高中數學教科書中數學建模問題情境的比較研究

李保臻，陳國益

高中數學教科書中數學建模問題情境的比較研究

李保臻，陳國益

（西北師范大學 教師教育學院，甘肅 蘭州 730070）

數學建模是高中數學課程改革的重點內容，而問題情境是數學建模內容的主要載體．以2019年出版的人教A版、北師版及湘教版高中數學教科書為研究對象，從“內容分布及編排”“類型及數量”“真實性水平”“表征特征”4個方面對三版教科書數學建模問題情境進行了全面比較．研究發現：三版教科書中數學建模問題情境的內容分布相對聚焦，內容編排各具特色；各類型問題情境均有涉及但量的比重不同，對“數學文化情境”滲透較少；注重真實性水平中的“真實情境”水平，對“純現實情境”水平關注較少；表征特征突出“單一型表征”與“復合型表征”，對“綜合型表征”運用較少．據此得出數學建模問題情境在教科書編寫與教師教學方面的相關啟示．

高中數學教科書；數學建模；問題情境；比較

1 問題提出

作為人們理性認知事物的主要方式，數學建模對學生的知識掌握、技能形成、能力提高及觀念養成等綜合數學素養的培育具有重要作用，被喻為“溝通現實世界與數學世界的橋梁與紐帶”[1]．目前，很多國家的數學課程都將數學建模作為學生數學素養培育的重要內容，如美國2010年由全美州長協會最佳實踐中心（NGA Center）和州首席教育官員理事會（CCSSO）共同頒布的《州際核心數學課程標準》（）將數學建模視為問題解決的一種方式，并與數學實踐活動共同構成高中數學的兩大核心概念[2]；澳大利亞課程評估和報告局（ACARA）2018年最新修訂的《澳大利亞課程標準：數學（8.4版本）》（)將數學建模列為基本的數學活動[3]．中國教育部2017年頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》（簡稱《標準（2017版）》）也將數學建模列為數學學科核心素養之一[4]，并強調在教學中應緊密結合實際問題情境，讓學生通過探究解決問題以不斷積累數學建模活動經驗，發展其數學建模素養[5]．可見，數學建模作為數學課程的核心內容，其內容的學習對學生的全面發展頗為重要．而教科書中的數學建模問題情境是從內容設置、屬性規模、抽象程度、表征方式等方面刻畫數學建模的主要載體，蘊含著豐富的數學建模知識、獨特的數學模型思想及深厚的數學育人價值等信息資源．若教師在教學時能系統挖掘并深度解析教科書中數學建模問題情境的這些信息資源，則對學生數學學習興趣的培養、數學問題解決能力的提高及數學核心素養的發展等具有重要意義．

通過對數學建模問題情境的內涵分析可知，完整刻畫數學建模的問題情境主要包括“內容設置”“屬性規模”“抽象程度”“表征方式”等要素，結合教科書中具體的數學建模問題情境來說，“內容設置”主要由“內容分布及編排”描述，“屬性規模”主要由“類型及數量”描述，“抽象程度”主要由“真實性水平”描述，“表征方式”主要由“表征特征”描述．因此，要研究不同版本教科書中數學建模的設置特色，需對問題情境表征的4個方面進行深層次挖掘及全方位比較．又由于人教A版、北師版及湘教版高中數學教科書是近兩年來出版的與《標準（2017版）》配套的最新教科書，且在國內的使用具有一定影響，故擬通過對這三版教科書中數學建模問題情境進行比較分析，以期為教科書編寫與教師教學提供相關的理論支持與實踐參考．

2 研究設計

2.1 研究對象

選取經國家教材委員會審核通過，由人民教育出版社、北京師范大學出版社、湖南教育出版社2019年出版的普通高中數學教科書（分別簡稱為人教A版、北師版、湘教版）為研究對象，就三版教科書中必修及選擇性必修部分的數學建模問題情境進行比較分析．

2.2 分析框架

2.2.1 分析維度的確立

由于教科書中數學建模問題情境的特色主要從“內容分布及編排”“類型及數量”“真實性水平”“表征特征”進行刻畫，故從這4個維度建立三版教科書中數學建模問題情境比較的分析框架．

具體而言，“內容分布及編排”指數學建模內容在教科書中的組織結構與呈現方式，是學生整體把握并系統解析數學建模內容設置特色的有效抓手．對于“內容分布及編排”的分析，由于“內容分布”主要是顯性形式的數學建模問題情境內容分布在教科書（必修、選擇性必修）中不同章節的具體知識，故研究主要采用“結構表”的方法對不同版本教科書中的內容分布進行呈現；而“內容編排”是相關的數學建模問題情境內容依學生的認知特點在教科書中的邏輯生成順序，故研究主要采用“概念圖”的方式對其予以呈現．

