，掌握線性代數在不同領域的應用。

（四） 教學評價

診斷性評價、形成性評價、總結性評價相結合，考核方式多元化。

（1）線上學習評價（占總成績10%），包括預習（4%）、雨課堂答題（6%）。

（2）過程考查（占總成績30%），包括課后作業（10%）、隨堂測驗（10%）、課堂考勤（10%）。

（3）傳統筆試（占總成績50%）。

（4）綜合評價（占總成績10%），包括撰寫與本課程有關的小論文、學習體會、建模等。

三 課程實施

作為創新活動的實踐，下面以逆矩陣為例，我的課堂實施如下圖[1-3]。

圖4 實踐過程

（一） 視頻引入：播放微視頻“數學的力量”[4]

“數學的力量”敘述了王小云教授為了國家的各個方面更安全，人民的生活更幸福，在密碼學方面做出了卓越的貢獻。

設計意圖：采用小視頻的方式，讓課堂教學具備應用氣息，這種貼合實際的點綴可以激發學生的學習興趣，讓這門抽象的課程帶有一些趣味，同時融入了課程思政，達到了“潤物細無聲”的效果。

教師策略：教師播放微視頻，學生觀看微視頻，教師提出矩陣在密碼學中的重要地位，同時引導啟發思政元素：數學家的科學精神、學術貢獻及人格魅力，以此激發學生對科學探索的使命感和責任感，樹立科學觀念。

（二） 理論教學

1.與數的運算做類比

設計意圖：將陌生的逆矩陣的定義與熟悉的數的乘法運算作類比，建立新舊知識間的聯系，引導學生探究逆矩陣。

教師引導啟發：提出本次課的研究主題-逆矩陣。

2.啟發探究，形成“逆矩陣”定義，提出問題

定義1 設A是n階矩陣，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A可逆，并稱矩陣B是A的逆矩陣。

數學實驗法，利用現代信息化教學模式，在線性代數教學中適當地引入數學軟件MATLAB，它集圖示和精確計算于一身，在應用數學、物理、化工、機電工程、醫藥、金融和其他需要進行復雜數值計算的各個領域得到了廣泛應用。

比較兩種方法的優缺點，強調雖然數學實驗法簡便但基本功不能丟。

6.講解推論

推論1 若n階方陣A,B,滿足AB=O, 且|A|≠0, 則B=O.

推論2 若n階方陣A滿足AB=AC, 且|A|≠0, 則B=C。

教師和學生合作推導(1)，學生自己推導(2)，強化逆矩陣的運算意義，呈現提出問題、解決問題的完整課堂結構。

設計意圖：前后呼應，強調有了逆矩陣相當于矩陣有了類似于數的除法運算，讓學生切實感受到逆矩陣的消去作用。

推論3設A、B是n階方陣，若AB=E，則必有BA=E.與定義判定方陣可逆相比，推論3判定方陣可逆，計算過程減少一半！為判定抽象方陣可逆提供了依據。

（三） 案例教學

A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

問消息傳遞是怎么完成的[5-6]?

給出逆矩陣在生活中應用的一個實例：“希爾密碼解密問題”在課前準備視頻中同學們已經了解了希爾密碼的由來和組成。通過這個例子讓同學們看到了所學數學知識的實際應用，真正體現了數學的工具作用。

（四） 練習游戲

小組討論：老師給學生發了一封密信：APAF，約定：消息的每一個英文字母與整數0-25建立如下對應關系

A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

討論結果：LOVE(融入課程思政：老師愛你們！)

先以數學家笛卡爾和瑞典公主克里斯汀的愛情故事作為游戲的引入，讓學生體驗到數學的浪漫，真正感受到了數學的魅力，再開展密碼游戲。

（五） 總結

1.歸納總結，完善知識結構

（1）逆矩陣的定義；

（2）方陣可逆的充分必要條件（重點）；

（3）逆矩陣的應用。

2.提煉思想方法

類比的數學思想、由抽象到具體，特殊到一般的思想。

根據課堂實施過程總結本次課的重難點、學生掌握情況，讓學生交流學習心得，從而促使教學相長。

（六） 作業與探究

3.利用書籍、網絡等資源查詢逆矩陣的應用，以小組為單位提交一份報告。

課后探究是教學實施過程中必不可少的部分。有了課后探究，學生才能真正掌握課程內容，達到學以致用的目的。本次課要求學生課后完成探究作業作為過程性評價的一部分。

四 教學創新效果及成果

（1）通過實施教學改革創新，課堂講授富有吸引力，課堂氣氛融洽，學生思維活躍，深度參與課堂。學生知識、能力與思維得到發展，有利于實現教學目標的達成。

（2）課程思政融入課堂教學，將知識內含的精神和價值外化為教學實踐，內化為學生的精神涵養和價值追求。

（3）教師參加各種教學比賽、論文、項目及學生數學建模、數學競賽、實踐創新項目，成果顯著，在相關獲獎數量、獎項層次及成績方面，都有所提升。

（4）學生評價：

（a）在近5年的學生評教中，評教成績位居前列。

（b）每學期末隨機發放的累計近2000份在線調查問卷顯示，學生對線性代數課程教學的滿意度達到98%以上。