課程思政元素融入線性代數的教學研究

張林麗 張晶晶 劉德兵 原乃冬

【摘要】逆矩陣是線性代數中一個重要的數學概念，本文基于加密電文的破解問題，運用問題驅動法和類比法構造出逆矩陣概念，激發學生的愛國熱情，培養學生的創新能力;利用研究式、類比式和啟發式的教學方法推導出矩陣可逆的充要條件和可逆矩陣的性質，培養學生科學嚴謹的態度，引導學生樹立正確的人生觀，提高學生提出、分析、解決問題的能力以及在學習中發現規律和總結規律的能力;運用啟發式教學，探討逆矩陣在求解矩陣方程和在保密通信中的應用，引導學生行事做人要遵紀守法，提高學生學習的興趣和應用知識解決實際問題的能力.本案例將課程思政元素與線性代數知識相結合，實現了在教學中立德樹人的任務.

【關鍵詞】 線性代數;逆矩陣;課程思政元素

【基金項目】本文系海南大學教育教學改革研究項目（項目編號：hdjy2150，hdjy2074，hdjy2106）;海南省高等學校教育教學改革研究項目（項目編號：Hnjg2021ZD-7）;海南大學應用科技學院教育教學改革研究項目（項目編號：HDYKJG202001，HDYKJG202005）.

線性代數是非數學類專業本科生學習的一門公共基礎課程，具有內容抽象、知識點多和邏輯嚴密等特點.為了提高學生的學習興趣，許多學者圍繞線性代數教學設計進行了研究[1-4].2016 年，習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上提出了“各類課程與思想政治理論課要同向同行，形成育才育人協同效應”之后，各高校紛紛開展關于課程思政的研究.教師在線性代數課程教學中恰到好處地增加一些思政元素，通過課程教學的精心組織和實施，既可以向學生滲透數學概念、公式、定理的形成和發展脈絡，培養學生嚴謹務實的認識論和科學觀，又可以從知識點中發掘哲學思想與元素，將一些理論內容與折射出的科學精神相融合，幫助學生樹立正確的人生觀、價值觀和世界觀，成為全面發展的高素質應用型人才.目前，一些研究者在這一領域進行了部分探究，指出了課程思政元素融入線性代數的必要性和重要意義[5-7].但是目前對課程思政元素融入線性代數的研究大都著眼于理論研究層面，如何將課程思政元素融入線性代數課堂教學中，如何將課程思政落到實處仍需要進一步探索[8].以學生為中心的教學設計，強調的是學生的主體地位，將以“教”為中心變以“學”為中心，可以提高學生學習的積極性和課堂學習效果.本文以逆矩陣這一節教學內容的講授為例，以學生為中心進行教學模型的合理設計，實現了線性代數教學中思政元素的融入，達到了于潤物無聲中立德樹人的教學目標.

一、課題引入

播放電視劇《永不消失的電波》中解密電文的一個片段，視頻播放完后，教師講解到：

為了保密起見，我們在發送電文時需要對電文加密，接收方再對其解密就能知道原電文的意思.以密碼學中的希爾密碼為例，其加密方式為：26個英文字母“A-Z”一一對應于自然數“1-26”.比如：我們要發送一份內容為“A B C”的明文電文，一般先使用列矩陣X=（1，2，3）T來表示它，X稱為明文矩陣;加密的方法是在X的左側乘以矩陣A，A稱為加密矩陣.設加密矩陣A=111011101，則B=AX=6，5，4T就是收到的密文矩陣.很顯然，已知加密矩陣A和密文矩陣B，要解密得到明文矩陣X就是求解矩陣方程AX=B.今天，老師也給同學們發來一封密信：B=988565775580160119145，秘鑰是：ABC BBA CDC，請猜猜老師想對同學們說什么呢？想成為密碼大師嗎？就讓我們一起來學習如何利用逆矩陣破解加密電文.

設計意圖：教師采用問題驅動法，將如何破解加密電文的問題作為引入，激發學生的學習興趣.《永不消逝的電波》是一部戰爭題材的影視劇，電視劇片段的播放能激發學生的愛國熱情，我們現在的幸福生活是無數烈士用生命和鮮血換來的，從而勉勵學生“不忘初心，牢記使命”，為祖國的繁榮昌盛而努力奮斗.

二、逆矩陣的定義

上一節的知識內容利用待定系數法求矩陣方程AX=B的解時很麻煩，我們是否可以借鑒一下代數方程ax=b求解的思想方法呢？在代數方程ax=b中，當a≠0時，因為a·a-1=a-1·a=1，其解為x=a-1b.在矩陣的運算中，單位矩陣E相當于數的乘法運算中的1，因此，為了求解矩陣方程AX=B和XA=B，希望能找到一個矩陣A-1，滿足AA-1=A-1A=E，使得AX=B的解為X=A-1B，以及XA=B的解為X=BA-1.所以有如下定義：

定義 [9]對于n階矩陣A，如果存在一個n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，簡稱矩陣A可逆;并稱矩陣B為A的逆矩陣，記作：A-1，即B=A-1，于是有AA-1=A-1A=E.