“類型及數量”是指特定版本教科書對數學建模具體內容從特性與廣度層面的描述，其很大程度上決定著學生學習數學建模的成效．對于“類型及數量”的統計分析，先要確定數學建模問題情境的類型．目前對問題情境類型的劃分有兩種代表性的觀點：《標準（2017版）》將情境類型劃分為“數學情境”“生活情境”“科學情境”3種類型；呂傳漢、汪秉彝將問題情境取材來源確定為“從現實社會中取材”“從實際生產生活中取材”“從數學史、中外名題中取材”“從例習題、競賽題中取材”“從自然科學中取材”“從人文學科中取材”“從地方、民族文化中取材”等7類[6]．可見，課標分類略顯寬泛且較為籠統，而呂傳漢等的分類細致詳實但存在交叉，故綜合兩種觀點，研究將數學建模問題情境劃分為“生活情境”“文化情境”“社會情境”“科學情境”4種類型，然后按照問題情境的描述對教科書中數學建模問題情境進行類別劃分及數量統計．

“真實性水平”體現著數學與現實、數學與其它科學之間聯系的緊密程度，對學生深刻認識數學的應用價值具有重要意義．對于問題情境的“真實性水平”，朱琛、唐恒鈞將其劃分為“真實性情境”“非真實性情境”[7]，而李健將其劃分為“構造式情境”“準真實情境”“真實情境”[8]．參考這兩種代表性觀點并結合數學建模特點，研究將數學建模問題情境真實性水平劃分為“構造式情境”“準真實情境”“真實情境”“純現實情境”，然后依據4種水平劃分的維度，對教科書中數學建模問題情境的真實性水平進行統計分析．

“表征特征”是教科書為幫助學生全面閱讀及充分理解數學建模內容所采取的適宜表現方式，體現著教科書編寫的獨特視角與審美價值．通過梳理文獻發現，Yeping Li與陳志輝對“表征特征”的相關研究具有一定的代表性．Yeping Li將教科書中數學問題呈現的“表征形式”分為“純數字形式的數學內容（PM）”與“圖形或故事表示的解說內容（IC）”兩層次[9]；陳志輝將數學問題情境表征方式確定為“純數字或短語”“故事或情節文本形式”“圖形或表格等非文本形式”“情節與圖表結合”4個水平[10]．參考兩位學者的觀點，結合數學建模問題情境表征特點，研究將數學建模問題情境的“表征特征”維度確立為“單一型表征”“復合型表征”“綜合型表征”，然后按照每種特征相應的描述語言，統計并比較不同版本教科書中數學建模問題情境的表征特征．

2.2.2 分析框架的構建

在對上述4個維度系統分析的基礎上，研究給出三版教科書數學建模問題情境比較的分析框架（參見表1）．

表1 高中數學教科書中“數學建模問題情境”的分析框架

研究中嚴格按照建構的分析框架，對三版教科書中數學建模問題情境不同維度的具體指標進行標定，具體分析過程以湘教版教科書中“氣象觀測站調整方案”的問題情境為例進行詳細說明．

圖1 氣象觀測站分布

【問題情境】某地區有12個氣象觀測站（如圖1），10年來各觀測站測得的年降水量如表2所示．為了節省開支，想適當減少幾個觀測站．問減少哪些觀測站可以使所得到的年降水量的信息量仍然足夠大？

分析：現根據上述框架中的4個維度對該案例依次展開分析．首先，從“內容分布及編排”來看，該案例內容具體分布在湘教版教科書必修第二冊第六章第5節數學建模案例（三）的“練習”部分，內容編排是先系統介紹數學建模基礎內容，后結合具體案例進行建模應用，再通過該練習鞏固數學建模相關知識；其次，從“類型及數量”來看，由于該案例“氣象觀測站調整方案”屬于社會公共服務的范疇，且只有一個案例，故可判斷該情境為“社會情境”，數量記為“1”；再者，從“真實性水平”來看，由于該情境涉及現實生活中的氣象觀測站，但觀測站點的具體分布及10年的觀察數據并沒有明確出處，故將其確定為“準真實情境”；最后，從“表征特征”來看，由于該情境設計了具體的故事情節、插圖與表格，故將其確定為“綜合型表征”．

表2 2008—2017年某地區氣象觀測站所測年降水量表（單位：mm）

3 結果與討論

3.1 內容分布及編排

根據上述分析框架，對三版教科書中數學建模問題情境內容分布的具體章節進行梳理，結果如表3所示．

表3 三版教科書數學建模問題情境的內容分布

由表3可知，三版教科書中數學建模問題情境內容在必修與選擇性必修中均有涉及，且分布各具特色．其中，人教A版數學建模問題情境內容分布主要聚焦在“函數應用模型”及“統計模型”方面；北師版數學建模問題情境內容分布主要凸顯“數學建模活動主題”形式及“完整數學建模活動流程”呈現的特點；湘教版數學建模問題情境內容分布注重建模案例的應用遷移，即在對必修部分“數學建模典型案例”分析的基礎上，重點解析了選擇性必修部分幾個主題內容中的數學建模案例．

在明晰教科書中數學建模問題情境內容分布的基礎上，深入探析具體知識內容的編排更有意義．為使內容編排更直觀可視，研究采用概念圖法將三版教科書中數學建模問題情境的呈現分別繪制成圖2、圖3、圖4，然后依次對其展開分析．

