高等代數實踐教學創新途徑探討

黃敬頻，王宏興

（廣西民族大學 數學與物理學院，廣西 南寧）

一 引言

黨的十九大以來，教育部推出了“四新”建設、“六卓越一拔尖計劃”“雙萬計劃”以及“課程思政”等一系列重要舉措，我國高等教育進入內涵式發展新階段，高校人才培養能力得到全面提升。在本科教育教學質量全面振興的大背景下，許多教育新思想、新方法不斷出爐，一些陳舊的教學模式正在更新發展。針對當前存在的問題，教育部在《2020年度全國普通高校本科教育教學質量報告》中指出[1]，高校應當增強主體意識，搭建學科專業交叉融合平臺，改革完善人才培養方案、重組課程體系、更新教學考核和教師評價方法，為學科專業交叉融合辦學創造優良的環境條件。

為適應時代變化和社會對人才的需求，國內高校已普遍認識到實踐能力在人才培養中的重要性，并在各專業課程中制訂了理論教學與實踐教學相結合的教學方案，并分配有適當的實踐課時。高等代數作為數學與應用數學、信息與計算科學、金融數學等數學大類專業的基礎課，其實踐能力培養理所當然列入教學計劃當中。然而從教學過程中發現，該課程執行實踐教學的效果并不理想，學生的學習基本停留在對理論知識的被動接收，所學的代數知識不能較好地與其他課程對接與融合，造成學用脫節、綜合應用能力弱化現象。近年來，許多學者從應用型本科發展[2-3]、大眾教育背景[4]、專業定位[5]、實踐教學內容滲透[6]等角度討論了高等代數課程教學改革的思想方法。本文從專業知識交叉融合角度出發，進一步探討高等代數實踐教學的創新途徑。

二 高等代數實踐教學存在問題

以筆者所在教學單位為例，高等代數設置144學時，分兩個學期教學，其中實踐課時為16學時，共計1個學分。但在教學過程中，實踐課時使用效果并不理想，許多學生直到畢業也不會將其知識點應用到解決實際問題當中，造成這一現象的原因主要有以下情況。

（一） 缺少課程交叉融合案例

每個專業都有其合理的課程體系，各課程之間也存在一定的關聯性。以信息與計算科學專業為例，除高等代數外，還有數學分析、解析幾何、Matlab及其應用、數學模型、數值分析、矩陣計算、運籌學等專業課程，這些課程與高等代數都有內在聯系。但學生在學習過程中，由于缺乏課程交叉融合的案例教學，致使學用脫節，感受不到高等代數課程在本專業中的作用和地位，失去學習興趣與動力。就目前選用的高等代數教材來看[7]，內容具有理論性強、結構嚴謹、邏輯清晰、概念抽象等特點。盡管該教材已第五版修訂，在應用實例方面增加了一些內容，比如第三章增加了平板在熱平衡下的溫度分布，第七章增加了矩陣及其特征值在圖論中的應用以及斐波那契數列等內容，但總體還是偏少，尤其缺少課程之間交叉融合的實踐案例。

（二） 缺少綜合實踐訓練項目

從高等代數的教學過程及學生課后練習了解到，學生只會套用課本定理及公式去解答相應的習題，稍微綜合一點的題目就無從下手，由此可見學生的知識碎片難以拼接是本課程學習的一大障礙，當然這與缺少前后知識交叉融合的綜合實踐訓練項目有關。教師為了完成理論教學，無暇顧及實踐訓練項目的設計，失去教師的引導，學生就迷失學習方向，直接產生的后果除難以讓學生的知識融會貫通外，也錯過激發學生探索創新精神的好時機。

（三） 實踐考核制度不完善

對于高等代數的理論教學，各高校已有很完善的考核保障制度，但其實踐教學除人才培養方案中列出實踐課時外，沒有具體的考評制度。由于制度的缺失，一是讓教師覺得實踐環節可有可無，只需按教材內容講好每節課，無須花費更多的時間來設計實踐項目，以至采用理論課頂替了實踐課；二是使學生失去了參與實踐能力訓練的良好機會，助長學生的依賴和懶惰行為，嚴重影響到學生參與實踐的積極性與主動性。

三 高等代數實踐教學創新途徑

針對上述有關高等代數實踐教學所存在的問題，我們從專業知識交叉融合角度出發，給出有效利用實踐課時進行相關教學內容設計的思想方法和實踐教學的創新途徑。

（一） 實踐案例跨課程設計

在實際教學活動中許多教師往往沒有注意到課程之間存在的關聯性，這在一定程度上影響到學生的綜合能力提升。因此，教師要改變自己的角色，堅持教師主導原則，引導學生向綜合能力發展，教師需要根據具體專業的人才培養目標來建立起高等代數與其他課程之間的聯系，打通相關的專業課程，提升知識的連貫性與動態性，引導學生有目的地建立好相關知識網絡，提升學生的綜合技能水平。例如，講第二章行列式和第四章矩陣時，教師可以根據教學需要設計數學實驗，讓學生利用Matlab等科學計算軟件，去體會一些數值計算方法內容，讓學生從高等代數的學習中感悟出更多新思想，同時學生的計算機操作能力和互動溝通交流能力也能夠有所提高，實現跨課程綜合實踐訓練目的。

