審意·培思·論證：初中幾何概念教學策略探究

王寧

概念是數學課程中較為常見教學內容。學術界將“概念”定義為“反映對象本質屬性的思維形式”，可見，數學概念教學既要體現對數學對象本質屬性的研究，其中更蘊含對學生數學思維形式發展的教學要求。幾何是初中數學重要組成，幾何概念學習是學生探究初中幾何基礎與保障。所謂“代數繁”“幾何難”，加強幾何概念教學策略研究，對促進初中數學教學有重要現實意義。本文以蘇科版初中數學教材為例，就此話題展開討論。

一、初中數學幾何概念形式

初中幾何研究對象繁多，涵蓋點、線段、直線、直線關系、夾角、圖形（三邊形、四邊形、多邊形、圓形）等，通過概念學習來厘清幾何圖形性質，增進對幾何圖形認知。發展幾何思維能力，是初中階段幾何概念教學關鍵點?？v觀初中數學幾何概念表現形式大致可分為如下幾種形態：

1.文字描述型

某些幾何圖形與人們日常生活關系緊密。學生借助已有生活閱歷，對其已經具備了相應認知能力，只是苦于或無力對其進行準確描述，這種情況下，教材通常會以“白描”方式將其概念直接以文字形式予以顯示。如，七年級上冊“平面圖形的認知（一）”中關于“點到直線的距離”概念，直接表述為“直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離”;再如七年級下冊“平面圖形的認識（二）”中對三角形的定義，則直接用文字表述為“三角形是由3條不再同一條直線上的線段，首尾一次相接組成的圖形”;還有九年級上冊《對稱圖形——圓》中“正多邊形”概念為“各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形”等。

2.圖形輔助型

有些幾何概念從圖形中抽象而來，或需從圖形關系中產生，因而在概念表述時需借助圖形降低學習理解難度，或反映概念中各種因素幾何關系。通過圖形詮釋概念，體現對學生幾何直觀、空間觀念與模型思想等數學思維的教學滲透。如，七年級上冊“平面圖形的認知（一）”中對“垂線段”的幾何概念定義，則利用了圖形輔助（見圖1-1），教材描述為“如圖，點P在直線l外，PO⊥l，垂足為O，PO叫做點P到直線l的垂線段”。再如，七年級下冊“平面圖形的認識（二）”中對“同位角”“內錯角”“同旁內角”等幾何概念表述時，也均借用了圖形輔助（見圖1-2），體現上述概念中不同幾何圖形關系。

3.符號標識型

將幾何圖形進行抽象化，將圖形所涵蓋的本質屬性以數學符號形式予以展示，體現幾何概念中的應用原理，在初中數學教材中也較為普遍。符號化的幾何概念，既是對歸納、符號意識、模型思想等數學思維教學引導，也是對數學學科規范嚴謹特點的認知滲透。如，七年級上冊“平面圖形的認知（一）”中關于“平行線”幾何概念，既體現了“在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線”文字定義，用通過“兩條直線相互平行，記作a∥b或者AB∥CD”給予符號標識。再如，九年級上冊《對稱圖形——圓》中有關“圓”“圓弧”幾何概念，提到“以點O為圓心的圓，記作‘⊙O，讀作‘圓O”，“圓上任意兩點間的距離叫圓弧，簡稱弧，用符號‘⌒表示”等等。

二、初中數學幾何概念教學策略

幾何概念源于數學概念，具備一般數學概念基本特征。教學過程中應遵循數學課程規律與學生認知特點，以生為本，引導學生在接觸幾何概念時主動進行知識建構。與此同時，教師也應摒棄大包大攬、滿堂灌輸等傳統教學方式，在思維引導和認知結構構建方面予以積極引導，促使學生在幾何概念學習中取得更好成果。以筆者實踐為例，關于初中數學幾何概念教學可從如下幾方面進行優化：

1.審意：重視幾何語言研讀

幾何概念由幾何語言構成，幾何語言有其獨特邏輯規范與敘述風格。前文提到的“文字語言”“圖形輔助”“符號標識”等，均體現不同情境下幾何語言對幾何的完美詮釋。筆者發現：幾何方面表現不佳學生，多半根源出在對幾何概念理解偏差方面，由于認知不深、解讀不全，嚴重影響他們在幾何應用與題型證明等方面表現。因此，加強對幾何概念中幾何語言教學研讀，培養學生透過幾何概念深入探尋其中數形關系，則有助于提升學生幾何學習表現。

以九年級上冊《對稱圖形——圓》中“圓周角”概念教學為例。關于“圓周角”，教材給出的定義是“頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角”。這個概念的形成，至少包含兩個條件：（1）角的頂點要在圓上;（2）角的兩邊要全部和圓相交。那么，這個概念在解讀過程中就會有“疑問點”，有學生就問到：什么是“和圓相交”？結合圖形，在深入理解探究過程中，學生們發現：“和圓相交”即是圓周角的兩邊都必須有“兩點”在圓上面?？赏ㄟ^以下例題進行佐證（見圖2）：以下圖形中各角，哪幾個是⊙O的圓周角？（? ）A，∠1 ;B、∠1、∠4;C、∠1、∠3、∠4;D、∠1、∠2、∠3、∠4。本題關鍵在于對“圓周角”概念理解，通過概念中必要條件（1）“角的頂點在圓上”，則可以排除∠2，實際上∠2是⊙O的圓心角。雖然∠1、∠3、∠4符合概念中的條件（1），那么它們是否符合第（2）個條件“兩邊全部和圓相交”呢？∠1兩邊有兩點在圓上，因此很容易判定其符合題意?！?只有一條邊與⊙O相交（有兩個交點），另一邊只有一個交點，所以∠3不合題意;∠4情況略顯特殊，雖然是角與半圓關系，但通過補圓，我們發現其同樣符合“圓周角”概念條件中“頂點在圓上”“兩邊都與圓相交（兩邊都與圓有兩個交點）”條件，符合題意。因此，本題答案為B。