由圖2可知，人教A版中數學建模內容主要分布于“函數及其應用”與“線性回歸模型及其應用”兩大主題．在“函數及其應用”部分，教科書首先呈現了“函數的應用（一）”，即主要通過“一次函數、二次函數模型、冪函數模型應用”的相關情境，讓學生初步體會已學函數模型解決實際問題的流程及方法；然后呈現了“函數的應用（二）”，即主要通過“指數函數與對數函數模型應用”的相關情境，讓學生進一步理解運用指數函數與對數函數模型解決問題的流程、方法及思想；接著通過“建立函數模型解決實際問題”專題系統總結了數學建模活動的過程、選題、要求及研究報告形式；最后又以“三角函數及其應用”相關情境對數學建模基本流程與思想方法進行了遷移鞏固．在“一元線性回歸模型及其應用”部分，教科書先介紹了“一元線性回歸模型”的原理及方法，然后通過“建立統計模型進行預測”專題進一步呈現統計模型解決問題的流程及方法．

圖2 人教A版中數學建模問題情境內容的編排

由圖3可知，北師版中數學建模問題情境的編排主要借助3個相互聯系的數學建模活動展開：第一個活動是以日常生活中的問題情境為切入點，依次介紹了數學建模的基本知識、步驟及過程等；第二個活動則是以學生動手操作的“建筑物高度的測量”為實踐類課題，使學生在經歷數學建模探究活動的基礎上，交流并分享建模活動經驗；第三個活動主要是“數學建模結題交流”，通過回顧與梳理數學建模的學習過程，有助于學生整體把握并系統學習數學建模的相關知識．

圖3 北師版中數學建模問題情境內容的編排

由圖4可知，湘教版中數學建模問題情境的編排先是以生活中的問題情境為切入點，讓學生初步感知數學建模與現實生活的聯系；接著以“數學建模——從自然之路走向理性之路”詳細介紹了數學建模的相關知識；然后從“問題背景”“問題解析”“問題研究”3個方面設置了“最佳視角”“曼哈頓距離”“人數估計”3個建模經典案例；最后結合具體主題內容設置了“音樂頻率與等比數列”“易拉罐優化設計”“冰川融化模型”“體重與脈搏的數據擬合模型”4個數學建模專題，以此來促進學生數學建模知識學習的遷移，進一步強化學生的建模能力．

圖4 湘教版中數學建模問題情境內容的編排

總的來說，三版教科書中數學建模問題情境的內容分布及編排各具特點．人教A版中數學建模問題情境的內容分布主要聚焦在“函數應用模型”與“一元線性回歸模型及其應用”部分，內容編排主要包括“已知初步體會”“新知加深理解”“專題系統總結”“新知遷移鞏固”等環節，這種編排方式更注重知識間的關聯與銜接；北師版中數學建模問題情境內容分布主要聚焦在“數學建模活動”主題，內容編排主要包括“數學建模步驟與過程介紹”“數學建模活動的問題解決”“數學建模活動的梳理與回顧”3個部分，這種編排方式體現“理論”“實踐”“反思”相結合的特點；湘教版中數學建模問題情境內容分布主要聚焦在“數學建模章節”及4個主題內容后的“數學建模專題”部分，內容編排包括“數學建模知識介紹”“數學建模典例分析”“主題內容中的建模專題挖掘”等環節，這種編排體現了“理論引領”“案例示范”“專題探究”相結合的特點．

3.2 類型及數量

根據以上分析框架，對三版教科書中數學建模問題情境的類型及數量進行對應歸類并統計分析，結果如表4所示．

表4 三版教科書問題情境的類型及數量統計

由表4可知，人教A版、北師版及湘教版中“生活情境”占各自數學建模問題情境總數的比重分別為20.59%、29.51%、20.00%，故北師版中生活情境相對較多，人教A版與湘教版相差不大．進一步分析發現，三版教科書均設置了日常生活及娛樂活動等方面的問題情境，體現了新版教科書關注民生問題及大眾喜聞樂見話題之趨勢．相比較而言，三版教科書中的生活情境各有特色：人教A版更注重如“居民水電費的收繳”等日常生活問題；北師版更關注如“碘鹽在烹飪中碘消耗的問題”等人民健康問題；湘教版更注重“足球射門的最佳位置”等體育賽事問題．

三版教科書中“文化情境”的占比分別為8.82%、9.84%、13.33%，即三版教科書中數學建模文化情境數量的差異較小，均是各版教科書中最少的類型，說明三版教科書中數學文化融入建模內容的廣度不夠，且滲透中國傳統文化與經典的數學史文化分布不均衡．進一步分析發現，北師版中文化情境的設計較為全面，其既滲透著如“月上柳梢頭，人約黃昏后”等古詩中的天文學傳統文化，也滲透著如“哥尼斯堡七橋問題”等經典的數學史文化；人教A版僅設計了如“中國的茶文化”“《農政全書》中用圖畫描繪筒車”等中國傳統文化情境；湘教版中與中國傳統文化相關的情境幾乎沒有，僅設計了如“伽利略自由落體運動模型”等數學史文化情境．

