聚焦小團體或個體的國外數學抽象實證研究：理論框架和實踐路徑

劉其右，郭玉峰

聚焦小團體或個體的國外數學抽象實證研究：理論框架和實踐路徑

劉其右，郭玉峰

（北京師范大學 數學科學學院，北京 100875）

數學抽象素養的真正落實需要開展實證研究．聚焦小團體或個體的國外數學抽象實證研究，涉及理論框架和實踐路徑兩方面．理論框架包括理論基礎和分析框架，其中，理論基礎是經驗主義和辯證主義兩個范疇的觀點，分析框架介紹了Piaget的抽象理論、RBC和RBC+C抽象模型；實踐路徑包括組織抽象活動、抽象活動的數據收集和分析．研究發現：國外數學抽象實證研究中，Piaget的抽象理論可用于揭示知識的抽象機制；RBC和RBC+C抽象模型提供了觀察抽象過程的理論分析框架；研究多以個體或小團體為研究對象；“數學結構”的含義豐富等．據此，國內開展數學抽象實證研究可借鑒之處是：注意不同類型學習者數學抽象思維的個性化；RBC和RBC+C抽象模型一定程度提供了可供借鑒的外顯化模型，但有其局限性；數學結構的研究需進一步深入；考慮集聚多方教學資源等．

數學抽象；實證研究；實踐路徑；小團體或個體

1 問題提出

新一輪數學課程改革將數學核心素養視為高中數學課程的終極目標，從課程理念、目標、結構、實施等方面體現了數學學科的獨特育人價值[1]．數學學科核心素養作為核心素養在數學學科的投射，是核心素養體系科學化的具體表現，在數學學習與應用過程中發展形成[2]．數學抽象素養作為其中之一，目前中國的研究更多集中在：數學抽象本體研究、數學抽象與數學教學研究、數學抽象度及其應用研究、數學抽象在其它領域的應用研究、數學抽象藝術研究等[3]，另有些研究[4–5]一定程度反映出群體的數學抽象素養現狀（如，水平表現、性別差異、地域差異等），但所得結論較為泛化，不能相對準確地獲取學習者數學抽象素養發展過程中的薄弱環節、一般規律等，所以，無法在學生數學抽象素養的培養等方面提出可操作性的建議．

數學核心素養的生成，源于對數學知識的學習[6]，學習數學的過程是發展學生數學核心素養的途徑之一[7]，因此，在考察廣泛群體的數學抽象素養現狀時，也需關注一些小團體和個體的數學知識抽象過程，發現不同類型學習者的數學抽象發展規律，對群體的研究成果給予適當補充．然而，國內關于這些方面的數學抽象素養實證研究的開展較為薄弱，相應的理論框架、實踐路徑等尚處于摸索和探究階段．據此，旨在研讀和介紹國外基于小團體或個體的數學抽象實證研究，以期推動國內數學抽象實證研究的開展．

2 國外數學抽象實證研究的理論框架

下面從理論基礎和分析框架兩方面，介紹國外聚焦小團體或個體的數學抽象實證研究．

2.1 理論基礎

抽象在數學教育中是一個重要問題．抽象的經驗主義解釋，將抽象與概括聯系起來，這種概括源于對一組特定實例的共同特征的認識，在20世紀主導了西方數學教育研究，但近年來受辯證唯物主義和人類情境認知理論的挑戰[8]．這里關注經驗主義和辯證主義對抽象的解釋，這兩大范疇的觀點對抽象思想產生了巨大影響．經驗主義和辯證主義之間的爭論常集中于抽象過程的本質而不是產物，這些敘述強調對抽象過程的研究．

在西方世界，抽象通常與經驗主義哲學聯系在一起，經驗主義對抽象的描述主要有3個基本特征：（1）抽象來源于對一組特定實例的共性的認識；（2）抽象是一個去語境化（decontextualization）的過程（如，時間和地點環境的分離）；（3）抽象是從具體到抽象的發展[8]．

