工程教育專業認證背景下高等數學課程中函數極值的教學設計

張 爽 張 敬

齊齊哈爾大學理學院 黑龍江齊齊哈爾 161006

工程教育專業認證是國際通行的工程教育質量保證制度，也是實現工程教育國際互認和工程師資格國際互認的重要基礎，其核心是確認工科專業畢業生達到行業認可的既定質量標準要求，是一種以培養目標和畢業要求為導向的合格性評價。工程教育專業認證在人才培養的各個環節中樹立以學生為中心、以學習產出為導向和質量持續改進的教學理念，強調能力導向和持續改進，重點考察人才培養目標的合理性與人才培養的實效性。實施工程教育專業認證無疑會將促進我國高等教育的質量監控體系，推動我國工程教育改革，從而提升工程教育的質量。

作為一門基礎科學，高等數學有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用。嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律。所以說，數學也是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程。人類社會的進步，與數學這門科學的廣泛應用是分不開的。尤其是到了現代，電子計算機的出現和普及使得數學的應用領域更加拓寬，現代數學正成為科技發展的強大動力，同時也廣泛和深入地滲透到了社會科學領域。高等數學課程是覆蓋所有工科專業的基礎必修課，在工程教育專業認證的12個通用標準畢業要求中涉及兩項內容，如第1項：能夠將數學、自然科學、工程基礎和專業知識用于解決復雜工程問題；第2項：能夠應用數學和自然科學基本原理，并通過文獻研究，識別和表達分析復雜工程問題，以獲得有效結論。由此可見，高等數學課程不僅為學生學習后繼專業課程提供數學工具，而且在工程教育專業認證中也起到重要的支撐助力作用。

隨著專業認證的廣泛實施和課程教學改革的不斷深入，目前我校高等數學課程的教學采用線上線下混合式教學模式，教學全過程分為課前預習、課堂學習、課后檢驗和課外拓展四個主要環節，在每一環節都致力于傳統教學和在線學習有機結合并制定相應的實施步驟。本文以高等數學課程中函數極值為例進行教學設計，打破教師課堂講授的傳統教學模式，將涉及的例題與工程教育背景相結合，提高高等數學課程與學生專業的融合度，充分發揮學生的主體作用，實現教學效果優化。

1 課前預習

學生在課前需要進入教學平臺，在線領取由教師提出的預習任務單，明確預習目標和預習任務。在平臺教學視頻欄目中按照章節知識點目錄找到相應視頻并進行在線學習，學習后在教學視頻下發表問題討論。

預習目標：理解函數極值的概念；(2)掌握函數極值的求法。

預習任務：(1)觀看教學微課視頻——3.5.1函數的極值及3.5.2函數最大值與最小值。

2 課堂教學設計

2.1 預習成果檢驗

以隨機提問和小組代表匯報的形式對主要教學內容進行預習檢驗，主要包括如下四個問題。

函數取得極值的必要條件。設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則f′(x0)=0。

函數極值判定的第二充分條件。設函數f(x)在點x0處具有二階導數且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，則(1)當f″(x0)<0時，函數f(x)在點x0處取得極大值；(2)當f″(x0)>0時，函數f(x)在點x0處取得極小值。

2.2 重點難點知識講解與分析討論

2.2.1 函數極值定義注釋

①函數極值是個局部概念，只在U(x0)內考慮；②函數極值未必是最大值或最小值。

2.2.2 求函數極值點與極值的步驟

①求出導數f′(x)；②求出f(x)的全部駐點和不可導點；③列表判斷(考察f′(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況，以便確定該點是否是極值點。如果是極值點，還要按函數極值判定的第一充分條件確定對應的函數值是極大值還是極小值(對于f(x)的駐點x0滿足f″(x0)≠0，也可以用函數極值判定的第二充分條件進行判定)；④確定出函數的所有極值點和極值。

2.2.3 求函數最大值與最小值的方法

先求出函數在[a，b]內的一切可能的極值點(所有駐點和導數不存在的點)處的函數值及端點函數值f(a)和f(b)，比較這些函數值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

在實際問題中，如果在指定區間內的根只有一個，而且從實際問題本身又可以知道在區間內必定有最大值或者是最小值，那么所求得的最大值或者是最小值，就不需要在計算出端點的函數值了。

2.3 實例講解

例1：求函數f(x)=(x2-1)3+1的極值。

解法一：(利用第一充分條件)

(1)f(x)在(-∞，+∞)上連續，處處可導，且f′(x)=6x(x2-1)2；

(2)(令f′(x)=0，得駐點x=0，x=1，x=-1；

(3)在(-∞，-1)內，f′(x)<0；在(-1，0)內，f′(x)<0；在(0，1)內，f′(x)>0在(1，+∞)內，f′(x)>0；故f(x)在x=-1.x=1處沒有極值，在x=0處有極小值，極小值為f(0)=0。

解法二：(利用第二充分條件)

f′(x)=6x(x2-1)2，令f′(x)=0，求得駐點x1=-1，x2=0，x3=1

f″(x)=6(x2-1)(5x2-1)