三版教科書中“社會情境”占比依次為32.35%、36.06%、26.67%，即人教A版與北師版的社會情境數量占比相差不大，而湘教版相對較少．進一步分析發現，三版教科書的側重點也略有不同，人教A版涉及的社會情境相對較為傳統，且多注重函數模型的應用，如“綜合所得個稅稅額的繳納”等；北師版更注重如“地鐵站旅客流通情況及優化方案”等最優化問題解決的社會情境；湘教版更注重如“確定新興城鎮中心醫院位置”設計方案的社會情境．

三版教科書中“科學情境”占比依次為38.24%、24.59%、40.00%，即人教A版與湘教版科學情境在各自教科書中所占4種類型情境總量的比重最大，而北師版相對較小．進一步分析發現，三版教科書中設置的科學情境均與生物學、化學等自然科學相關，如人教A版中的“PH試紙測量溶液的酸堿度”等、北師版中的“從拼圖游戲到人類基因重組計劃”等、湘教版中的“體重與脈搏的數據擬合模型”等．故三版教科書的“科學情境”均注重數學與其它自然科學的交融，表明了“數學科學與其它自然科學緊密聯系”的特點．

整體來看，人教A版涉及68個問題情境，北師版涉及61個問題情境，湘教版涉及30個問題情境，可見人教A版與北師版中數學建模問題情境的數量明顯多于湘教版．具體來看，三版教科書中“生活情境”的數量占比相差不大，說明三版教科書均注重數學建模與日常生活的聯系；三版教科書中“文化情境”的數量及占比均最少，說明教科書中滲透數學文化的深度與廣度仍有提升空間；北師版“社會情境”數量最多，說明北師版教科書更加重視數學建模與現實社會生活的關聯；人教A版與湘教版中“科學情境”的數量最多，說明人教A版與湘教版教科書更注重數學建模與科學技術的聯系．

3.3 真實性水平

根據上述分析框架，對三版教科書中數學建模問題情境的“真實性水平”從構造式情境、準真實情境、真實情境及純現實情境4個方面進行統計，其結果如表5所示．

表5 三版教科書問題情境真實性水平統計

由表5可知，人教A版、北師版與湘教版中數學建模問題情境的“構造式情境”占各教科書中真實性水平的比例分別為39.71%、22.95%、30.00%，在各自版本教科書中數量僅次于“真實情境”．說明人教A版與湘教版比北師版更注重“構造式情境”的設置，且三版教科書均注重對問題情境的數學化分析、處理與表征以適應學生數學建模學習的特點．

三版教科書中“準真實情境”占各教科書中真實性水平的比例依次為11.76%、13.11%、23.33%，說明湘教版較注重“準真實情境”的設置．結合教科書進一步分析發現，“準真實情境”主要是為數學建模問題解決的方便而對相關真實情境在數據等方面進行的改造，如湘教版中“估計隧道長度”，人教A版中“北京市某年的空氣質量變化”等．

三版教科書中“真實情境”的占比依次為44.12%、57.38%、40.00%，在各自教科書所有真實性水平中占比最高，說明三版教科書最注重現實生活、歷史文化與數學緊密聯系的真實性數學建模問題情境，目的是讓學生通過真實情境的學習切身體會數學的科學價值與文化價值．進一步分析發現，教科書中的真實情境來源大致可分為兩類：一類是取材于生活中的問題情境，如北師版中“摩托車騎手飛躍黃河”、湘教版中“動物體重與脈搏率對應數據分析”等；另一類是來自數學史及數學文化方面的情境，如三版教科書中均涉及“馬爾薩斯人口模型”．

三版教科書中數學建模問題情境的“純現實情境”占比依次為4.41%、6.56%、6.67%，在各自教科書所有真實性水平中的占比均最少．“純現實情境”少的原因可能是學生在具體操作過程中受活動場域、測量工具等相關條件的限制，不便進行純現實情境的數學建模問題解決．但“純現實情境”在教科書中仍然設置的原因是其不僅能讓學生切身體會數學在現實生活中的應用價值，而且能培養學生的探究意識與創新能力，如湘教版、北師版中測量學校教學樓、旗桿的高度等．

總體而言，從數學建模問題情境真實性水平的占比情況來看，三版教科書中“真實情境”占比均最高，“構造式情境”次之，“準真實情境”較低，“純現實情境”最低．三版教科書中真實情境占比最高的現象，反映了新版教科書設置數學建模問題情境的意圖主要是讓學生體會數學與現實生活、歷史文化等的緊密聯系，從而加深對數學應用價值與文化價值的理解與認識，這恰好符合課標中數學建模的相關理念要求．而三版教科書中純現實情境占比最低的現象，也說明教科書中讓學生通過親自操作解決實際問題的數學建模活動仍有開發空間．

3.4 表征特征

數學建模問題情境的表征特征主要包括“單一型”“復合型”“綜合型”等形式．對三版教科書中數學建模問題情境表征特征的3種形式從數量及占比方面進行統計，結果如表6所示．