經驗主義的抽象是從具體到抽象的單向過程，即具體與物理知識相關聯（基于經驗的知識）以及抽象與邏輯和心理結構相關聯，然而抽象也可看作是從具體到抽象、抽象再到具體的雙向過程，是一種“理論、經驗和先前斷開的知識片段的交織”[9]．另外，經驗主義認為抽象可以看作是一些具體事物共有的本質，即抽象與本質相關聯，而具體是指產生這種本質的東西．這種觀點假設了一種機制，通過這種機制“可以從對象中提取本質，要么剝離偶然的、不相關的特征，要么直接關注本質（原型、方案）”[10]．有學者指出，人類的某些先天特征有助于發現本質，但相關理論卻沒有進行深入分析，因為理論假定了一種神秘的機制可以發現本質[8]．

基于這些問題，Davydov提出了辯證主義觀點：具體和抽象是相關聯的，抽象過程中的發展不是從具體上升而來的，而是具體與抽象之間辯證的、雙向的關系；本質的發現是抽象過程的結果，抽象過程最終需要回歸到具體．認識本質，就是要找到各種現象的普遍性，并解釋這種普遍性是如何決定現象的出現和相互聯系的，即具體的存在．要做到這點，需要進行分析和綜合．在分析過程中，現實的外在（可觀察的）特征通過經驗思維（觀察異同、指出矛盾）聯系起來．然而，決定本質也需要在分析結果的基礎上，運用理論思維，再現“事物的普遍形式、尺度和規律”[11]．

2.2 分析框架

基于數學抽象的經驗主義和辯證主義觀點，20世紀國外的數學抽象研究多集中于對內涵、特征等的分析，直到21世紀初出現了一些基于小團體或個體的數學抽象實證研究的探討．在經驗主義和辯證主義兩大范疇之下，聚焦小團體或個體的數學抽象實證研究所依據的理論分析框架主要有：Piaget的抽象理論、RBC和RBC+C抽象模型．

Piaget發展的抽象理論分為兩大類：經驗抽象和反思抽象．反思抽象是基于個人行為和它所建立的關于這些行為間協作的心理關系，而經驗抽象是基于可以直接觀察到的對象屬性．因此，反思抽象的來源是邏輯——數學知識，而經驗抽象的來源是物理知識[12]．具體來說，Piaget[13]從經驗抽象（empirical abstraction）、偽經驗抽象（pseudo-empirical abstraction）和反思抽象（reflective abstraction）3個方面構建了抽象的理論分析框架．所謂經驗抽象，是直接從物理對象的屬性中獲得信息（如鵝卵石的重量、顏色和形狀），Piaget認為經驗抽象對于具體對象的分類是必要的．所謂偽經驗抽象，是更為高級的，關注的是物理對象上的行為（如數鵝卵石）．最高層次的抽象是反思抽象，通過考慮行為間的相互關系來關注基本結構的提取（如數一組鵝卵石，不管開始數的是哪一個鵝卵石，都能發現該集合的元素個數不變，從而發現可交換性）．

就目前研究看，經驗主義下的Piaget抽象理論多集中于對抽象本質的描述，較少用于對實驗研究的數據分析，其中，抽象過程的難于觀察是缺乏實驗證據的重要原因．直到2001年，Hershkowitz、Schwarz和Dreyfus團隊從實踐者的角度建立了Davydov的辯證主義理論，提出了RBC抽象模型，創造性地解決了抽象過程的不可觀測性問題[14]，并在后續研究中進一步將RBC抽象模型拓展為RBC+C抽象模型．

Hershkowitz、Schwarz和Dreyfus團隊提出的RBC和RBC+C抽象模型，討論了抽象過程中涉及的認知行為．RBC抽象模型包括識別（recognizing）、搭建（building-with）和建構（constructing）3種認知行為．（1）識別（R），指“在給定的數學情境下，學習者意識到已經存在某個數學結構時，就會識別出這一熟悉的數學結構”[15]，即學習者在現有的問題情境中，識別出先前獲得的數學結構（包括概念、抽象結構、方法和策略等各方面）；（2）搭建（B），指“組合現有的‘人工制品（artifacts）’（主要包括電腦、紙張等的物質對象和工具，以及知識、語言等的非物質對象），去實現一個目標（如，解決一個問題或證明一個結論）”[15]，即學習者使用先前獲得的數學結構去實現一個目標；（3）建構（C）是抽象的中心步驟，指“組合知識狀態的人工制品，以產生學習者熟悉的新的心理結構”[15]，即垂直重組現有的知識得到一種新的數學結構．此外，RBC抽象模型是一個動態嵌套模型．建構結合了識別和搭建，即搭建嵌套在建構中，而識別嵌套在搭建和建構中．值得注意的是，新結構的建構之后需經歷一個鞏固（consolidation）階段．鞏固的知識結構是學習者可用知識的一個組成部分，抽象的建構階段并不意味著鞏固．一種未得到鞏固的新的數學結構是脆弱的，它可能只在特定的語境、特定的環境、特定的表現以及在處理特定類型的問題時被使用．而經過鞏固的新結構，使學生可以在不同情境下流利和自信地使用它．因此，Dreyfus等[16]在RBC模型后加了一個“C”（鞏固），將RBC抽象模型改進為RBC+C抽象模型．

