概率論與數理統計結合MATLAB軟件的教學探討

黃丹，劉雙花，龍法寧

（1.玉林師范學院 計算機科學與工程學院，廣西 玉林；2.百色學院 數學與統計學院，廣西 百色）

一 引言

《概率論與數理統計》是研究和揭示隨機現象統計規律的基礎學科，本課程包含兩大部分，一部分是理論基礎的概率論部分，另一部分是數理統計方面的實際應用。它的應用十分廣泛，包括工程技術、社會科學、自然科學、工農業生產等技術領域。得益于計算機學科的發展以及相關的統計、數學軟件的開發，《概率論與數理統計》也得以迅速發展，其應用范圍也在不斷擴大。《概率論與數理統計》這門課程傳統的教學方式主要是口授筆演，如果教師依然采用傳統的教學方式，學生被動地學習，參與度低，不能引起學生的興趣，從而缺乏互動性和操作性，使得抽象的內容學生難以理解，課堂教學質量達到事倍功半的效果，還會使學生的知識、能力與時代脫節。因此，這就需要教師們改變傳統的教學方式，結合實驗教學，改革教學方法，探索教學新路徑。通過讓學生自我思考、自我分析，自主動手實驗操作，從而促進學生綜合應用能力的發展，教師才能真正提高教學質量[1-2]。

Matlab程序中包含了功能強大的庫函數，內置調用預定義函數和工具箱，如曲線擬合工具箱、支持向量機等，具有界面可視化、操作簡單等優點，課堂上結合MATLAB軟件進行案例教學是提高教學效率與質量的有力途徑。本文結合案例：正態分布的概率密度函數曲線、極大似然估計法、最小二乘法等，通過Matlab軟件作圖與數值計算，減少學生繪制曲線時間，簡化數據分析過程，從而提高課堂教學質量[3-4]。

二 MATLAB軟件在《概率論與數理統計》中的應用

（一） 《概率論與數理統計》結合MATLAB軟件的必要性

《概率論與數理統計》是理工科學生必修的課程之一，在新工科的背景下，我們需要培養學生學會將數學思維、方法與實際應用有效的結合，學以致用，將學生培養成創新型現代化社會所需人才。目前，大多數教師對于《概率論與數理統計》課程的授課方式還是板書演算講解，教學手段落后，學生對于課程中蘊含的抽象概念難以理解，這容易使學生對知識點掌握不牢，課堂上教師教得“辛苦”，學生聽得“痛苦”，教學效果也就不盡如人意。在傳統教學理念中，存在這樣的誤解：讓學生死記硬背公式，會靈活套用公式就是對知識點的掌握。但在《概率論與數理統計》課程中涉及的概念繁多，理論抽象，計算復雜繁瑣，想讓學生將全部的知識長久的記憶在腦海實非易事，并且死記硬背的教學方式必然會導致學生覺得枯燥乏味，對課程中的基本思想方法難以掌握，不利于培養學生解決實際問題和創新能力。在這種背景下，我們認為有必要將課堂教學生動形象化，借助現代化教學手段與MATLAB軟件結合起來，課程教學改革的目的在于通過實驗案例加深學生對相關知識點的理解、把握和應用，運用概率統計方法結合MATLAB程序語言得出數學問題的解，來提高學生的探索欲望和學習興趣，逐步培養學生的邏輯推理能力、抽象思維能力與實踐能力[5-6]。

（二） 正態分布概率密度函數曲線結合MATLAB的教學探討

正態分布又稱高斯分布，是一個非常重要的概率分布，也是許多數理統計方法的理論基礎。在現實世界中，正態分布是最常見的一種分布，大量的隨機變量都服從或近似地服從正態分布。由于正態分布應用的廣泛性和普遍性，因此，理解和掌握它相關的知識點就顯得尤為重要。 而傳統的教師口授知識點的教學方式，不能使學生很好地理解透徹。 但如果結合MATLAB軟件教學，利用MATLAB軟件對正態分布的概率密度函數曲線圖形可視化，將抽象難懂的知識點通過圖形將其表示出來，讓學生結合圖形來加深對知識點的理解， 那么教學效率、效果會事半功倍。

例1 分別繪制 (μ,σ2) 為（-2, 4），（0, 0.4），（0,4），（0, 40），（2, 4）時正態分布的概率密度函數曲線，理解正態分布的圖形特征。

解 在編輯窗口中輸入MATLAB代碼程序：

運行程序，得到效果如下圖1所示：

圖1 正態分布的概率密度曲線

從以上圖像上可以得到以下結論：（1）密度曲線關于x=μ對稱；（2）參數μ決定了曲線的位置，參數2σ決定了曲線的形狀。通過圖形直觀表示出來，加深學生對知識點的記憶與理解。

