習新研舊 追根索源
——對一道三角函數月考題的探究學習

◎唐滿輝(廣東華僑中學,廣東 廣州 510100)

在數學復習或考試中，有的同學效果不理想，達不到預期目標，究其原因，是學得不扎實、理得不透徹、練得不精準，但也有事半功倍者.其實不管復習還是考試都有方法與技巧.學生在復習課中，對知識要習新研舊，對考題要追根索源，對結果要反思總結.筆者通過對往年考題的深度研究，實現了更高效的復習備考.新知是對舊知的拓展與延伸，舊知是習新的基礎來源，新知的學習往往可轉化為舊知的重構、提高與升華，我們可以在舊知中孕育新知，發展新知.數學是一門非常嚴謹的邏輯科學，它有一套完善的知識系統.學生“習新研舊”“追根索源”，方能把課本讀薄，把試題做對，學巧方法，提升素養.

下面本文將以一道三角函數題為例，淺談“習新研舊”與“追根索源”.

一、題根呈現

已知函數f(x)=sinx，g(x)=cosx.

(1)求函數F(x)=f(x)+g(x)的最小正周期及單調區間.

(2)求函數G(x)=f(x).g(x)的最小正周期及單調區間.

(k∈Z)；

(k∈Z).

二、考題研究

這道題是高二下學期月考選擇題第12題，正確答案是B、C，根據評分規則，全對5分，錯選0分，漏選均為2分，評卷情況如下表.

表一 基本情況

表二 學生作答情況

分析：本題的難點在于函數關系的變形改造，其實突破口也在于此，變形改造后，求出待定數ω與a，再進行合一變化，正常來說難度不大.根據數據分析，學生作答情況不理想，這值得我們反思.在高考備考過程中，學生需要在歸納總結的基礎上，做到基本知識、基本題型過關.學生為什么沒有得到正確答案？經分析，筆者發現學生題干的化簡整理有問題，基本運算不過關，得不到簡化后的正確的函數解析式，故選項有“瞎猜”的情況，尤其有學生選A選項更能證明這一點.

下面筆者就題干部分，結合試卷講評情況，做出解答.

探究多種方法：

進一步確定參數a.

方法1 利用三角函數對稱性

方法2 利用導數研究函數

對稱軸處對應函數極值，

∵f(x)=asin 2x+cos 2x，

∴f′(x)=2acos 2x-2sin 2x.

方法3 利用輔助角

探究多種性質：

性質1 函數最值與極值.正弦型函數f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像的對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點，即函數的極大值或極小值.

性質2 函數零點.三角函數對稱中心的橫坐標一定是函數的零點.

性質3 函數單調性.既可以利用三角函數圖像特點研究三角函數單調性，又可以利用導數研究三角函數單調性.

性質4 三角函數的周期性.

性質5 三角函數的對稱性.

點評：高考試題中的三角函數題相對比較傳統，難度較低，但就一般學生而言，也未必能駕輕就熟.因此，在復習過程中，學生既要注重三角函數知識的基礎性，又要熟悉三角函數的圖像和相關性質，熟練化簡、求值.三角函數知識具有工具特征，與代數、幾何、向量的聯系較多.學生對三角函數知識應有應用意識，教師在復習考試中要引導學生善于觀察、聯系、轉化，引導學生對練習和考試中出現的問題進行總結反思，或者及時有針對性地糾錯再練，使學生在熟練掌握基本知識、基本方法的基礎上，做到不出錯或少出錯.

三、微課錄制

我們可針對這個內容，以及相關資源，將題干和題支處理部分錄制成10分鐘的微課，針對不同方法、不同知識、不同思想，運用直觀有趣的方式進行講解，知識講解與答題指導相結合，供學生課后根據自己的基礎、程度和個人的應用傾向，繼續深度學習研究.教師根據學生課后對微課的學習研究情況可以看出不同層次學生對不同方法的理解、接受、應用的程度.多方法，多思維，多突破，在比較中學習，在學習中反思，在反思中提高，在提高中升華，這樣更加有利于學生的分層教學.教師要提高教學的針對性，把因材施教落到實處，落到細處，從而把課堂教學從有效變為高效.

通過了解學生后續學習與練習，我們進行了方法統計.

表三 方法統計

通過上表分析，教師利用微課教學，對成績中下游學生的提高有很好的輔助效果，同時微課的多思維、多方法，可供上中下不同層次學生做出選擇.

變式研究：

解：(1)方法1 利用輔助角

化簡得：(a+b)2=2(a2+b2),

所以a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0,故a-b=0.

方法2 利用導數研究函數性質

方法3 利用對稱性

∴a=b，即a-b=0.

(2)由(1),得a=b，

即g(-x)=g(x),所以g(x)是偶函數.

表四 基本情況

通過上述數據分析可知，微課形式明顯有利于幫助學生學習，即使是在分層教學方面，也有明顯的優勢，中下游學生成績提高，中上游學生對題型的理解更加深入，也更加透徹，能做到舉一反三，提升素養.微課加糾錯加反思，對促進學生的學習進步有明顯效果，既提高綜合能力，又提升學習信心，利于局部，更利于整體.

四、教學反思

變式教學學者鮑建生等教授認為：數學學習往往要經歷“過程”達成，然后轉化為對概念的認知過程.從這個意義上來說，數學學習也不可避免地扮演過程的操作性和概念的結構性雙重角色.基于這種考慮，在教學上，“習新研舊”不能無的放矢，為變而變，試題設計要圍繞數學概念的元素和關系，分別設計區別該元素的題組.教師在教學中注重概念與過程，就要兼顧內容，兼顧學生的數學知識基礎，實現高層次思維能力的達成.我們“習新研舊，追根索源”就是抓住課本，以本為本，熟悉基本題型，強化基礎，抓變式，進行變式研究，實現舉一反三；抓反思，達到提高與升華的目的.

我們在模塊復習中，題目總有難有易，命題考試也是如此，而且學生有不同的基礎、不同的學習興趣與能力，層次不一樣.如何讓學生學有所獲，考有所得？如何把因材施教落到實處，更好地實現公平教育？除了學校有計劃地主動分層推進教育外，教師利用信息化手段，制作質量好的微課，實現重點突出，難點突破，是行之有效的方法.事實證明，微課教學對學困生的幫助是很大的，他們或許思維慢一步，理解遲一點，但通過教師講解，加之微課補充學習，就能理解透徹，學有所成.