3 國外數學抽象實證研究的實踐路徑

盡管國外分析小團體或個體的數學抽象可依據不同的理論框架，但實踐路徑類似，主要包括：組織抽象活動、抽象活動的數據收集和分析．以案例1（聚焦小團體）——長方體體積測量公式的構建[17]、案例2（聚焦個體）——兩個無限集合大小的比較[18]為例，以Piaget的抽象理論和RBC抽象模型為分析框架進行闡釋．特別地，RBC+C抽象模型是在RBC抽象模型的基礎上進一步改進的，其實踐路徑本質相同，這里不再進行單獨舉例．

3.1 組織抽象活動

組織抽象活動主要包括：確定活動目標、選定研究對象以及設計抽象活動步驟和材料工具等．

3.1.1 確定活動目標

組織抽象活動時，首先需確定該抽象活動最終達到的目標，這一目標是多方面的，包括習得數學知識、經歷數學抽象過程、發展數學抽象思維等．例如案例1中，以長方體的體積公式為內容載體，設計了展現長方體體積公式抽象過程的一系列教學活動，同時在教學活動中潛移默化地發展數學抽象思維．

3.1.2 選定研究對象

確定活動目標后，需選定合適的學生為研究對象，以便更好地觀察目標的實現情況．首先，以個體為研究對象時，需盡可能地選擇具有良好口頭和書面表達能力的學生，其抽象過程能最大程度地被研究者清晰可見，且能依據記錄的數據較為容易地對其知識的抽象過程進行描述．例如案例2中，選取的研究對象是一個天賦極高的學生，他能對自己的想法進行很好地表述，同時能和研究者較好地交流．其次，以小團體為單位進行研究時，應考慮小組成員的多樣化，使不同層次的學生可以和諧學習、易于交流．例如案例1中，創建的小組考慮了學習成績低、中、高水平的學生，小組合作交流更易發生，抽象活動更易進行．

3.1.3 設計抽象活動步驟和材料工具

設計抽象活動步驟和材料工具是組織抽象活動的核心環節．總體看來，設計抽象活動步驟和材料工具體現為對抽象活動目標的進一步實現．例如案例1中，研究目標是探究焦點小組中3名六年級學生的數學抽象過程，并運用Piaget的抽象理論揭示焦點學生長方體體積測量的“抽象機制（abstraction mechanisms）”，即“生理/心理行為、心理關系和邏輯的數學主動知識”3者間的關系．為此，設計抽象活動步驟是編制與“長方體體積測量公式”相關的教學實驗設計（教學課持續9周，每周2小時，分3個階段，具體見表1），設計材料工具是設計活動中使用的教具（包括圖片、模型、實物等，具體見表1）．

表1 教學活動和材料

如表1所示，教學實驗設計的實施過程由3個階段組成．此外，實施過程也包括與全班的最初即時訪談以及與焦點學生進行的3次階段性即時訪談．全班的最初即時訪談是為了確定學生的先驗知識，并根據數據分析實施了第1階段（為期3周）教學序列，即識別棱柱的基本屬性和識別長方體，以補足先前知識的不足，幫助學生掌握該主題內容．按照表1的教學順序，在教學實施過程中需進行與焦點學生的3次階段性即時訪談，分別安排在每個階段的教學序列結束后．此過程中，第1階段的即時訪談可以詳細地了解焦點學生如何組織階段1中討論的要點，接著實施第2階段（為期1周）教學序列，即利用單位立方體搭建實物模型，并計算模型中單位立方體的數量．第2階段教學序列后，對焦點學生進行第2階段的即時訪談，詳細地了解焦點學生如何組織階段2中討論的要點，然后實施第3階段（為期5周）教學序列，即“長方體體積測量公式”的抽象過程．最后，對焦點學生進行第3階段的即時訪談，為了詳細考察學生是如何在長方體中構建體積和進行測量的，并確定其長方體體積測量公式的數學抽象機制．