2.培思：加強幾何圖形探究

幾何是與圖形相關數學，幾何概念學習的前提建立在學生對幾何圖形深入研究基礎之上，建立在學生對圖形性質快速識別、準確依據幾何語言快速畫出幾何圖形及圍繞幾何圖形快速展開計算應用等基礎之上。初中數學幾何概念的導入、公式定理的闡述證明等等，均離不開學生對幾何圖形的深入理解，體現幾何概念與識圖讀圖能力互相促進的教學關系。引導學生加強對幾何圖形的深入探究，實則體現對通過幾何思維培育，為幾何概念理解與應用奠定堅實基礎。32CC6605-ECCA-467E-BFFD-7F8E024C8405

以八年級上冊“軸對稱圖形”某習題為例。如圖（見圖3）已知A、B、C三點均處于方格紙格點之上，請再找一個格點D，使A、B、C、D四點組成一個軸對稱圖形。本題需畫圖解決，前提建立在學生對幾何圖形深入理解基礎之上。通過本題探究，可深化學生對“軸對稱圖形”這一幾何概念認知。解題前，首先要借助前文“幾何語言”研讀策略，深入探尋題干與問題核心。題目共中有哪些條件？題目要求取得什么結論？通過讀題，不難得出本題給出兩個條件：（1）三點固定（A、B、C）;（2）新的四邊形ABCD是軸對稱圖形。而找到D點的關鍵，最終落在解決“如何確定對稱軸”問題之上?？赏ㄟ^（1）以線段AB的垂直平分線為對稱軸，找到C點的對稱點D（見圖3-1）;（2）以線段BC的垂直平分線為對稱軸，找到A點的對稱點D（見圖3-2）。但是，很多學生往往忽略了將圖中已知線段AB、BC、AC本身作為對稱軸的作圖方法，因而缺少了其他解法（見圖3-3、圖3-4，注：因以AC作對稱軸時B點對稱點D不在格點上，故舍棄）。

3.論證：強化概念過程推演

幾何概念是對幾何現象規律進行判斷、推理與建構的重要依據，也是培養學生數學思維，啟發數學能力的重要開始。初中數學教材中編排的幾何概念，既是階段性教學目標任務的綜合體現，更建立在學生既有數學能力基礎之上。因此，在教學過程中，教師應重視引導學生對幾何概念形成過程深入探究，鼓勵學生通過推導、驗算、論證等方式對幾何概念成因序列展開推演，以深刻揭示概念之間的相互關聯及內在本質屬性特征。

以“等腰梯形”概念探究教學為例。對于等腰梯形，常見的判定概念是“同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”，那么，這個概念該如何證明？有人認為“對角線相等的梯形是等腰梯形”，你覺得這個概念是否正確？該如何證明？將幾何概念中的文字描述，轉化為實際推導驗算過程，是培養學生深入理解幾何概念重要途徑。課堂教學中，筆者將上述兩種與等腰梯形相關概念轉化為數學問題論證，引導學生通過概念形成過程的推導，強化對等腰梯形性質特點認知。對第一種說法，可轉化為如下數學論證問題：在梯形ABCD中（見圖4），已知AD∥BC，∠B=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形。學生通過研讀題意，很快找到的解題方法。沿梯形兩個腰BA與CD做延長線，交于F點（見圖4-1），構成一個全新三角形△BFC。因為∠B=∠C，所以△BFC為等腰三角形，所以FB=FC;又因為AD∥BC，所以∠FAD=∠FDA，所以△FAD為等腰三角形，所以FA=FD;因為AB=FB-FA，DC=FC-FD，FB=FC，FA=FD。所以，AB=DC;所以，梯形ABCD為等腰梯形。關于“對角線相等的梯形為等腰梯形”概念論證可通過如下具體問題予以實現：在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AC=BD，求證：梯形ABCD是等腰梯形。學生的論證過程為：過D點作DF∥AC交BC于F（見圖4-2）。因為AD∥BC，DF∥AC，所以四邊形ACFD為平行四邊形，所以DF=AC=BD，所以，∠DBC=∠DFC。因為DF∥AC，所以，∠ACB=∠DFC=∠DBC，根據三角形全等（SAS）判定公式，可得出△ABC≌△DCB，所以，AB=DC;所以，梯形ABCD為等腰梯形。通過這樣的論證與推演，不僅解決了學生對“等腰梯形”概念形成過程的親身體驗，深化學生對幾何概念隱含圖形屬性的根本性認知，更通過對相同幾何概念不同表述的驗證判斷，拓展數學思維，發展推理歸納能力。

綜上所述，幾何是初中數學的重要組成，是“數學是研究空間形式的科學”定位的核心要素。幾何概念隱含對數學符號意識、空間觀念、幾何直觀、推理能力以及模型思想的啟蒙與熏陶，是初中幾何教學的先導，更是幾何應用的前提。本文從幾何概念的常見表達形式入手，探究了幾何概念教學研究重點。從審意、培思、求證等方面探究幾何概念教學策略，引導教師從重視幾何語言研讀、加強幾何圖形探究、強化概念過程推演等途徑來展開幾何概念教學，讓學生從中不僅獲得數學知識，更可收獲尺規作圖經驗，通過內化能力、外化建構方式，提升幾何概念教學效果，為培養學生數學核心素養而不懈努力。32CC6605-ECCA-467E-BFFD-7F8E024C8405