表6 三版教科書問題情境表征特征統計

由表6可知，從三版教科書中數學建模問題情境的“單一型表征”個數占表征特征總數的比例來看，人教A版、北師版與湘教版占比分別為47.06%、86.89%、20.00%，即北師版“單一型表征”最多，人教A版次之，湘教版最少．進一步分析發現，北師版“單一型表征”最多的原因主要是其“選題”欄目大多是按照單一的故事情節進行呈現，而其它類型的表征形式相對不多．

三版教科書中“復合型表征”的占比分別為42.65%、13.11%、66.67%，即湘教版復合型表征最多、人教A版次之，北師版最少．可見，除北師版外，其余兩版教科書中數學建模問題情境主要采用的是復合型表征，也就是故事情節與圖（表）相結合的表征方式．教科書中的案例與練習主要采用“復合型表征”，其提供的數學建模問題信息較為全面．

三版教科書中“綜合型表征”的占比分別為10.29%、0%、13.33%，即三版教科書中“綜合型表征”均最少，且人教A版與湘教版綜合型表征相差不大，北師版沒有綜合型表征．其原因是問題情境綜合型表征主要用于數學建模專題及學生自主探究的數學建模活動中，而三版教科書涉及這些內容均最少．

總體來看，人教A版與北師版數學建模問題情境的“單一型表征”最多，湘教版“復合型表征”最多，而三版教科書中“綜合型表征”最少．人教A版教科書中“單一型表征”最多的原因是體現問題情境表征特征的內容主要分布在“課后練習”與“章節習題”部分，且這兩部分基本是按照故事情節方式呈現問題情境；北師版中問題情境的“單一型表征”最多，而“綜合型表征”未涉及，究其原因是北師版教科書提供給學生的數學建模“選題”基本是按照故事情節敘事方式來呈現問題情境；湘教版“復合型表征”最多的原因是教科書中“故事情節”與“圖（表）”這樣的表征特征素材較多，且兩者相互結合共同刻畫數學建模問題情境．此外，三版教科書“綜合型表征”最少，說明三版教科書較少綜合運用“故事情節”“圖”“表”同時表征數學建模問題情境．

4 結論及啟示

4.1 結論

（1）數學建模問題情境的內容分布相對聚焦，內容編排各具特色．

數學建模問題情境的內容分布及編排是學習者整體把握教科書中數學建模內容的“兩翼”，反映著數學建模內容設置的組織結構及邏輯生成特色．通過比較發現，三版教科書中數學建模問題情境內容在必修與選擇性必修中均有涉及，內容分布相對聚焦且編排方式各具特色．人教A版中數學建模問題情境內容分布主要聚焦于“函數應用模型”與“統計模型”兩大經典主題，內容編排包括“復習已知”“探究新知”“專題總結”“遷移鞏固”幾方面，這幾方面“關聯緊湊”“銜接自然”，有助于學生對數學建模相關知識的系統化理解；北師版中內容分布聚焦于“數學建模活動”主題，內容編排包括“理論介紹”“實踐應用”“回顧反思”等活動，體現出“理論與實踐”相結合、“過程與反思”相統一的特點，這有助于學生從理論與實踐的視角理解數學建模的本質；湘教版內容分布聚焦于必修部分“數學建模章節”及選擇性必修部分數學主題內容后“數學建模專題”，內容編排包括“數學建模基本知識介紹”“3個典型案例分析”“主題內容中的建模專題挖掘”等環節，體現了“理論引領”“案例示范”“應用遷移”相結合的特點，有助于學生從理論指導的視角發掘數學主題內容蘊含數學模型的自覺性及運用數學模型思想方法解決問題的探究性．

（2）各類型問題情境均有涉及但量的比重不同，對數學文化情境滲透較少．

教科書中不同類型和數量的問題情境學習對于學生數學建模素養培育的效果有重要影響．通過比較分析發現，三版教科書中各類型的問題情境均有涉及但量的比重不同：人教A版與湘教版中“科學情境”數量相對較多，說明人教A版與湘教版教科書更注重數學建模與自然科學間的聯系，這有助于學生知識視野的拓展與科學意識等的培養；北師版“社會情境”數量最多，說明北師版教科書更重視數學建模與社會生活的聯系，這有助于學生對“數學的本源”與“數學的價值”等的理解與認識；三版教科書中的“數學文化情境”均有涉及但數量最少，說明各教科書中數學建模問題情境滲透數學文化的廣度仍有提升空間．

（3）注重真實性水平中的“真實情境”水平，對“純現實情境”水平關注較少．

一般而言，教科書中設置的問題情境越貼近現實生活，則學生切身體會到數學與現實生活之間的聯系就越緊密[11]．經比較發現，三版教科書中數學建模問題情境的“真實情境”占比最高，說明三版教科書均注重選取客觀事物蘊含的數學規律或歷史上真實發生的數學史料為數學建模問題情境資源，這對學生感知“數學與生活”“數學與歷史”的緊密聯系有重要作用；“構造性情境”占比僅次于“真實情境”，說明數學化處理仍是中國數學教科書構建數學模型的主要方式；“準真實情境”的占比相對較少，說明該水平僅是“真實情境”向“構造性情境”的過渡，其相對獨立的價值不太明顯；“純現實情境”是學生親身探究獲取數學知識、提高能力的情境，由于該情境實施需要的現實條件較為苛刻且影響因素較多，故三版教科書中數學建模問題情境對“純現實情境”的設計最少．

