新課改背景下的高中數學建模教學實例分析

黃麗麗

摘要：隨著高中新課程的不斷深化，對學生進行數學建模的研究也越來越多。2003年，我國在中學數學建模方面引進了數學模型，但經過十余年的實踐，其效果并不明顯。本文根據以往的研究，對中學數學模型的教學策略進行了分析和討論。

關鍵詞：數學建模;數學模型;數學建模教學

1高中期間進行數學建模教育的必要性

1.1有助于激發高中生的學習興趣，增強他們學習數學的自主性

以往的數學學習采取的是“背公式、套公式、答題、對答案”等老路，該種簡單的、枯燥的、機械的學習形式，極易扼殺高中生學習數學的積極性。而數學建模是結合實際問題尋求答題的辦法，屬于活生生的事例，高中生在學習過程處于主體地位，可以更好調動高中生的自覺性、積極性，讓學習過程變成老師指導下的“創造”過程，可以調動高中生學習數學的熱情。

1.2有助于增強高中生的應用意識，提升高中生處理實際問題的水平

數學建模的目的是處理生活中的現實問題，不再是按照各類已知條件，經過計算，獲得一個確切答案。數學建模使高中生自主提問、采集素材、判斷真假、處理問題，高中生面對的也許是與自己生活緊密關聯的像家庭理財事例，或是和每日出行有關的公交站臺建設等問題。高中生真切面對社會以及現實生活，可以體驗到實際生活的復雜與多姿多彩，在應用數學知識時提升高中生處理現實問題的能力。

2高中數學建模需遵循的基本原則

2.1遵守問題挑選的原則

數學建模的重點之一即“問題”，針對課題的挑選必須遵守如下幾點原則：（1）問題性———數學建模過程所包含的問題應當是源自高中生的實際生活、現實社會與其他課程等各個方面，所包含的數學思想、方法要和高中數學學科內容有關系。（2）價值性———問題應具備現實意義，兼具合理性與創新性。（3）可操作性———選取的問題應符合高中生的知識水平與技能及有關的物質環境。

2.2要高中生參與整個過程的實行

數學建模的重點之二即“過程”。數學建模屬于一個整體的學習過程，需要“問題的發現與提出”要是高中生自覺參與探究的結果，所以在建模時需要高中生參與對問題背景的調研過程、對問題最初信息的處置分析過程、問題化解后的延伸探討過程。

3新課程環境下高中數學建模分析

數學建模是基于現實問題，忽視次要因素，依靠數學思維、方法將重要內容抽象概括得出有關數學模型，借助數學知識求出數學模量，然后將解代入實際問題中來驗證并結合實際狀況加以完善的過程。數學模型的建立通常要經歷如下幾個步驟：

3.1模型準備

經觀察了解與把握實際問題的具體資料及信息，推斷與分析事物的特點、相互關聯與變動規律。（具體背景）

3.2模型假設

基于現實問題的特定聯系與基本要求，依靠數學理論挑選重要變量與常量，知道主要矛盾與本質特點，對問題進行理想化與簡單化的解決。（提問）

3.3模型建立

這屬于數學抽象問題，借助數學概念、符號以及式子等基本工具描述變量之間的聯系，創建相關的數學框架。（數學模型）

3.4模型求解與分析

依靠方程、圖解、邏輯推導、理論驗證以及穩定性探討等數學知識進行模型求解，且對求解結果展開數學分析。

3.5模型檢驗和修改

把數學模型的分析內容反映至實際對象，進一步修正模型的科學性與適用性，直至獲取滿足客觀情況的數學模型。

例1某個旅行社開展20到80人的旅游團。當游客是20人時，每個游客收費是200元;當游客數量超出20人時，能夠適當減少游客的費用，比如每增多1位游客少收2元。旅行社進行一次旅游的固定成本是4000元，再提供給每個游客30元的食物。旅行社希望了解：旅行社的收益和游客數量的關系，何時收獲的利潤最多，什么時候虧本？

【模型假設】

分析：在該問題中，有的條件是不明確的，比如：當游客超出20人時，每增多1位游客少收2元，還是指增多的那1位游客少收2元？由此做出以下假設。假設1：當游客超出20人時，每增多1位游客少收2元，表示第21位游客交198元，第22位游客交196元，由此類推（若指每位游客少收2元，要另解）。假設2：游客按照收費狀況均攤費用。

【模型建立】

設游客有x人，則20≤x≤80，設y代表旅行社進行一次旅游所獲取的利潤。由此得知，當僅有20位游客時，因為每個游客僅收200元，20位游客總共收4000元，剛好是旅行社開展以此旅游的固定費用。這時，旅行社還要為每人提供30元的食物，所以會損失600元。當x>20時，旅行社的收益：y=198+196+……+

【模型分析】

借助等差數列求和式子得出：

因此y的最值點為x=104。5時，所以最值點不在[20，80]內。但是其在[20，80]上是增函數，所以x=80時獲取最高收益。當游客數量不足24名時旅行社會虧本，由于這時y=198+196+194-23×30<0。以上幾個步驟能夠結合實際狀況靈活應用，針對復雜題目，一般采取邊分析邊摸索數學模型的辦法。

例2最早的掃地機器人裝了防震的橡膠原料，在室內可以活動，當碰撞到阻礙物時變回隨機調換方向（見圖1），直到清理完成。該種最早的掃地機器人從開啟的房門“離家出去”的概率為（）。解：該種狀況掃地機器人的方位選取屬于隨機的，它會在設定時間內清理好房子的各個部位（除了被家具等遮擋的位置），即掃地機器人到達室內任何一個無阻礙物的地方的概率為1，所以運動至門口的概率為1，而門口沒有阻礙物阻擋，因此將直接走出去，也就是掃地機器人離家出去的概率為1。

參考文獻：

[1]鄒勇泉.“互聯網+”下的高中數學建模教學[J].高考，2021（31）：37-38.

[2]李凱.高中數學建模教學：現實困境與突圍路徑[J].中學數學月刊，2021（10）：7-9+19.