說明：（1）可逆矩陣是方陣;

（2）A，B互為逆矩陣，即A-1=B，B-1=A;

（3）A的逆矩陣記為：A-1，不能寫成1A;

（4）A可逆，則|A|≠0;

（5）A的逆矩陣是唯一的;

（6）E-1=E;On不可逆.

設計意圖：破解密碼即求解矩陣方程，教師帶領學生類比代數方程構建出逆矩陣的定義，讓學生領悟到數學概念是由求解實際問題的需要而構建出來，而不是憑空產生的，幫助學生弄清逆矩陣概念的來龍去脈，激發學生的創造力，培養學生嚴謹、務實的認識論和科學觀.為了強化學生對逆矩陣概念的理解，我們給出六點說明，培養學生科學嚴謹的態度.

三、矩陣可逆的充要條件

由E-1=E;On不可逆，說明并不是每一個方陣都可逆.教師提問：

（1）方陣可逆的充要條件是什么呢？我們知道方陣A的行列式是一個數，類比在代數論中，數a“可逆”a≠0，是否有方陣A可逆|A|≠0？

（2）當方陣A可逆時，如何來求方陣A的逆矩陣呢？

教師帶領學生回憶上節課所講的伴隨矩陣A*的一個基本性質：AA*=A*A=|A|E，它離我們所求的AA-1=A-1A=E只有一步之遙，這一步是需要條件的，請同學們想一想應該是什么呢？進一步啟發學生由AA*=A*A=|A|E推導出：A可逆的必要條件是|A|≠0;又因為A可逆時，一定有|A|≠0，于是得到教材中的定理1：

定理1（可逆矩陣的判別定理）[9]n 階方陣A可逆的充要條件是|A|≠0，且當A可逆時，有A-1=1|A|A*，其中A*為A的伴隨矩陣.

注：利用定理1求逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法.

設計意圖：教師利用研究式和類比式的教學方法，有利于學生理解定理，同時培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.通過定理的充分條件和必要條件的推導，培養學生嚴謹的科學態度.由矩陣的可逆與不可逆，引出“對立和統一”的辯證關系，因對立能由此及彼，因統一能相互利用，構成了線性代數豐富的知識體系.

例1 已知A=1958，求A-1.

總結 當abcd≠0時，abcd-1=1ad-bcd-b-ca.

口訣 主對調、次添負、乘行列式分之一.

注意 此口訣只適合于二階方陣求逆矩陣.

例2 已知A=4-13-2123-10，求A-1.

總結 用伴隨矩陣法求逆矩陣的步驟：

（1）計算行列式|A|，當|A|≠0時，方陣A的逆矩陣存在;

（2）求伴隨矩陣A*;

（3）利用公式A-1=1|A|A*，求出A-1.

設計意圖：讓學生由一般方法總結出特殊矩陣的逆的求法公式，使計算簡潔的同時又培養了學生在學習知識過程中獲得的成就感.將全班分成4組，讓每個小組合的學生分別計算行列式|A|、伴隨矩陣A*的三行，最后教師帶領學生一起算出A-1，目的是減少課內簡單計算所用的時間，充分突出教學重點，分散教學難點，還能讓學生獲得到團隊合作的成就感.學生由例2的解題過程可以總結出用伴隨矩陣法求逆矩陣的三步驟，在第一章學過行列式的計算，在上節課學過伴隨矩陣的求法，這樣就達了用舊知識解決新問題的目的.對比例1 和例2的解題過程，可以看出：隨著矩陣階數的增加，用伴隨矩陣法求逆矩陣的計算量將會大大增加，于是在第三章我們會介紹求逆矩陣的新方法——初等變換法.

四、抽象矩陣可逆的判定

從前邊的研究中可知定義法和伴隨矩陣法各有其利弊，我們將其綜合起來可否找到一條捷徑呢？

帶領學生分析：AB=E|A||B|=1|A|≠0，|B|≠0方陣A，B都可逆，且B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1，所以只要滿足AB=E就能得出A，B互為逆矩陣的結論.于是得到如下推論：

推論 [9]：若同階方陣A，B滿足AB=E （或BA=E），則A-1=B，B-1=A.

此推論說明：如果要驗證A是否可逆，且矩陣B是否為A的逆矩陣，那么只要驗證AB=E或BA=E中的一個就行，該方法稱為驗證法.

例3 設方陣A滿足A2-A-2E=0，證明A可逆，并求A-1.

設計意圖：教師采用啟發式教學，利用分析法從結論出發尋求每一步推導的思路，培養學生的邏輯思維能力，并將研究問題和解決問題貫穿教學的始終.