此外，同一門課程在不同專業的教學應有各自的特點，高等代數也不例外。以信息與計算科學專業為例，該專業要求學生初步具備在信息科學與計算科學領域從事科學研究、解決實際問題及設計開發有關軟件的能力。因此，課程實踐案例的設計應圍繞這個專業方向來選材，使得學生不斷鞏固專業思想，提高學習興趣，也激發學生探索專業問題的熱情。比如學習第三章線性方程組時，可設計下面一個交通問題的案例。

案例1. 某城區四周是井字形街道，其交叉節點為A,B,C,D，為緩解交通壓力，采用單行方式控制流量，其中A,D為進城口，B,C為出城口，車輛流向為A,D→B,C并規定每個節點進入和離開的車輛數相等。當給定某一時段的車流量，即給出流入或流出各個節點的2個值后，試計算四條路段上的交通流量。如果改變一些路段的車流量，那么相應方程組的解有何變化呢，并嘗試采用Matlab軟件來求解該問題。

對于上述案例1，通過列方程組求解，可讓學生直觀體會到理論與實際問題的聯系。當方程組的解出現有自由未知量時，說明四條路段上的車流量可在一定范圍進行動態調整，有利于交通部門指揮疏導擁堵的車輛，讓學生感受到該問題對分析和改進交通網絡是有實際意義的。同時這個案例加深了學生對方程組有唯一解、無解或有多個解的理解，從涉及的知識面來看，融合了數學模型、運籌學、Matlab及其應用等專業課程的知識。

矩陣的對角化在高等代數中是一個重要的知識點，涉及的內容有二次型的標準形、線性變換、正交變換等。當學完特征值與特征向量之后，多數學生能依照課本方法去將矩陣化為對角形矩陣，但學生對這些矩陣計算有何實際意義并不理解，這時教師設計一個綜合實踐案例進行教學，對提高學生的求知欲望是有幫助的。對此我們給出如下教學案例。

案例2. 本市有A,B兩家從事人工智能開發的私營企業，A是一家經營多年現有100名技術人員的企業，B是一家剛正式運營僅有20名技術人員的企業。由于兩家企業的人才流動原因，A企業每年可留下60%的技術人員，而有40%流向B企業；而B企業每年可留下80%的技術人員，而有20%流向A企業。假定兩家企業每年都按上一年度人數的10%引進新技術員，試確定2年后兩家企業的技術員數量。進一步考慮，20年后這兩家企業的技術員數量有何變化呢。

根據案例2的題意，我們容易得到n年后兩家企業的技術人員數量Xn+1=MXn，這是一個簡單的向量序列，其中X0=(100,20)T是初始技術人員數量，M是一個2階方陣，那么2年后兩家企業的技術員數量X2是不難計算的。但是當n=19時，學生會發現按原來的方法計算X20變得非常困難了，此時可給學生介紹利用矩陣特征值與特征向量計算矩陣方冪的方法，從而讓學生了解到矩陣方冪的應用[8]，此案例融合了數學分析中數列的知識。

另外，在講解矩陣的特征值與特征向量時，我們也可以引入人臉識別的應用案例[9]。首先指出在計算機上顯示的一幅人臉圖像，實際上是一個矩陣，一幅清晰度為1024×768的圖像，就是m=1024，n=768的m×n矩陣。如果考慮簡單的黑白圖像，則矩陣表示的就是該點的灰度值。然后在人臉圖庫中挑選若干個有代表性的圖像得到一張“平均臉”，并用矩陣A表示出來。取A的最大k個特征值所對應的特征向量作為空間基底，于是任意一幅人臉圖像就可用該基底近似表示出來，從而實現人臉信息成功壓縮并存儲。這個案例融合了圖像處理、矩陣計算、數值分析等專業課程知識，可加深學生對信息與計算科學問題的了解，并激發學生探索新問題的興趣。

（二） 實踐項目向綜合化設計

為幫助學生理解和掌握高等代數的理論知識，提高學生綜合分析和探索問題的能力，我們在實踐教學中，有針對性地布置一些綜合且開放的實踐問題，以問題為導向，驅動實踐教學活動的開展。例如，我們在講完多項式理論、行列式計算、線性方程組求解及矩陣運算的有關知識后，可設計如下一個使課本知識交叉融合的實踐訓練項目：

項目1. 設f(x),g(x)是數域F中的兩個多項式，構造x-矩陣A(x)并作初等變換

試說明f(x),g(x)的最大公因式與f1(x),g1(x)的最大公因式相同且

于是由C(x)可知d(x)是f(x),g(x)的最大公因式且d(x) =u(x)f(x) +v(x)g(x).進一步思考，如何用類似的方法求n個多項式f1(x),f2(x) ,… ,fn(x)的最大公因式呢。