（4）表征特征突出“單一型表征”與“復合型表征”，對“綜合型表征”運用較少．

表征特征是問題信息的呈現方式，也是數學審美價值的重要體現，恰當的表征方式有助于清楚、系統且形象地表達問題[12]．整體而言，三版教科書數學建模問題情境的表征特征以“單一型表征”與“復合型表征”為主，“綜合型表征”最少．單一型表征一般在“課后練習”與“章節習題”部分，表達內容言簡意賅；“復合型表征”多體現在“正文”部分，一般利用圖表對問題情境加以輔助性說明；“綜合型表征”多體現在數學建模自主探究活動中，但三版教科書設置這類活動較少．因此，為了給學生提供閱讀數學建模信息的多維度視角，教科書應統籌考慮“故事情節”“圖”“表”的功能并恰當地表征數學建模問題情境．

4.2 啟示

（1）教科書應合理布置數學建模問題情境內容，科學呈現適宜學生理解的學習情境．

問題情境作為數學建模的主要載體，其內容分布的科學性與編排方式的合理性對學生整體解析數學建模的知識結構體系及邏輯生成順序至關重要．通過上述比較發現，三版教科書中數學建模問題情境的內容分布及編排雖各具特色，但其自始至終且循序漸進地滲透在教科書內容方面略顯不足，這就容易造成學生學習高中數學知識體系的割裂及對數學建模的片面認識，不利于學生整體數學建模素養的培育．而數學建模素養的養成又是一個漸進過程，這就要求教科書在處理數學建模問題情境的內容分布與編排時，應緊密結合數學建模的內容特點、學生的認知結構特點、欄目的編排特色等因素，盡量做到統籌規劃、特色鮮明及科學合理，即要將數學建模做為一條主線貫穿于教科書內容的始終，而不宜僅以專題形式聚焦呈現或以零散形式分布在教科書的某些章節內容中．

例如，“給定邊長的正方形紙片，在其四角剪去邊長為厘米的小正方形后，制作盡可能大的無蓋長方體盒子”是一種典型的建模問題，該問題可根據高中數學課程內容的推進設置不同的建模情境．在高中“必修”預備知識部分學習函數模型時，可設計較具體的情境：正方形紙片邊長為20厘米，四角剪去邊長為厘米的小正方形，探究的值怎樣變化才能使該紙盒容積盡可能大？教科書可采用函數列表求近似解與函數作圖結合法探求隨的變化趨勢，這不僅很好地銜接了初高中的函數知識，而且使學生對高中函數概念有了初步認識．在“選擇性必修”部分學習導數內容時，可對該問題構造更一般的建模情境：紙片邊長設定為厘米，其余條件不變，求當為何值時最大？這時可采用導數性質及應用對該問題進行求解，有助于學生加深對高中函數概念的理解．而在“選修”部分學習微積分時，也可設計此類情境，使學生從極限角度更深入地理解函數概念的本質．可見，這樣一個典型的數學建模問題將教科書中必修、選擇性必修及選修部分的內容聯系在一起，有助于學生建構螺旋上升的整體性知識體系．

（2）教科書應適當豐富數學建模文化情境的類型，綜合提升學生的數學文化素養．

類型及數量是審視數學建模問題情境設置特色的重要維度，表征著數學建模問題情境的廣度與意蘊，不同類型的問題情境往往滲透著不同的數學思想及教育價值[13]，這些思想及價值對學生全面認識數學進而形成正確的數學觀具有積極導向作用．通過上述比較發現，“文化情境”在三版教科書中占比均最少，這無形中影響了學生數學文化素養的培育．因此，高中數學教科書應從“中華優秀傳統文化”與“經典的數學史與數學文化”等方面適當擴增數學建模文化情境的數量與類型．教科書在考慮豐富數學建模的文化情境時，既要注重“文以載道、以文化人”的教化思想、“形神兼備、情境交融”的美學追求及“尊時守位、知常達變”的文化理念等的滲透[14]，也要結合時代要求從數學與其它學科的融合中賦予傳統文化新內涵，讓學生在多元文化的熏陶下潛移默化地提升數學文化素養．

例如，在設置“基本不等式”內容時，人教A版教科書必修第一冊呈現出圖5的問題情境：在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個“風車”，代表中國人民熱情好客．你能在該圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？這樣的模型情境設置，既讓學生學習了“趙爽弦圖”等經典的數學史文化，又使其感悟到“風車顏色明暗代表中國人民熱情好客”的中華優秀傳統文化，從而在多元文化的熏陶下體會數學真善美的意蘊，故這類情境的設置值得借鑒．