五、逆矩陣的運算性質

教師讓學生利用推論驗證：若矩陣A，B可逆，常數k≠0，則A-1，kA，AB，AT是否可逆？并驗證：（A-1）-1=A，（kA）1kA-1=E，（AB）-1（B-1A-1）=E，（AT）（A-1）T=E，|A-1||A|-1=1.進而得出教材中逆矩陣的5條運算性質[9]：

（1）若矩陣A可逆，則A-1也可逆，且（A-1）-1=A;

（2）若矩陣A可逆，數k≠0，則（kA）-1=1kA-1;

（3）兩個同階可逆矩陣A，B的乘積是可逆矩陣，且（AB）-1=B-1A-1;

注：此性質可推廣到任意有限個同階可逆矩陣的情形，即若A1，A2，…，An均是n階可逆矩陣，則A1A2…An也可逆，且（A1A2…An）-1=A-1n…A-12A-11.

（4）若矩陣A可逆，則AT也可逆，且有（AT）-1=（A-1）T;

（5）若矩陣A可逆，則|A-1|=|A|-1.

例4 若三階方陣A的伴隨矩陣為A*，已知|A|=12，求|（3A）-1-2A*|.

設計意圖：教師采用啟發式教學法，讓學生利用推論得出逆矩陣的5條性質，提高學生在學習中發現規律和總結規律的能力，同時培養學生縝密的思維習慣和嚴謹求實的科學態度.設計例4的目的是鍛煉學生利用性質進行計算的能力.

六、逆矩陣的應用

（一） 逆矩陣在解矩陣方程中的應用

含有未知矩陣X的方程稱為矩陣方程，有如下三種標準形式的矩陣方程[9]：

（1）矩陣方程AX=B，其中A為n階可逆方陣，則AX=B有唯一解：X=A-1B;

（2）矩陣方程XA=B，其中A為n階可逆方陣，則XA=B有唯一解：X=BA-1;

（3）矩陣方程AXB=C，其中A為n階可逆方陣，B為m階可逆方陣，則AXB=C有唯一解：X=A-1CB-1.

例5 利用逆矩陣求解線性方程組4x1-x2+3x3=2-2x1-x2+3x3=03x1-x2=1.

設計意圖：與引入相呼應，強調有了逆矩陣相當于矩陣有了類似于數的除法運算.解釋之所以有三種標準形式的矩陣方程，是因為矩陣乘法不滿足交換律，即空間位置不能變，但時間次序可以變.教師可順勢引導學生行事做人要遵紀守法.例5的求解過程用到例2的結果，設計的目的是減少課堂上計算的時間，將授課重點放在掌握解決問題的方法和數學的思維方法上.例5講解完后，

教師提問：用逆矩陣求解矩陣方程的條件和Gramer法則的條件是否相同呢？條件是相同的，因為方陣A可逆的充要條件是|A|≠0.教師繼續提問：矩陣的乘法一般不滿足消去律，兩個非零矩陣的乘積也可能是零矩陣，即A，B，C是同階方陣，由AB=AC不一定能推出B=C，由AB=O不一定能推出A=O或B=O.今天學習了逆矩陣之后，請同學們思考一下，要使得推導關系成立，需要加什么條件呢？當方陣A可逆時，在等式AB=AC兩邊左乘逆矩陣A-1則可得到B=C.在等式AB=O兩邊左乘逆矩陣A-1則可得到B=O.該提問的設計有利于培養學生“立體、全面地學”的學習習慣，以及構建前后知識的關聯.

（二）逆矩陣在保密通信中的應用

已知加密矩陣A和密文矩陣B，要解密得到明文矩陣X就是求解矩陣方程AX=B，而當加密矩陣A是可逆矩陣時，可得明文矩陣X=A-1B.所以，雙方只需要事先約定好加密矩陣A，當接收方收到加密電文時，利用逆矩陣A-1即可進行解密.

還記得前文老師發來的密信嗎？它的答案是：I LOVE YOU.教師進一步提問：是否有其他加密方式呢？因為矩陣方程有三種標準形式，解密的過程就是求解矩陣方程的過程，所以還可以用加密矩陣A右乘明文矩陣X，也可以尋找兩個可逆矩陣A和A1，分別左乘和右乘加密AXA1.接著，教師布置今天的一道作業題：請同學們利用今天所學的知識，嘗試給老師或者同學發一封有趣的密信.

七、小結

思政元素的融入既要不失時機，又要潤物無聲.逆矩陣的定義、性質和定理中，研究的主體都是互逆矩陣A和B，其實單位矩陣看似可有可無，但其可承載前所未有的重任，如AA-1=A-1A=E，承擔著連接兩個互逆矩陣的重要橋梁作用;在“已知A2-A-2E=0，證明A可逆，并求A-1”的解題過程中，等位矩陣E也是哪里需要哪里搬.教師也要引導學生樹立正確的人生觀，我們要做那個“E”，低調做人，認真做事，時刻準備著，哪里需要哪里去;做一名有思想、有抱負的人才，在祖國和人民需要的時候，做出應有的貢獻.

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