上面借助案例1介紹了課堂教學實驗中所體現的設計抽象活動步驟和材料工具方面的內容，現在以案例2為依托，介紹任務型教學訪談中體現的相關內容．

案例2的研究目標是鼓勵一名15歲（十年級）天賦極高的學生抽象出無限集合大小比較的方法．根據該目標設計教學訪談內容．這里設計的抽象活動步驟是關于“兩個無限集合大小的比較”的抽象過程；設計材料工具是訪談過程中使用的表示集合的卡片（具體見表2）．

表2 訪談活動和工具

教學訪談分兩個階段．第1階段的目的是讓學習者注意到“自然數集中（Card A）包含的一組完全平方數（Card B）”，并且注意到“隨著數字的不斷增大，夾在兩個連續完全平方數之間的數字越來越多（Card M）”，引導學習者探究自然數集和完全平方數集間的大小關系．第2階段的目的是讓學習者注意到“線段長度（Card L）和正方形面積（Card S）是一一對應的”，這表示“自然數（Card I）和它的完全平方數（Card II）也是一一對應的”，繼續引導學習者探究自然數集和完全平方數集間的大小關系．總之，教學訪談的第1階段讓學習者基于代數表征去比較自然數集和完全平方數集的大小，而第2階段讓學習者基于幾何表征去比較這兩個集合的大小．學習者借助對無限集合的不同表征，逐步實現“兩個無限集合的大小比較”的抽象過程．

因此，設計合理的抽象活動步驟和材料工具，有助于抽象活動的順利開展，可以更好地引導學生體驗抽象過程．這里，案例1中“長方體體積測量公式”的抽象過程被設計為如何用單位立方體搭建長方體的過程，該過程指先用單位立方體搭建長方體的實物模型，然后用單位立方體只搭建出長方體的空間維度（長、寬、高），最后將單位立方體放入一個各表面被單位正方形覆蓋的長方體．案例2中“兩個無限集合的大小比較”的抽象過程被設計為如何利用無限集的不同表征形式，引發學生的認知沖突，從而讓學生抽象出一種無限集大小的比較方法，即——對應的方式．

3.2 抽象活動的數據收集和分析

研究者可以有多種方式收集學生數學抽象活動中的數據：視頻錄像、任務表和日記等，之后對其分析得到結果．

數據分析應選擇合適的抽象理論框架，考察學生數學知識的抽象過程及其特征表現等．案例1中，依據Piaget的抽象理論分析框架明確了焦點學生在反思層面上建立的心理關系，并揭示其長方體體積測量公式的抽象機制，主要包括3個方面：生理/心理行為（如，用單位立方體填充長方體，計算由單位立方體構成空間維度的長方體體積，并發現單位立方體數量即為長方體體積）、心理關系（如，理解高度即是長方體中單位立方體填充的層數）和邏輯的數學主動知識（如，體積測量公式可表示為：第一層中單位立方體的數量乘以高度）．

這些說明了案例1是如何利用Piaget的抽象理論進行結果分析，現在借助案例2闡述RBC抽象模型的具體應用．

案例2中，依據RBC抽象模型分析學習者在無限集合大小比較任務中的抽象過程．在這里，識別（R）指學習者可以識別出自然數集、完全平方數集和無限集合的概念、包含概念中部分和整體的關系、一一對應的概念等數學結構．搭建（B）指學習者用包含關系比較無限集合的大小，即任意一個集合是集合的真子集，那么集合中的元素比集合中的多；以及用一一對應關系比較無限集合的大小，即線段和正方形之間的一一對應擴展為線段長度和正方形面積之間的一一對應．在兩個無限集合大小的比較過程中，包含和一一對應概念的同時應用會導致矛盾，由此，學習者關于“集合比較的有效方法”的概念發生了變化，進一步區分了有限集合和無限集合的情況．建構（C）指學習者建構的兩種模型，即“數學理論一致性”的一般模型和“有限集比較系統擴展到無限集比較系統”的具體模型．在這里，具體模型（較低級別）的建構行為嵌套在一般模型（較高級別）的建構行為中，識別和搭建行為也在其中．

