泰勒公式在極限運算中的研究探討

曾鵬 李志青

【摘要】泰勒公式是微積分理論的重要內容，本文首先應用泰勒展開式推導出函數代數和的等價無窮小，其次探索了函數代數和的等價無窮小在求極限上的應用，最后通過研究生入學考試試題給出了具體的應用與解題技巧.

【關鍵詞】泰勒公式;等價無窮小;極限

【基金項目】本文系廣東省青年創新人才項目.（項目編號：2020KQNCX132）

極限是高等數學中的重要概念，高等數學中的很多概念都是用極限語言定義的.如：函數的連續性，導數，定積分，等等.極限是一種很重要的思想，實際生活中很多沒辦法量化的問題，如不規則圖形的面積、周長等都可以通過求極限來解決.在學習高等數學的過程當中，有關于極限的計算一直是我們學習的重點以及難點，主要是由于極限的題目靈活多變，方法也多種多樣，如定義法，零因子消去法，無窮大量約去法，洛必達法則等.當然，對于一些復雜的題目，在短時間內解決有一定的難度，并且對于不同的題目，如果選擇的方法不恰當，也會導致題目解不出來.對于一些復雜題型的極限計算，我們發現利用泰勒公式計算過程簡便，并且不容易出錯.因而我們有必要探討泰勒公式在函數極限運算中的一些研究.

泰勒公式是微積分理論的重要內容，主要的思想就是用簡單的多項式近似表達較復雜的函數，在解決函數極限、不等式.近似計算等方面有著廣泛的應用，解決了用微分計算函數值或函數增量精確度不高的問題，也為我們提供了一種誤差的估計公式，并實現了對誤差的一種有效控制.本文著重應用泰勒展開式推導出函數代數和的等價無窮小，從而探索出等價無窮小代換往往不適用于函數的代數和求極限的本質，并通過多年教學經驗和考研數學的研究，總結了泰勒公式在極限應用方面的一些解題技巧.

一、一道例題引發的思考

例1 求limx→0tan x-sin xsin3x

錯解 當x→0時，tan x～x，sin? x～x

因此原式=limx→0x-xx3=limx→00x3=0.

錯誤原因是等價無窮小量代換求極限只適用于乘除法運算，不適用于加減法運算.

下面我們用一般方法來求上例極限.

正解 當x→0時，1-cos x～12x2，sin? x～x

∴limx→0tan x-sin? xsin3x=limx→0sin? x1cos x-1sin3x=limx→01-cos xsin2xcos x=limx→012x2x2cos x=12.

在課堂上，我們常常給學生們強調等價無窮小量代換求極限問題只適用于加減法，并不適用于乘除法運算，可能很多同學不太明白其中的原理.下面我們用泰勒展開式來尋找其根源.

在學習泰勒公式之前，我們先來了解下它產生的背景.在學習微分的時候，我們已經學習過一個近似公式：f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0），此時，我們可以把函數f（x）用一次函數去逼近，但是為了提高精度，可以利用洛必達法則和二階導數的定義，可以把上面的一次函數修正為二次函數去逼近，即f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2，以此類推，我們就可以得到n階泰勒多項式了.總的來說，泰勒展開其實就是用簡單的多項式來近似表示在x0鄰域內的函數，并且如果要提高精度，那么展開的項數也要增多.

定理1[1] 泰勒公式

設函數f（x）在區間（a，b）上n+1階連續可導，且x0∈（a，b），則對任意的x∈（a，b）有：

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2+…+1n！f（n）（x0）（x-x0）n+Rn（x）其中，Rn（x）=fn+1ξ（n+1）！（x-x0）n+1，這里ξ介于x和x0之間.

當上面x0=0時.我們得到泰勒公式的一個特殊情況，稱之為麥克勞林公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+12！f″（0）x2+…+1n！f（n）（0）xn+o（xn）.

定理2 β與α是等價無窮小的充分必要條件是β=α+o（α）

證 必要性 設α～β，limβ-αα=limβα-1=0，∴β-α=o（α），即β=α+o（α）.

充分性 設β=α+o（α），limβα=limα+o（α）α=1+limo（α）α=1，∴α～β.

如果f（x）和g（x）為x→0時的無窮小量，那么f（x）±g（x）也為一個無窮小，因此，由定理2可以知道，我們需要找到f（x）±g（x）的等價無窮小函數h（x），使得f（x）±g（x）=h（x）+o（x），這時泰勒展開式就為我們提供了尋找h（x）的方法.

如例1，我們可以給出一種簡潔的方法：

由于tan x=x+x33+o（x3），sin x=x-x33！+o（x3），則tan x-sin? x=12x3+o（x3），

即tan x-sin? x～12x3x→0，

則limx→0tan x-sin? xsin3x=limx→012x3x3=12.