（三） 極大似然估計法結合MATLAB的教學探討

極大似然估計法的思想是德國數學家首次提出的，后來被英國統計學家費希爾進一步研究。其計算過程復雜且繁瑣，大部分計算容易出錯，通常復雜的計算會抑制思維的培養，從而使課程的教學本末倒置。因此要求學生熟練掌握一種計算軟件，利用 MATLAB 軟件可以將學生從復雜的運算中解救出來，節省課堂時間，將更多的精力放在對學生思維方式的培養上。

極大似然估計法一般用于區間估計，而MATLAB已經將其封裝好的一些常見分布極大似然估計的MATLAB函數（如表1），供給學者調用。

表1 常見分布極大似然估計的MATLAB 函數

接下來，通過實例說明極大似然估計法結合MATLAB的實現過程，以正態分布為例。

例2 從某廠生產的批量餅干中隨機地抽取15袋，稱得重量（以克計）如下：

416, 528, 398, 425, 448, 506, 488, 506, 509, 498,487, 486, 502, 508, 511, 478.

設該批餅干的重量近似地服從正態分布N(μ,σ2)，且μ,σ2未知，求μ和σ2的極大似然估計以及置信水平為0.9的置信區間。

解 在編輯窗口中輸入MATLAB代碼程序：

其計算結果為 mu =480.8750；sigma =38.3491；muci=464.0680, 497.6820; sigmaci =29.7076，55.1193. 因此μ=480.8750,σ2=38.3491, 在置信水平為0.9下μ和σ2的置信區間為[464.0680， 497.6820]和[29.7076， 55.1193]. 這表明在誤差可信程度為90%下估計該批餅干重量的均值在464.0680克與497.6820克之間，方差在29.7076與55.1193之間。

MATLAB本身內置強大的統計工具箱，可在較短的時間內檢驗計算結果，使數理統計分析擺脫了科學計算器落后計算工具的束縛。該教學改革方法豐富新穎，大大提高了學生學習本課程的興趣。

（四） 最小二乘法結合MATLAB的教學探討

最小二乘法是勒讓德( A.M. Legendre)于1805年提出的一種數學優化技術，主要原理是根據理論值與觀測值誤差平方和達到最小，對參數進行估計。在數據的統計分析中，常常需要研究因變量是如何依賴自變量，研究其相關性是不可或缺的。通過在直角坐標系中做散點圖的方式我們會發現很多統計數據近似一條直線，它們呈正相關或者負相關，這就可以采用線性最小二乘法擬合直線，將不具有確定函數關系的相關變量借助線性回歸函數來表示它們之間的統計規律。

例3 為了研究某一鐵制品制作過程中溫度x對產品得率Y的影響，測量數據如表2所示。

表2 x 與Y 的數量關系

求Y關于x的線性回歸方程。

解：由題意知，產品得率Y關于溫度x的誤差方程為此問題轉化為根據測量數據估計出參數從而得出Y關于x線性回歸方程。接下來，我們應用 MATLAB 程序進行求解。

（1）在編輯窗口中輸入MATLAB代碼程序：

得到散點圖2。

由圖2可知Y關于x存在線性關系。

圖2 x 與y 的散點圖

（2）編輯窗口中繼續輸入MATLAB代碼程序：

運行結果可得返回值 b0= -2.7394, b1=0.4830. 因此，最小二乘法擬合的一元線性回歸方程為

通過 MATLAB 程序實現對產品得率對溫度的直線擬合，可在有限的測量數據條件下描述產品得率隨溫度變化的特性，為實際應用提供依據。 基于最小二乘法的一元線性回歸擬合結合MATLAB軟件實現方法簡明、適用，可以讓學生直接進行實踐操作，圖文并茂的教學情境增強了學生的學習體驗，激發學生學習MATLAB軟件的樂趣，從而調動學生學習主動性，提高課堂教學質量。

三 結語

將MATLAB軟件結合《概率論與數理統計》課程教學是一種新的探索與嘗試，借助MATLAB軟件輔助教學，實現了數與形的結合，使學習內容更加直觀，創造了一個圖文并茂的生動直觀的教學環境，從而進一步提高了學生的學習積極性，豐富了課堂教學的表現手法。同時，還可以通過MATLAB軟件的數值計算功能簡化繁瑣的計算, 提高學生的數據處理能力和分析能力。這種理論教學與數學軟件相結合的教學模式，能引起學生對學科知識的興趣及探索欲望，并加深學生對理論知識的理解和記憶，能有效培養學生獨立思考、實踐操作各方面的能力，逐步培養大數據時代需求的創新型人才[7-8]。