4 結論與啟示

4.1 結論

開展數學抽象實證研究增強了考察學生數學抽象過程的實踐性，是將數學抽象素養落地生根的重要途徑之一．聚焦小團體或個體的國外數學抽象實證研究主要包括：明確理論框架、探析實踐路徑兩個方面．

4.1.1 Piaget的抽象理論可用于揭示知識的抽象機制

經驗主義假設了一種與人類先天特征相關聯的神秘機制，人類借助這種機制能從研究對象中提煉本質[8]．類似地，Piaget指出，作為個體自身內部建構的結果而創造的主動知識，由個體“學習機制”的功能所創造的認知結構構成．在案例1的第3階段即時訪談中，研究者探究了焦點學生在課堂教學活動中認知結構所構成的主動知識，用Piaget的抽象理論揭示了學習者在反思層面上建立的心理關系，并將他們在長方體教學過程中發現的體積測量公式和公式的基本原理進行了抽象構建．比如，使用“每一層每一行的單位立方體數量′行數”等于“每一層的單位立方體數量”，“高”等于“層數”成功建構了心理關系，得到“長′寬′高”和“第一層單位立方體的數量′高”的體積測量公式．可見，抽象機制是精心解釋數學知識創建過程的一個重要工具[12]，而Piaget的反思抽象是認知發展的基礎，是高級數學思維的有力工具[19]，用Piaget的抽象理論揭示抽象機制，有助于提升學習者在未來學習生活中的數學思維．

4.1.2 RBC和RBC+C抽象模型提供了觀察抽象過程的 理論分析框架

數學抽象作為一種不可觀察的心理活動，研究者想要實證地研究抽象過程，需要設計一種方法使其變得可觀察．抽象的過程發生在學習者的活動中，活動是由行為組成，行為通常是可觀察到的，所以，作為心理行為的認知行為是可以在抽象過程中被使用或進行知識建構的[20]．認知行為往往需在適當的環境中顯現，而具有豐富社交互動的場景是觀察認知行為的良好框架．鑒于此，Dreyfus團隊關注學習者學習過程中顯現的認知行為，提出了抽象的動態嵌套模型——RBC抽象模型，即識別（R）、搭建（B）和建構（C）行為．學習者先識別出給定問題情境中自己熟悉的數學結構，可以是先前獲得的數學概念、方法、策略等；再通過搭建這些數學結構，即綜合利用已有的數學概念、方法、策略等，嘗試解決給定問題情境中提出的問題；最后，若使用先前獲得的數學結構已無法解決這一問題，則要通過建構新的數學結構來實現．

因此，RBC抽象模型為更好地開展數學抽象實證研究提供了一個可操作性的理論框架，它允許研究者在抽象過程中精確地了解其微觀生成，該模式是許多研究的基礎．依據RBC抽象模型開展實證研究過程中，更復雜案例的研究表明，RBC模型需要進一步考慮鞏固（C）行為方面，因此，Dreyfus團隊在已有研究基礎上，將RBC抽象模型改進為RBC+C抽象模型，這里不再進行過多贅述．

4.1.3 研究多以個體或小團體為研究對象

國外數學抽象實證研究所選實驗對象大多為個人、2人小組或約為10人的小團體，研究在小范圍內進行實施，以便更好觀察個人或多人交互中的數學抽象過程．研究通常聚焦于學習者的個性、才能和態度等心理構成，關注個體的數學抽象發展過程，體現研究對象的個性化．

RBC和RBC+C抽象模型涉及語境抽象，強調在特定的語境中描述抽象過程．可能影響抽象過程的語境因素包括物理環境、學生工作的任務以及他們可用的紙張、鉛筆或電腦等工具；也包括學生的個人經歷、想法、概念、語言和程序等之前學習的結果．此外，任何抽象過程都發生在特定的社會環境中，語境也包括學生之間、學生與教師之間的社會關系．因此，RBC和RBC+C抽象模型與個體的抽象過程、個性化是密不可分的．