圖5 會標

（3）教科書應合理創設切實可行的純現實情境，有效引導學生感悟數學建模的本質．

數學建模是對實際問題情境進行抽象概括后的數學語言符號表征，這就決定了數學建模問題情境的真實性水平對學生精準理解數學內容的科學性、數學知識產生的過程性、數學與現實聯系的緊密性等具有重要影響[15]．就三版教科書中數學建模問題情境的真實性水平而言，其“真實情境”數量均最多，拉近了數學與現實生活的關系，但學生自主探究的數學建模“純現實情境”并不多，這就使得學生學習數學建模會產生一種“可望而不可即”的游離感．因此，高中數學教科書在設置數學建模問題情境的真實性水平時，要適當增加學生能自主探究且操作可行的“純現實情境”，通過學生自己制定問題方案、切身參與真實情境、親自動手操作實踐、親歷問題解決過程等活動，既有助于培養學生勇于探索的創新意識與科學精神，也有助于學生在自身的活動體驗中深刻感悟數學的價值，從而真正達到“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的數學建模學習目標要求．

例如，在設置選擇性必修“概率統計”中的“一元線性回歸模型”內容時，教科書可設計這樣的“純現實情境”：請先在國家統計局網站查找2000—2020年間中國國民生產總值（GDP）數據，然后探究用線性回歸數學模型刻畫2000年以來中國GDP的變化規律．根據中國2000年以來GDP數據分時段計算出擬合效果較好的回歸方程，并結合中國當前經濟轉向高質量發展的時代背景，對接下來5年中國經濟發展做出預測．給出具體操作建議：① 在國家統計局網站查找中國2000—2020年GDP實際數據；② 通過Excel軟件做出2000年以來中國GDP隨時間變化的散點圖；③ 觀察散點圖分布情況后分段處理；④ 根據最小二乘法的思想和公式，利用計算機求出每個時間段相應的回歸方程；⑤ 依據線性回歸方程，將年度作為自變量代入計算今后5年中國GDP的預測值并進行分析．

（4）教師應采用多樣有效的問題情境表征方式，全面助力學生精準獲取問題信息．

教科書中數學建模問題情境的表征特征反映著數學建模內容素材的可讀性與審美性，決定著學生精準獲取、合理加工及正確分析建模問題信息的質量及效果．就數學建模問題情境的表征特征而言，3種表征特征各具功能、各有特色，教師只有充分發揮各自的特點進行優勢互補，才能取得“形式與內容相統一”的問題情境表征效果．通過上述比較發現，雖然三版教科書中數學建模問題情境的“綜合型表征”運用較少，但整體來看各版教科書均是根據不同的數學建模問題情境內容選擇了不同的表征方式．因此，教師在教學時應認真解析教科書中數學建模問題情境表征方式的設計特點，根據所教數學建模問題情境的內容實際及學生的理解能力實際，盡可能采用靈活多變且科學有效的表征方式，全面助力學生通過精準獲取數學建模問題信息進而提高有效閱讀的質量與深度理解的效果．

例如，在學習選擇性必修“導數的概念及其意義”內容時，要引出導數概念，教師可以先用文字語言與符號語言表征奧運冠軍全紅嬋高臺跳水時速度變化的數學模型，接著采用短視頻播放的方式表征運動員從起跳到入水過程中運動的快慢程度，然后將這個過程抽象成數學問題并用列表方式表征運動員在每段時間內平均速度的變化，進而通過極限思想引入導數，最后再用文字語言與符號語言表征導數的概念．教師通過導數概念形成過程中“綜合型表征”的運用，不僅使學生直觀、具體、深入地理解了導數的概念及其意義的本質，而且通過奧運冠軍全紅嬋高臺跳水的建模情境詳細解析，也能夠讓學生學習到奧運健兒成功的科學方法及為國爭光的拼搏精神．

（5）教師應系統挖掘教科書中數學建模問題情境功能，充分發揮數學學科的育人價值．

作為數學建模的有效載體，教科書中的數學建模問題情境不僅包括諸多數學知識學習的信息，而且蘊含著非常深厚的學科育人功能[16]，這些育人功能主要表現在“熱愛自然”“尊重歷史”“保護環境”“文化認同”“社會參與”“勤儉節約”“與時俱進”等方面．通過上述比較發現，三版教科書均注重數學建模問題情境育人價值的內容設置及理念滲透導向，這就要求教師應真正樹立由“知識學習本位”向“素養發展本位”轉變的教學理念，從理念定位、內容設置、情境創設、思想概括、文化滲透、技術融合等方面系統挖掘教科書中數學建模問題情境蘊含的育人功能，力爭使學生在掌握知識、體悟思想、提高能力、積累經驗、培育情感的同時，真正理解數學的科學價值、文化價值、美學價值與應用價值的本質內涵，進而培養出敬畏自然、尊重歷史、相信科學、滿懷希望的時代新人．

例如，在學習必修“用樣本估計總體”內容時，人教A版等教科書設置了這樣的建模情境：中國是世界上嚴重缺水的國家之一，為減少水資源的浪費，某小區計劃對居民用水實施階梯式水價制度，隨機抽取100戶用戶的月均用水量數據來估計該小區用水量的總體分布規律．在講授這個建模問題情境時，教師可從“水資源對人類的重要性”“近年來飲用水資源的短缺”“水資源的浪費與污染狀況”等方面深度挖掘該情境中蘊含的育人功能，從而幫助學生樹立保護自然、維護生態、珍惜資源、勤儉節約等思想意識．

[1] 黃健，魯小莉，王鴦雨，等．20世紀以來中國數學課程標準中數學建模內涵的發展[J]．數學教育學報，2019，28（3）：18–23，41.