那么例1錯解的原因在哪呢？我們發現主要是因為tan x=x+o（x），sin? x=x+o（x），從而tan x-sin? x=0+o（x）.換句話說，這時的h（x）=0，這顯然是不合適的.也就是說，我們需要利用泰勒展開公式找到一個不等于0的h（x）與函數的代數和進行無窮小量等價代換，再去求極限，從而可以達到我們的簡化目的.

二、常見初等函數的泰勒公式

泰勒展開公式是一元微分學的重要公式，也是考研數學中常考知識點.泰勒展開公式的主要作用是將不同類型的復雜函數都能轉化為更容易處理的冪函數，從而使復雜的極限問題得到化簡.原則上講，泰勒展開公式是求極限問題中的通用方法，相比于洛必達法則更具有優勢，下面我們給出一些常見初等函數的泰勒展開公式：

1.ex=1+x+12！x2+13！x3+…+1n！xn+o（xn）

2.sin? x=x-13！x3+15！x5+…+（-1）n1（2n+1）！x2n+1+o（x2n+1）

3.cos x=1-12！x2+14！x4+…+（-1）n1（2n）！x2n+o（x2n）

4.（1+x）a=1+ax+a（a-1）2！x2+…+a（a-1）…（α-n+1）n！xn+o（xn）

5.ln（1+x）=x-12x2+13x3-…+（-1）n-1nxn+o（xn）

6.tan x=x+13x3+215x5+o（x6）

7.arcsin? x=x+16x3+340x5+o（x6）

8.arctan x=x-13x3+15x5+…+（-1）m-12m-1x2m-1+o（x2m）

9.11-x=1+12x+3·14·2x2+…+（2n-1）！！（2n）！！xn+o（xn）

注：根據sin? x與x 是互為等價無窮小，所以sin? x的泰勒展開公式的首項為x，再結合“跳著走”規律記住sin? x的規律，也可以記住cos x的泰勒展開公式.arcsin? x的導數為11-x2在結合11-x的泰勒展開公式即可記住.

下面，我們通過一個例子來學習泰勒公式在函數極限中的一個應用.

例2[2] 求limx→0xsin? x-ln（1+x2）e-x22-cos x

解 ∵sin? x=x-13！x3+o（x3），ln（1+x2）=x2-12x4+o（x4）.

e-x22=1-x22+12！-x222+o（x4），cos x=1-12！x2+14！x4+o（x4）.

∴xsin? x-ln（1+x2）=xx-16x3-x2-12x4+o（x4）=13x4+o（x4）～13x4，

e-x22-cos x=1-x22+18x4-1-x22+124x4+o（x4）=112x4+o（x4）～112x4，

因此，原式=limx→013x4112x4=4.

在運算的過程中，我們常常會考慮一個問題，就是展開到第幾項才合適呢？經過分析我們發現，只要展開到分子分母同時出現不為0（消不掉）的最小次數n即可，一般情況下，要求的極限是x→0時的極限，就算有時x不是趨于0，也常常可以通過換元方法變成上述類型.使用泰勒展開式，我們期望得到的式子是多項式除以多項式的形式，并且最后是想要分子的最低次數和分母的相同，以便能夠在趨于0的時候可以約去，從而得到一個常數（帶一個無窮小量），也就是說，我們展開的最終目標的形式應該是：limx→0f（x）=limx→0Axk+oxkBxk+oxk.

我們見到的極限題目，要么乘除，要么加減，因此，我們把這兩類題型歸結為“AB”型、“A-B”型以及這兩者的結合.

1.“AB”型

對于“AB”型，我們利用泰勒展開式可以遵循“分式上下同階原則”，簡單地說就是如果能夠確定分母（分母）的x的次冪后，就要把分子（分母）展開到x的同次冪.

例3 求limx→0ex（x-2）+x+2x3

解 ∵ex=1+x+12x2+16x3+o（x3），

∴ex（x-2）+x+2=1+x+12x2+16x3+o（x3）（x-2）+x+2=16x3+16x4+o（x3）～16x3.因此，原式=limx→016x3x3=16.

解析 本例中因為分母是x3，根據“上下同階”原則，因此我們需要把分子也展開到x3，但在此題中，我們需要注意的是應當要把所有涉及x的立方項都要展開出來，所以在對ex進行泰勒展開時，我們要展開到x的立方項，主要是和后面因子中常數項2相乘會出現x的立方項，這樣才能恰好出現所有的x的立方項，在講解的過程中，我們發現很多同學由于展開得不夠，出現了以下的錯誤：

錯解 ∵ex=1+x+12x2+o（x2）

因此，原式=limx→01+x+12x2（x-2）+x+2x3=limx→012x3x3=12.

例4 求limx→0sin? x-xcos xsin3x

正如上面所說，希望分子分母同階（或分子階數比分母更高），一般來說，我們先確定分母或者分子的階數，在按照所給的階數展開另一部分，例4中顯然分母是三階的，因此我們只要將分子也展開到三階即可，解法如下：

解 ∵sin? x=x-x33！+o（x3），xcos x=x-x32！+o（x3）.