4.1.4 “數學結構”的含義豐富

國外數學抽象研究中提到的術語“結構”被進一步用作“概念、抽象結構、方法、策略和概念的通用術語”[16]，即學生獲得或發展的東西，涉及行為、觀察、話語、思考、認知等方面．由此，“數學結構”的意義更為豐富，包含數學概念、數學方法、數學思想等各方面．

4.2 啟示

自數學抽象素養提出以來，國內雖已開展了一些關于數學抽象的研究，但在數學抽象實證研究方面仍存在些許空白．關于國外數學抽象實證研究的介紹，對中國開展相關研究工作的啟示如下．

4.2.1 注意不同類型學習者數學抽象思維的個性化

中國更傾向于采用量化研究的方法開展數學抽象實證研究，較少關注學習者個體．比如，有學者[5]基于測試開展高中生數學抽象素養水平現狀研究，研究從大范圍內給出高中生數學抽象素養水平的總體現狀，得到類似于“高中生數學抽象素養水平一般；市區、縣城、鄉鎮不同地域學生數學抽象素養水平不均衡”等研究結論．這些研究在宏觀層面反映出廣泛群體的情況，但在微觀層面存在不足．不同類型學習者的數學抽象思維是個性化的，應考察各類型學習者的數學抽象發展過程，進一步發現其中呈現的一般性規律．

反觀國外數學抽象研究，更關注在語境中研究抽象過程，體現學習者的個性化．RBC和RBC+C抽象模型中抽象過程的發生是擁有多方面背景的：抽象過程受到學習任務的影響；抽象過程可能會利用人工制品；抽象過程取決于學生和教師的個人經歷；抽象過程發生在特定的社會和物理環境中[16]．因此，研究可以將數學抽象過程中的語境化作為一個切入點．

數學思維的形成是數學知識學習的過程，學習者對知識學習水平的提高伴隨著數學思維的逐漸形成[21]．數學抽象過程的語境化一定程度體現了數學抽象思維的個性化．考慮學習者進行數學抽象的背景環境，才能更完整分析個體的抽象過程，更好地揭示數學抽象的本質．

4.2.2 RBC和RBC+C抽象模型的借鑒性和局限性

開展數學抽象實證研究，分析學習者抽象過程中的具體表現，需依據可靠的理論分析框架．RBC和RBC+C抽象模型為中國開展數學抽象實證研究提供了一定的理論借鑒．作為觀察數學抽象過程中認知行為的RBC和RBC+C抽象模型，分別從識別（R）、搭建（B）、建構（C）和鞏固（C）對數學抽象過程進行外顯化描述，幫助研究者觀察學習者的數學抽象過程，對實證研究的開展具有重要意義．

目前，以RBC和RBC+C抽象模型為理論分析框架的研究主要集中在兩個方面：人際互動（同伴合作、教師干預）與數學抽象的關系、數學學科內容知識的抽象過程．關于同伴合作與數學抽象的關系，從21世紀初始，Dreyfus團隊已開展了持續性研究，重點關注不同個體交互中的數學抽象過程，得到了一些研究結果，例如，同伴合作中導致抽象的4種交互模型[15]．另外，Dreyfus團隊也研究了數學學科內容知識的抽象過程，例如，依據RBC抽象模型分析了建構切線定義的過程，提出了建構定義過程中的特點[22]．除Dreyfus團隊外，也有一些學者依據RBC+C抽象模型分析了分數乘法學習過程中的知識抽象過程[23]，考察了極限知識的抽象過程[24]等．有關教師干預與數學抽象的關系，Ozmantar團隊在Dreyfus團隊的研究基礎上進行了一系列研究，例如，在RBC理論框架內探討了腳手架在抽象過程中的作用[25]．