[2] The National Governors Association (NGA) and the Council of Chief State School Officers (CCSSO). Common core state standards for mathematics [J]. Common Core State Standards Initiative, 2010, 4 (4): 148.

[3] Curriculum, Assessment and Reporting Authority (ACARA). The Australian curriculum [EB/OL]. (2018–10–26) [2020–11–18]. http://www.australiancurriculum.edu.au/f-10-curriculum/mathematics.

[4] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：5–6．

[5] 史寧中，王尚志．普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]．北京：高等教育出版社，2018：107–108．

[6] 呂傳漢，汪秉彝．中小學教學的一種基本教學模式——中小學“情境—問題”教學模式[J]．貴州師范大學學報（自然科學版），2005（1）：86–90．

[7] 朱琛，唐恒鈞，徐元根．中澳初中數學教科書習題情境的比較分析——以“統計與概率”領域為例[J]．現代中小學教育，2018，34（1）：91–95．

[8] 李健．初中數學教科書中現實問題情境設置的實證研究[D]．天津：天津師范大學，2019：76–80．

[9] LI Y. A comparison of problems that follow selected content presentations in American and Chinese mathematics textbooks [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2000, 31 (2): 234–241.

[10] 陳志輝．中美兩國初中數學課程的問題情境水平比較研究——以“函數”內容為例[J]．數學教育學報，2016，25（1）：5–9．

[11] 李健，李海東．情境在現實問題解決中的作用——基于5套人教版初中數學教科書的縱向比較[J]．數學教育學報，2021，30（4）：30–34，40．

[12] 楊紅萍，肖志娟．問題表征對數學閱讀能力的影響研究[J]．數學教育學報，2019，28（2）：70–74．

[13] 鄧海英，嚴卿，魏亞楠．數學情境問題解決錯誤分析與評價[J]．數學教育學報，2021，30（1）：61–67．

[14] 中華人民共和國教育部．教育部關于印發《中華優秀傳統文化進中小學課程教材指南》的通知[EB/OL]. (2021–01–19) [2021–02–05]. http://www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202102/t20210203_512359.html.

[15] 李保臻，石燁．中國大陸與臺灣地區高考數學試題難度比較研究——以2016—2018年大陸全國卷Ⅰ與臺灣指考試題為例[J]．數學教育學報，2020，29（1）：58–64．

[16] 王嶸．數學文化融入中學教科書的內容與方法[J]．數學教育學報，2022，31（1）：19–23．

A Comparative Study of Mathematical Modeling Problem Situations in High School Mathematics Textbooks

LI Bao-zhen, CHEN Guo-yi

(College of Teacher Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Mathematical modeling is the key content of high school mathematics curriculum reform, and problem situations are the main carrier of mathematical modeling content. Taking the high school mathematics textbooks published in 2019 in the People’s Education Edition, Beijing Normal University and Hunan Education Edition as the research objects, this paper makes a comprehensive comparison of the mathematical modeling problem situations of the three editions of textbooks from the following four aspects: “Content distribution and arrangement”, “type and quantity”, “authenticity level” and “representation characteristics”. The results show that: the content distribution of mathematical modeling problem situations in the three editions of textbooks is relatively focused, and the content arrangement has its own characteristics; various types of problem situations are involved but the proportions of the quantity are different, and there is less penetration of the mathematical cultural situation; it pays more attention to the level of “real situation” in the level of authenticity, but pays less attention to the level of “pure reality situation”; “representation characteristics” highlight “single representation” and “compound representation”, but “comprehensive representation” is seldom used. Based on this, the relevant enlightenment of mathematical modeling problem situations in textbook writing and teachers’ teaching would be obtained.

high school mathematics textbook; mathematical modeling; problem situation; comparison

2022–03–10

2018年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——西北民族地區農村中小學教師專業成長支持體系研究（18YJA880039）；2021年度甘肅省教育科學“十四五”規劃重點項目——國家通用語言文字普及中民族地區理科教育質量提升機制研究（GS〔2021〕GHBZ131）；2021年度西北師范大學研究生培養與課程改革項目——教育碩士“教學實踐類”課程建設的理論與實踐研究：以學科教學（數學）為例（2021KGLX01019）

李保臻（1972—），男，甘肅莊浪人，教授，博士，碩士生導師，主要從事數學課程與教學論、教師教育等研究．

G632

A

1004–9894（2022）03–0006–09

李保臻，陳國益．高中數學教科書中數學建模問題情境的比較研究[J]．數學教育學報，2022，31（3）：6-14．

[責任編校：周學智、陳漢君]