因此，原式=limx→013x3+o（x3）x3=13.

2.“A-B”型

對于“A-B”型，我們利用泰勒展開式可以遵循“加減冪次最低原則”，簡單地說就是將A與B展開到它們的系數不相等的x的最低次冪為止.

例5 求limx→0x2e2x+ln（1-x2）xcos x-sin? x

解 ∵e2x=1+2x+o（x），ln（1-x2）=-x2+o（x3），cos x=1-12x2+o（x2），sin? x=x-16x3+o（x3）.

∴x2e2x+ln（1-x2）=x2（1+2x+o（x））-x2+o（x3）=2x3+o（x3）～2x3，

xcos x-sin? x=x-12x3-x+16x3+o（x3）～-13x3.因此，原式=limx→02x3-13x3=-6.

解析 首先觀察到分母是“A-B”型，根據“加減冪次最低原則”，因此我們只需展開到第一個不相等的冪次就可以了，從而分母我們就展開到了x的三次冪，然后整體就可以化為“AB”型，我們再利用“分式上下同階原則”，分子也要展開到了x的三次冪，因此我們就能夠確定展開的階數.

我們平時見到的大部分極限，除了有些我們作為常識的階數，大部分的分子分母我們還是很難看出它的階數的，一般“A-B”型的階數，我們采用的方法一般都是一項項比，直到沒法消去為止.

例6 求limx→0exsin? x-（1+x）ln（1+x）-12x2x3

解 根據分母知，分子需要展開到3階.首先考慮exsin? x=1+x+12x2+o（x2）x-x33！+o（x3）=x+x2+13x3+o（x3）

再考慮（1+x）ln（1+x）=（1+x）x-12x2+13x3+o（x3）=x+12x2-16x3+o（x3）

于是

exsin? x-（1+x）ln（1+x）-12x2=x+x2+13x3-x+12x2-16x3-12x2+o（x3）=12x3+o（x3）因此，原式=limx→012x3+o（x3）x3=12.

三、泰勒公式在考研數學極限中的應用

極限是考研數學中重要的題型，很多同學在面對復雜的極限計算時沒有思路，無從下手.下面我們利用泰勒公式在極限中的應用，對近年考研數學中的極限問題進行解答，讓同學更好地認識和理解泰勒公式在極限問題的計算過程和解題技巧.

例7 （2021年數學一考研真題）：

求limx→01+∫x0et2dtex-1-1sin? x

解 limx→01+∫x0et2dtex-1-1sin? x

=limx→0sin? x1+∫x0et2dt-（ex-1）（ex-1）sin? x

又因為∫x0et2dt=∫x0（1+t2+o（t2））dt

=x+13x3+o（x3），sin? x=x-13！x3+o（x3），

ex-1=x+12！x2+o（x2），ex-1～x，sin? x～x.

∴sin? x1+∫x0et2dt-（ex-1）

=x-16x3+o（x3）1+x+13x3+o（x3）

-x+12x2+o（x2）

=12x2+o（x2）～12x2，

即原式=limx→012x2x2=12.

解析 本例中通分后分母可通過等價無窮小量代換為x2，因此只要將分子展開至分母的階數x2項即可進行等價代換求極限.

例8 （2012年數學三考研真題）：求limx→0ex2-e2-2cos xx4

解 limx→0ex2-e2-2cos xx4=limx→0e2-2cos xex2-2+2cos x-1x4

=limx→0x2-2+2cos xx4.

又由于cos x=1-12！x2+14！x4+o（x4），∴x2-2+2cos x=x2-2+21-12x2+124x4+o（x4）=112x4+o（x4）～112x4.

因此原式=limx→0112x4x4=112.

解析 本例中沒有直接用泰勒展開公式對分子進行展開，而是先進行變形，將分子兩項“融合”在一起，再利用等價無窮小代換，最后在利用泰勒展開式進行運算.

四、結語

極限的計算一直是高等數學的重點和難點，也是考研數學必考的問題，對于復雜函數的極限問題，用簡單函數代替復雜函數是我們解決問題的關鍵點，而泰勒展開公式能夠將一切函數表示成冪級數的和，因此為我們提供了一個將復雜函數轉化為簡單函數的理論基礎，所以，牢固掌握泰勒展開公式，在解決函數極限問題上可以起到化繁為簡的效果，但在使用泰勒展開定理求極限時，需要注意不能不寫無窮小量，也不要還沒取極限就約掉了，泰勒展開式等式，不是近似等式.當已確定階數時，遇到A，B（A，B都需要泰勒展開時），建議將A和B都先展開到該階數然后再去相乘，否則容易導致錯誤.對于乘式的展開和復合函數的展開巨大的運算量，要學會適當估計階數，扔掉太小的無窮小量.著重注意應該展開到第幾階才是合適的，因此在解題的過程中，我們應該遵循“分式上下同階原則”以及“加減冪次最低原則”，從而為我們展開到合適的階數確定一定的方向.

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