淺談初中數學動點軌跡問題的解題策略

劉杰

摘要：初中數學動點軌跡問題是當前初中生數學學習中的重難點，利用轉化思想，通過尋找定直線或定點，能夠將復雜的問題形象化、簡單化，構建學生轉化思想，高效解決直線型與圓弧型軌跡問題。

關鍵詞：轉化思想;軌跡;動點

初中數學中動點類問題集合了中學階段多模塊的知識，對學生的空間想象能力，邏輯分析能力等要求較高，學生腦海對動點圖像沒有直觀畫面，進而難以著手解決問題，而動點中的軌跡問題更是其中的難點。初中數學的動點軌跡問題，一般有兩種情況：線段型或圓弧型。在研究動點問題時，可以在運動中尋找不變的量，即不變的數量關系或位置關系。如果動點的軌跡是一條線段，那么其中不變的量便是該動點到某條直線的距離始終保持不變;如果動點的軌跡是一段圓弧，那么其中不變的量便是該動點到某個定點的距離始終保持不變。因此，解決此類動點軌跡問題便可轉化為尋找定直線或定點。下面就以原文中兩個例題來闡明這類動點軌跡問題的解題策略。

一、運動路徑是線段

例1（2012年張家界中考題）如圖1，已知線段AB=6，C、D是AB上兩點，且AC=DB=1，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為_______.

解析：此題中主動點是P，動點G是因點P的變化而變化，動點P在運動過程中始終保持不變的量是AP+BP=6。另外，題中還有不變的量是△APE和△PBF始終為等邊三角形。

解答此問題需牢牢把握住這兩個不變的量，而既然是求動點G的運動軌跡，則需考慮點G是到某條直線的距離保持不變，還是到某個定點的距離保持不變，顯然此題首先考慮的是點G是否到直線AB的距離保持不變，因此嘗試作GQ⊥AB，垂足為Q.又根據△APE和△PBF均是等邊三角形這一性質，不難想到分別作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分別為M，N（如圖2）。

事實上，點G在運動過程中，MQ的長度也是始終保持不變，因此G的運動路徑長度就是M點的運動路徑長度，而整個運動過程中M點是從AC的中點運動到AD的中點，即M1M2（如圖5）。

如果用這樣的方式去分析問題，那么最終學生頭腦中對整個變化過程會有一個全面而清晰的了解.此題的解題思路中還體現了轉化思想，對培養學生的數學思維是有積極作用的。

二、運動路徑是圓弧

例2（2011年湖州中考題）如圖6，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D。

（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）;

（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值;

（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交予點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖7）.當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動，請直接寫出點H所經過的路徑長。（不必寫解答過程）

解析? （1）、（2）略。

（3）此題中主動點是P，動點H是因點P的變化而變化.動點P在運動過程中始終保持不變的量是OH始終垂直ME，即日始終為垂足。而求動點H的運動軌跡，則需考慮點H是到某條直線的距離始終不變，還是到某個定點的距離始終保持不變。由于OH⊥ME，連結OM后，△AMH始終為直角三角形，而斜邊OM不變，因此根據直角三角形的性質容易得到動點日到DM的中點的距離始終不變，從而可得到點H的運動軌跡是一段圓弧。

下面只需確定圓弧的度數即可，即要找到動點H的始點和終點，根據圖形的變化容易分析得動點H無限接近點C，因此可將點C定為動點H的終點.當點P在O點時，點H在始點，記為H1，由對稱性可知，此時點E的坐標為（3，0），作MN⊥OE，垂足為N，取DM的中點F，再連結FC、F H1 （如圖8）。

因為M點的坐標為（1，2），所以可得MN=NE=2，所以得到∠MEN=45°，所以∠H1OE=45°，所以∠H1OC=45°。

因為C，D，H1，M四點共圓，所以∠CFH1=90°。

又因為FC=OM=，所以弧CH1的長為：，所以點H所經過的路徑長為。

以上兩個例題剛好反映了初中數學軌跡問題中的兩種典型情況。此類問題的解題策略便是確定動點到定直線的距離保持不變，還是到定點的距離保持不變。沿著這個思路走下去，便能找到變化過程中不變的量，從而找到解題的突破口。