可見，RBC和RBC+C抽象模型多用于學習者數學知識抽象過程的各方面研究，其中，在研究個體和個體交互中的數學抽象過程中有著重要應用，對國內開展數學抽象實證研究具有借鑒價值．但是，RBC和RBC+C抽象模型在針對大規模群體的數學抽象的評價、測量等量化研究中尚難以采用，無法收集充足數據提煉出數學抽象中共性的部分或規律，這也是該抽象模型的局限性．

4.2.3 數學結構的研究需進一步深入

國外數學抽象研究中提出的“結構”，可指數學概念、方法、策略等，這與中國數學抽象中對“結構”的闡述，具有一定差別．

中國數學抽象中的“結構”主要是從數學內部發展中提出來的．有學者[26]認為：“所謂結構，簡單地說就是事物間的相互聯系和規律性．數學結構一般是指集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關系．”具體來說，從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學的研究對象，形成一個集合，在這些研究對象之間賦予關系或者運算就形成了結構，又叫抽象結構．一個集合只是一組元素無所謂結構，但引進了關系，就形成了結構．例如，向量空間就是一些元素以及元素間的關系構成的一個結構．歐氏三維空間、復平面、實系數線性方程組的解集等都是向量空間，這些向量空間的元素各不同，由這些元素構成的集合在定義了加法、數乘運算后，都滿足相同的運算律，即構成向量空間．

因此，國內從數學內部發展中提出的“結構”，只包含了用數學語言或形式所表達的抽象結構，這與國外研究中關于數學結構的界定不同．國內數學結構更強調在數學內部發展中形成的結構，強調對數學結構本質的認識和理解，而國外關于數學結構的內涵更豐富，不僅僅指數學語言或符號化的表達，還包含所運用的數學方法、數學思想等．

4.2.4 考慮集聚多方教學資源

數學抽象實證研究的順利實施，與教學資源的運用是分不開的．而數學抽象實證研究中實踐環節的實行，更需要各方教學資源的支持，如數學一線教師、數學教育研究者等之間的合作，教具、教材等的使用．另外，數學任務設計可依賴于多樣化的材料工具設計，例如，案例1中作為教學材料的單位立方體、地磁棒、棍棒和技術的使用，案例2中作為教學訪談材料的卡片等都為學習者提供了有用的工具，促進了學習者的學習．因此，教師在設計任務活動時，應使用不同的材料進行支持，使不同水平的學生更易于學習．

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Empirical Research on Small Groups or Individuals in Foreign Mathematical Abstraction: Theoretical Framework and Practical Approach

LIU Qi-you, GUOYu-feng

(School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The real implementation of mathematical abstract literacy requires empirical research. This paper introduces the empirical research of foreign mathematical abstraction in small groups or individuals, which involves both theoretical framework and practical approach. Theoretical framework includes theoretical foundation and analytical framework. Among them, the theoretical foundation is empiricism and dialecticism; the analytical framework introduces Piaget’s abstract theory, RBC and RBC+C abstract models; and the practical approach includes the organization of abstract activities, data collection and analysis of abstract activities. It is found that in foreign empirical studies of mathematical abstraction, Piaget’s abstract theory can be used to reveal the abstract mechanisms of knowledge; the RBC and RBC+C abstract models provide a theoretical framework for observing abstract processes; the research mostly takes the individuals or small groups as the research object; and the meaning of “mathematical structure” is rich. Based on these, the domestic mathematical abstract empirical research can be used for reference: attention should be paid to the individuation of mathematical abstract thinking of different types of learners; the RBC and RBC+C abstract models can be used to provide explicit models for reference to some extent, but they have their limitations; the study of mathematical structure needs to be further in-depth; gathering multiple teaching resources should be considered.

mathematical abstraction; empirical research; practical approach; small groups or individuals

2022–02–16

2019年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——高中數學核心素養理論框架的實證及實踐研究（19YJA880009）；北京市教育科學規劃一般課題——不同時代背景下北京市數學卓越教師特征與成長路徑的比較研究（CDFB18364）

劉其右（1993—），女，安徽蕪湖人，博士生，主要從事數學教育研究．郭玉峰為本文通訊作者．

G635

A

1004–9894（2022）03–0077–07

劉其右，郭玉峰．聚焦小團體或個體的國外數學抽象實證研究：理論框架和實踐路徑[J]．數學教育學報，2022，31（3）：77-83．

[責任編校：周學智、陳雋]