又比如在第五章中正定矩陣的概念是由二次型的正定性所引出，然后指出了正定矩陣的許多性質，但教材的重點著重介紹這些性質和證明，對于正定矩陣有何用途并不介紹。針對這一情況，我們可設計如下一個有關正定矩陣的綜合應用項目：

項目2. 設A是一個n階正定矩陣，X是n維列向量，b是固定的n維列向量，c是固定的實數，試討論當X取何值時n元實二次函數f(X)=X′AX+b′X+c取得最小值，并給出其結果。進一步思考，當A是n階半正定矩陣時，其結果有何變化[10]。

學生對上述項目進行研究時會發現，項目1可用矩陣的初等變換求幾個多項式的最大公因式，這比課本的輾轉相除法更實用有效，項目2是把一元二次函數的最小值問題推廣到n元二次函數的最小值問題，拓廣了中學數學的內容和方法，也聯系了數學分析中多元函數的極值問題，讓學生感受到所學知識的用途，體驗到課本知識的融合貫通。通過類似的實踐項目訓練，培養了學生的科研與創新能力。

（三） 實踐訓練向跨專業平臺發展

跨專業實踐訓練是指多個專業圍繞相同項目共同開展實踐教學活動的一種課程組織形式。高等代數是數學大類專業的基礎課，目前缺乏實踐訓練平臺是阻礙該課程開展實踐教學活動的瓶頸問題。在互聯網應用相當普及的今天，應充分運用網絡教學，同時結合現代高科技軟件技術，搭建跨專業實踐訓練平臺。在平臺建設中，首先開發一個課程實踐訓練系統是必要的，這個系統可承擔多門課程的實踐訓練任務，有項目儲存、信息發布、成果提交、評價反饋等功能；其次是發揮本課程所有任課教師的團隊力量，設計好高等代數每一章的實踐訓練項目，每學期都添加一定數量新的項目后，系統就有充足的綜合與開放實踐問題供學生進行訓練。利用跨專業實踐訓練平臺，既解決因課時不足而影響理論教學的進度，又解決實踐教學考核難的問題，同時能較大提高學生參與課程實踐的主動性和積極性。

（四） 實踐考核向制度化完善

要提高學生參與實踐的主動性，首先要讓學生有充分的感性認識，這就需要通過大批的真人實事加強對實踐教學的宣傳，營造良好的自主學習氛圍；其次要對學生的實踐活動進行外在約束，從布置任務和跟蹤檢查到結果驗收，都要有制度保障，讓課程的實踐學分真正落實到位?，F在高等代數的教學評價基本由學生平時成績和期末成績兩大部分組成，而平時成績主要是看學生的上課考勤、提交作業、期中測驗情況，與實踐教學關系不大。所以，為了讓學生能夠從中獲得更多的知識和能力，就需要改變這種考核評價方法，將實踐能力的考核融入平時成績中。同時給予教師適當的教學壓力，目前高校教學中對教師的實踐能力沒有明確的要求，很多教師對此并不重視，因此通過制訂課程實踐教學目標，加強對教師實踐教學管理等制度，也是提高學生實踐創新能力的重要舉措。

四 教學建議

（一） 案例素材的選取問題

案例素材的選取主要有兩種途徑，一是對已有的典型案例進行改編，使其難易程度與學生的接受能力相協調，有利于教學的順利實施，比如，向量組線性相關內容可選取混凝土的配比問題；線性變換內容可選取計算機圖形學中的應用問題，這些實踐案例涉及的專業知識不深，學生容易理解和接受。二是根據教學內容的需要來編寫，這樣既能幫助學生對理論知識理解，又能把理論與實際問題聯系起來。有些問題雖然與高等代數關系密切，但問題表述與求解過程比較龐雜，不適合選作教學案例。

（二） 實踐教學的實施問題

從教學計劃看，高等代數的實踐課時為16學時，但在教學過程中理論與實踐內容交叉進行，無法嚴格分離出實踐課時。如果占用過多教學時間進行實踐內容的講授，勢必影響教學任務中理論部分的完成。因此，除了合理利用課堂教學外，考慮采用網絡平臺進行實踐內容的學習或實踐項目的訓練，更符合教學規律。

（三） 實踐學分的考核問題

為了讓實踐教學落到位，教師在課堂上的案例教學固然重要，但學生的主觀能動性也不容忽視，在課外如果沒有監督和考核，學生的學習就會變得松散，難以全面提升學生的實踐創新能力，因此教師除了引導學生實踐訓練外，抓住考核環節是關鍵，我們建議充分利用本單位開發的實踐綜合訓練系統，讓學生完成指定的實踐項目，然后按時提交作品，最后由任課教師評定實踐成績，從而獲得相應的學分。

五 結語

隨著高等教育改革的穩步推進，學科專業交叉融合已成為發展趨勢。在高等代數教學中從專業知識交叉融合角度滲透實踐教學，對教師教學理念和學生學習方式的轉變都將起到重要的促進作用。尤其隨著課程改革與建設的不斷深入，本文所提實踐教學創新途徑對改革高等代數課程體系，扎實推進實踐教學并使其良性發展，凸顯課程的專業特色，建設一流本科課程，培養高素質專業人才，具有一定的參考作用。