因f″(0)=6>0，故f(x)在x=0處取得極小值，極小值為f(0)=0，因f″(-1)=f″(1)=0，因此用第二充分條件無法判別，進而應用第一充分條件考查一階導數f′(x)在駐點左右臨近的符號變化。

按照求函數極值的步驟進行計算，同時分析比較函數極值判定的第一充分條件和第二充分條件應用，分析利弊。結論如下：

兩種方法的比較：

第一充分條件第二充分條件使用條件弱強適用范圍寬窄繁簡程度繁簡

兩種方法的選擇：

例2：做一個容積為V的圓柱形罐頭筒，怎樣設計才能使用料最少，達到節約成本的目的？

解 設罐頭筒的底半徑為r，高為h，則其側面積為S=2πr2+2πrh。

由體積公式V=πr2h有h=V/πr2，則S=2πr2+2V/r，r∈(0，+∞)。

注：(1)若f(x)在一個區間內(開區間，閉區間或無窮區間)只有一個極小值點，而無極大值點，則該極小值點一定是最小值點。對于極大值點也可作出同樣的結論。

(2)若函數f(x)在[a，b]上單調增加(或減少)，則f(x)必在區間[a，b]的兩端點上達到最大值和最小值。

例3：一房地產公司有50套公寓要出租，當月租金定為4000元時，公寓會全部租出去，當月租金每增加200元時，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花費400元的維修費。試問房租定為多少可獲得最大收入。

令y′=0，得駐點x=7200。由y″<0知x=7200為極大值點，又駐點唯一，由于實際問題，故在該點處取得最大值。即當每套月租房定為7200元時，可獲得最大收入。

2.4 理論知識拓展

在函數極值判定的第二充分條件基礎上提出新問題。我們可以知道，二階導函數f″(x)可以看作是對一階導函數f′(x)的求導，即令g(x)=f′(x)，則g′(x)=f″(x)，進而g″(x)=f?(x)。此時對函數g(x)應用極值判定的第二充分條件，結合函數極值的定義和函數極值的判定方法進行討論，總結如下結論。

設函數f(x)在點x0處具有三階導數且f′(x0)=0，f″(x0)=0，f?(x0)≠0，則：

(1)點x0不是函數f(x)的極值點；

(2)當f?(x0)<0時，函數f′(x)在點x0處取得極大值；當f?(x0)>0時，函數f′(x)在點x0處取得極小值。

例4：設y=f(x)在x0的某鄰域內有三階連續導數，且f′(x0)=f″(x0)=0，f?(x0)<0，則( )。

A.x0是f′(x0)的極值點，(x0，f(x0))不是拐點

B.x0是不f′(x0)的極值點，且(x0，f(x0))是拐點

C.x0是f′(x0)的極大值點，且(x0，f(x0))是拐點

D.x0是f′(x0)的極小值點，(x0，f(x0))是拐點

答案：C。

解析：將函數f′(x)看成原函數，則其一階導函數在x0處值為0，二階導函數在x0處值小于零，應用第二充分條件判定函數極值情況。

2.5 融入課程思政

人生就好像是函數的變化過程一般，每個轉折點就如同函數的駐點。每個人的人生不可能總是一帆風順，在不同階段會出現波峰也會有波谷。一次失敗不重要，重要的是當出現駐點時你的選擇和態度，它決定著你未來的變化趨勢，決定著你能否克服中間態的阻力走向人生的一個又一個高峰。

2.6 內容小結

以知識結構網圖形式進行內容總結，便于學生對內容的整體掌握。

3 課后檢驗

通過對函數極值知識的學習理解，對自己或其他同學在教學視頻下發表的討論問題做出完整準確的解答；完成課程作業并在課程平臺上提交；利用平臺上發布的在線測試完成知識考核。

4 課程拓展

(1)結合專業實際尋找可以用函數極值解決的問題，以小組為單位在課程平臺上提交項目作業，并計入平時成績考核。

(2)有興趣的同學可以深入探討如下問題。

設函數f(x)在點x0處具有n階導數且f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0，則當n分別為奇數和偶數時，函數f(x)是否點x0處取得極值？

本文以高等數學課程中函數極值為例進行教學設計的研究，體現了適用于我校高等數學課程教學的線上線下混合式教學模式。該模式基于在線課程平臺，融合課堂教學與在線學習，將傳統學習方式和網絡化學習的優勢自然相結合，體現了互聯網+教育的全新教育理念。充分利用互聯網的優勢，利用網絡資源，把函數極值及最值相關知識提前投放在課程平臺，使學生充分的加入其中，調動學生學習的積極性和主動性，將線上線下混合式教學模式應用于高等數學課程教學，不僅使學生對高等數學知識的認知方式發生改變，而且使教師的教學方式、教學策略及自身作用也都發生改變。這種改變對提高高等數學課程的教學質量起到了積極作用，同時在很大程度上保證了工程教育認證背景下工科專業人才的培養目標和培養質量的實現。